第五章拱的实例 三铰拱的特点
P2
H
VA VB
P1
H
三铰拱的类型、基本参数
l
f
101lf
曲线形状：抛物线、园、悬链线 ……..
三 铰 拱
§ 5-1 三铰拱的支座反力和内力一,支座反力 与同跨度同荷载对应简支梁比较
P2
HA
VA VB
P1
HB
VA? VB?
P1 P2
a1
a2
b1
b2
x
x
d
D
VA
H
P1
d
c
l1
f
fyM V
l P b P b V VB A A A0
1
1 1 2 2?
M V l P a P a V VA B B B0 1 1 1 2 2?
x H H HA B0
M C 0
V l P d H fA1 1 0
M H f H M fC C0
l
l1 l2
c
c
VA?
Qo
Mo
P1
VA
H
P1 Qo
H?
M
D
x
y
二、内力计算 以截面 D为例截面内弯矩要和竖向力及水平力对 D点构成的力矩相平衡，设使下面的纤维受拉为正。
M V x P x a H yA1 1
M M H y
Ｈ
Ｑ o
Q Q H co s s in
N Q H s in co s
三、受力特点
（ 1） 在竖向荷载作用下有水平反力 H;
（ 2） 由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多 ;
（ 3） 拱内有较大的轴向压力 N.
x-a1
0 DM
x
q=2kN,m P=8kN
3mx
2=3m
7.5kN
VA
H
VB
2
y2
y
0
1
2
3 4 5
6
7
8
A B
例 1、三铰拱及其所受荷载如图所示拱的轴线为抛物线方程
y fl x l x4 2 计算反力并绘制内力图。
（ 1）计算支座反力
V V kNA A 2 6 9 8 312 11
V V kNB B 2 6 3 8 912 9
H M f kNC 11 6 2 6 34 7 5.
（ 2）内力计算
y fl x l x m2 2 24 4 412 3 12 3 3
tg dydx fl xlx x? 2 3 34 1 2 4 412 1 2 312
0 667
.
2 2 233 4 1 0 555 0 832,s in,,co s,
M M Hy
kN m
2 2 2 11 3 2 3 1 5 7 5 3
1 5
,,
.
Q Q H
kN kN
2 2 2 2 11 2 3 0 832
7 5 0 555 0 0025 0 003
c o s s i n,
.,,,
kN
HQN
01 5.983 2.05.7
55 5.03211c o ss i n 2222
6m 6m
f=4m
kN11?
kN9?
kN5.7?
以截面 2为例
x
q=2kN,m P=8kN
2
y2
y
0
1
2
3 4 5
6
7
8
A B
6m 6m
0.0
00
1.1
25
1.5
00
1.1
25
0.0
00
0.3
75
0.3
75
4.5
00
0.0
00
0.6
00
0.3
54
0.0
03
0.4
72
1.0
00
1.4
21
3.3
25
0.6
00
1.0
60
3.3
31
M 图
kN.m
Q 图
kN
N 图
kN
13
.30
0
10
.95
8
9.0
15
7.7
49
7.4
33
11.
66
5
6.7
96
11.
23
5
11.
70
0
7.5
00
绘制内力图若用合力 R 代替截面所有内力，则其偏心距为 e = M/N，
显然我们可以求出各个截面的合力大小、方向和作用点。
§ 5-2 三铰拱的 压力线拱与受弯结构不同，在竖向荷载作用下，它不仅产生弯矩和剪力，还产生轴力。经过合理设计可使其成为以受压为主的结构体系。
拱截面一般承受三种内力,M,Q,N。
MQ
N e
R
因此拱结构可采用受压性能良好而受拉性能较差的脆性材料（如砖石、素砼）建造，以保证其良好的经济性。
下面我们研究拱截面的受力情况。
1P 2P 3P
1P
2P
3P
AR
BR
23
A B
C
1k
2k
3k
F G H
（ 1）确定各截面合力的大小和方向：
数解
AR BR
绘力多边形射线D
（ 2）确定各截面合力的作用线合力多边形索多边形压力多边形 压力线大小和方向作用线
AR
BR
o
Dr
如果是分布荷载，压力线呈曲线，称为压力曲线；如果是集中荷载，压力线呈多边形，
称压力多边形。
压力线可以描述拱的工作状况。各截面合力 R若都沿拱轴切线方向作用是最理想的情况，此时各截面内只有均匀分布的正应力，拱处于轴心受压状态，如果在拱的设计中能获得上述结果，拱的经济效果将最好。
DD rRM 12
DD RQ?s in12
DD RN?c o s12
D?
§ 5-3 拱的合理轴线在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理轴线。由上述可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。
M M Hy
它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状有关。令
0 HyMM?
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁的弯矩纵标值成比例。
H xMxy
从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。
对拱结构而言，任意截面上弯矩计算式子为：
例 1、设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。
y
x
x
q
A
B
q
f
l/2 l/2
A B
C
ql
2
ql
2
[解 ] 由式y x M x
H?
先列出简支梁的弯矩方程
M x q x l x2
拱的推力为：
H Mf ql fC 28
所以拱的合理轴线方程为：
y x q x l x fql fl x l x2 8 42 2
注 意
*合理轴线对应的是一组固定荷载；
*合理轴线是一组。
例 2、设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是园弧曲线。
[证明 ] 设拱在静水压力作用下处于无弯矩状态，然后由平衡条件推导轴线方程。
q
dS R d
M N R N R dR
N N N
D E
D E
0 0 0
这表明拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为一常数。
00
2
s i n20 dNRdqdNdSqy
因 N为 一 常数,q也为一常数，所以任一点的曲率半径 R也是常数，即拱轴为园弧。
q
NRqRN
D E
例 3、设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线，设填土的容重为?，拱所受的分布荷载为 。yqq C
qc yqq c
q c+
.f
f
x
y
y
y*
M M H y M H f y 0
[解 ]由拱截面弯矩计算式 M M Hy
在本例的座标系中可表达为：
y MH f
因事先 得不到，故改用 q(x)和 y(x)表示：M?
d y
dx H
d M
dx
2
2
2
2
1
对简支梁来说，
d Mdx q x2 2
而q x q yc,d y
dx H q yc
2
2
1
即y
H y
q
Hc
,特征方程为：
2 0H H
y C e C eH x H x1 2
e shx chx e chx shxx x
y x A ch H x B sh H x
设其特解 y a a q c,代入原方程，
y x A ch H x B sh H x q c
设 x y A q
x y B
c
0 0
0 0 0
,
,
y q ch H xc 1悬链线
P2
H
VA VB
P1
H
三铰拱的类型、基本参数
l
f
101lf
曲线形状：抛物线、园、悬链线 ……..
三 铰 拱
§ 5-1 三铰拱的支座反力和内力一,支座反力 与同跨度同荷载对应简支梁比较
P2
HA
VA VB
P1
HB
VA? VB?
P1 P2
a1
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b1
b2
x
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VA
H
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d
c
l1
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l P b P b V VB A A A0
1
1 1 2 2?
M V l P a P a V VA B B B0 1 1 1 2 2?
x H H HA B0
M C 0
V l P d H fA1 1 0
M H f H M fC C0
l
l1 l2
c
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Qo
Mo
P1
VA
H
P1 Qo
H?
M
D
x
y
二、内力计算 以截面 D为例截面内弯矩要和竖向力及水平力对 D点构成的力矩相平衡，设使下面的纤维受拉为正。
M V x P x a H yA1 1
M M H y
Ｈ
Ｑ o
Q Q H co s s in
N Q H s in co s
三、受力特点
（ 1） 在竖向荷载作用下有水平反力 H;
（ 2） 由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多 ;
（ 3） 拱内有较大的轴向压力 N.
x-a1
0 DM
x
q=2kN,m P=8kN
3mx
2=3m
7.5kN
VA
H
VB
2
y2
y
0
1
2
3 4 5
6
7
8
A B
例 1、三铰拱及其所受荷载如图所示拱的轴线为抛物线方程
y fl x l x4 2 计算反力并绘制内力图。
（ 1）计算支座反力
V V kNA A 2 6 9 8 312 11
V V kNB B 2 6 3 8 912 9
H M f kNC 11 6 2 6 34 7 5.
（ 2）内力计算
y fl x l x m2 2 24 4 412 3 12 3 3
tg dydx fl xlx x? 2 3 34 1 2 4 412 1 2 312
0 667
.
2 2 233 4 1 0 555 0 832,s in,,co s,
M M Hy
kN m
2 2 2 11 3 2 3 1 5 7 5 3
1 5
,,
.
Q Q H
kN kN
2 2 2 2 11 2 3 0 832
7 5 0 555 0 0025 0 003
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.,,,
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01 5.983 2.05.7
55 5.03211c o ss i n 2222
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以截面 2为例
x
q=2kN,m P=8kN
2
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1.1
25
1.5
00
1.1
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00
0.0
00
0.6
00
0.3
54
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3.3
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M 图
kN.m
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13
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33
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66
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23
5
11.
70
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00
绘制内力图若用合力 R 代替截面所有内力，则其偏心距为 e = M/N，
显然我们可以求出各个截面的合力大小、方向和作用点。
§ 5-2 三铰拱的 压力线拱与受弯结构不同，在竖向荷载作用下，它不仅产生弯矩和剪力，还产生轴力。经过合理设计可使其成为以受压为主的结构体系。
拱截面一般承受三种内力,M,Q,N。
MQ
N e
R
因此拱结构可采用受压性能良好而受拉性能较差的脆性材料（如砖石、素砼）建造，以保证其良好的经济性。
下面我们研究拱截面的受力情况。
1P 2P 3P
1P
2P
3P
AR
BR
23
A B
C
1k
2k
3k
F G H
（ 1）确定各截面合力的大小和方向：
数解
AR BR
绘力多边形射线D
（ 2）确定各截面合力的作用线合力多边形索多边形压力多边形 压力线大小和方向作用线
AR
BR
o
Dr
如果是分布荷载，压力线呈曲线，称为压力曲线；如果是集中荷载，压力线呈多边形，
称压力多边形。
压力线可以描述拱的工作状况。各截面合力 R若都沿拱轴切线方向作用是最理想的情况，此时各截面内只有均匀分布的正应力，拱处于轴心受压状态，如果在拱的设计中能获得上述结果，拱的经济效果将最好。
DD rRM 12
DD RQ?s in12
DD RN?c o s12
D?
§ 5-3 拱的合理轴线在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理轴线。由上述可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。
M M Hy
它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状有关。令
0 HyMM?
在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁的弯矩纵标值成比例。
H xMxy
从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。
对拱结构而言，任意截面上弯矩计算式子为：
例 1、设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。
y
x
x
q
A
B
q
f
l/2 l/2
A B
C
ql
2
ql
2
[解 ] 由式y x M x
H?
先列出简支梁的弯矩方程
M x q x l x2
拱的推力为：
H Mf ql fC 28
所以拱的合理轴线方程为：
y x q x l x fql fl x l x2 8 42 2
注 意
*合理轴线对应的是一组固定荷载；
*合理轴线是一组。
例 2、设三铰拱承受均匀分布的水压力，试证明其合理轴线是园弧曲线。
[证明 ] 设拱在静水压力作用下处于无弯矩状态，然后由平衡条件推导轴线方程。
q
dS R d
M N R N R dR
N N N
D E
D E
0 0 0
这表明拱在法向均布荷载作用下处于无弯矩状态时，截面的轴力为一常数。
00
2
s i n20 dNRdqdNdSqy
因 N为 一 常数,q也为一常数，所以任一点的曲率半径 R也是常数，即拱轴为园弧。
q
NRqRN
D E
例 3、设三铰拱上承受填土荷载，填土表面为一水平面，试求拱的合理轴线，设填土的容重为?，拱所受的分布荷载为 。yqq C
qc yqq c
q c+
.f
f
x
y
y
y*
M M H y M H f y 0
[解 ]由拱截面弯矩计算式 M M Hy
在本例的座标系中可表达为：
y MH f
因事先 得不到，故改用 q(x)和 y(x)表示：M?
d y
dx H
d M
dx
2
2
2
2
1
对简支梁来说，
d Mdx q x2 2
而q x q yc,d y
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2
2
1
即y
H y
q
Hc
,特征方程为：
2 0H H
y C e C eH x H x1 2
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y x A ch H x B sh H x
设其特解 y a a q c,代入原方程，
y x A ch H x B sh H x q c
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0 0
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,
,
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