课 次 11  授课内容 1. 珠算除法的基础知识 2、珠算商除法  目的要求  1、知道商数定位法 2、掌握商除法  重点  珠算商除法  难点 商数定位法  教学方法与手段  1. 珠算除法的基础知识 25    2. 珠算商除法 20    3. 商数定位法和珠算商除法练习 45  思考题 珠算商除法与笔算除法的关系   第四章 珠算除法 除法是乘法的逆运算，也是同数连减的一种简便运算。它的算式为：被除数除法是把一个数分成若干等份，求一份是多少的计算方法叫做除法。被分的数称为被除数；去分的数叫做除数；每份分得的数称为商数。除法实际上就是连减几个相同数的一种减算，因此，除法就是减法的简捷算法，也是乘法的逆运算， 除法的计算公式是：被除数÷除数 = 商数。 珠算除法的种类较多，常用的有商除法、归除法法、补数除法等。在本章主要介绍商除法。 第一节 商除法 商除法的计算顺序和原理与笔算相同，用较简单的十几句口诀求商，然后用九九口诀进行乘减，只是乘减的顺序略有不同。商除法是从除数的最高位开始与试商相乘(而笔算则是从末位乘起)，其积从被除数(或余数)中自左向右逐档减去(而笔算则是从右向左逐位减去)。 这种运算方法的优点主要表现在：定商口诀简单，也可用笔算的方法估商，易学习掌握，和笔算一致，不必另起炉灶再搞一套计算程序；不用顶珠、底珠和悬珠，减少错档；计算顺手，适合于青少年初学和干部训练等，是当前社会上普遍运用的一种方法。 其缺点主要表现在：虽然能用口诀求商，但是有时也会出现商数偏大或偏小，因此，在求商过程中，常出现退商和补商的问题，如不熟练，速度缓慢，这就要求熟练地掌握心算技术，并与口诀相结合，则简便可行，运用自如。 一、商除法的立商原则和定位方法 (一)商除法的立商原则 商除法的立商原则是：被除数与等位比较，够除时，隔位立商：不够除时，挨位立商，即：当除数是一位除法，如被除数头位数大于或等于除数头位也就是“够除”时，其商数应放在被除数头位的左边第二档上(即隔位立商)；如被除数头位数小于除数头位数，也就是“不够除”时，商数应放在被除数的左边第一档上(即挨位立商)。当除数是两位的除法，“够除”与“不够除”就要看被除数的前两位；除数是三位的除法，“够除”与“不够除”就要看被除数的前三位。其它依次类推。 在运算过程中，首先试商，然后乘减。其乘减的顺序是：用试商与除数的首位、次位……直到末位依次相乘，并将相乘积数分别在被除数的相应档次减去。 (二)商除法的定位方法 除法的定位方法有多种，一般常用的有公式定位法、移档定位法、算前盘上定位法等。 1. 公式定位法(即通用定位法) 公式定位法是一种通过比较被除数和除数的数字大小，用定位公式来确定商的位数的方法。其具体方法是：首先看被除数的首位(也叫头)和除数的首位，可用两句话概括：被除数头小，被除数位数减除数位数；被除数头大，被除数位数减除数位数再加一位。所谓头小、头大，是以被除数首位与除数首位比较而言的。两者的首位如果相同(齐头)，则比较第二位，如第二位相同，再比第三位，依次类推。如果两者数完全相同，则叫大齐，也属于头大的一种类型。 头小的公式为：商的位数：m-n 头大(齐)的公式为：商的位数；m-n+1 例如：84÷77 被除数头大 36÷49 被除数头大 18.73÷18.65 被除数头大 17÷17 被除数大齐 将上述公式定位法编成简略的口诀是： 头小两数相减：大齐减后加一(位)。 例1 3，875÷43；90。12 (4位—2位；2位)头大 例2 93.8÷653：0.14 (2位-3位+1位：0位)头大 例3 435÷432；1.01 (3位—2位+1位=1位)头大 2. 算前盘上定位法 在除法运算中，除不尽的算题占多数，为了达到一定的精确程度，要求在规定的小数位数以后，以四舍五入处理，这就便会产生一种情况，即运算时往往不知打到哪一档为止，常常出现不是多打几位，就是少打几位，浪费时间和精力。算前盘上定位法可以较好地解决这类问题，它可以使运算适可而止。因此，不论在实际工作中或在珠算通级中都很适用。 算前盘上定位法也称“固定个位定位法”，这种定位方法是：首先是在算盘上选定一个固定的小数点位置(或选定一个“个位”档)，这个小数点位置一般在算盘中心区，使前面可以立商若于位，后面又有运算减积的余地。 在开始运算之前，看被除数是几位，先减去一位(每题都要先减一位，这是根据商除法定商位置的特点所决定的)，再减去除数的位数，按照上述方法相减之后，差位是几位，就对照算盘上的标位点布上被除数，正位在小数前方布数，负位在小数后方布数，0位就紧挨小数点后档布数。 按照这种方法布数和运算所得出的商数，其小数点恰好落在盘上选定的固定小数点位置上，从而能够及时确立商数的数值，看盘抄写得数准确。 三、多位商除法 用商除法运算除数是二位或二位以上的除法，叫做多位商除法。多位商除法的运算方法和步骤基本上与一位商除法相同，但由于除数位数增多，容易出现估商不准。试商时，可把除数按照“四舍五入”的办法看作整十或整百的数字来试除，例952÷285，就可看作952÷300，试商3。试商的数字要“宁小勿大”，以免商数过大不够除时，难于还原。发现余数大于除数时，再进行补商，补商时商数加1，但要隔位减去除数。若遇试商偏大而不够除(即被除数不够减商数和乘数的乘积)时，就应退商。退商时，商数减1，但要隔位加上多减的那部分商数和除数的乘积。 试商的方法是：当被除数的首位数大于除数首位数时，就可立即用乘法九九口诀试商：当被除数的首位数小于除数首位数时，就要观察被除数的前两位数，用乘法九九口诀试商：当被除数的首位数与除数的首位数相同的情况下，要依次向下位观察，若被除数大于除数时，立商1，若被除数小于除数时，立商9。商除法试商一般多用心算和口诀相结合求商，商除法口诀附后。 多位数除法要防止在减商和除数乘积时错档。掌握的要领是：除数是第几位，它与商数乘积时的十位数，就从商数右面第几档减去。减积的规律是：上次减积的个位档，就是本次减积的十位档；本次减积的个位档，就是下次减积的十位档。所以应注意手指不离档，始终把手指停留在每次积的个位档上，依次递位迭减。这样运算，既快．且不容易减错档次。 四、补商和退商 用心算估商时，估计的试商可能偏小或偏大，在这种情况下，就要用补商和退商的办法，将试商进行调整。 (一)补商 在多位数除法运算过程中，有时试商过小，乘减后余数比除数大，这时不必重新计算，可用补商的办法来调整试商。商除法的补商方法是：将试商加1，同时隔位减一遍除数；试商补几，就隔位减几倍除数。这实际上与“数大够除隔位立商”相类似。 补商比较容易，一般初学珠算除法，试商宁小毋大，立商偏小可以补商；若立商过大，就需要退商，退商比较麻烦。 (二)退商 在多位数除法运算过程中，心算估商有时偏大，结果，当减试商与除数的乘积时，会遇到中途不够的情况或开始就不够减的情况。这时也没有必要重新计算，而以退商的方法来进行调整试商。商除法的退商方法是：将试商减去1，隔位加还已经除过的那几位除数，然后再用调整后的试商，去乘尚未乘减的那几位除数，并将其积从被除数的相应档位中减去。 [例如] 26，644.08÷5，843=4.56 运算顺序： (1)试第一商：被除数2小于除数首位5，(看被除数前两位26)，挨立商5，5同除数5相乘之积25，从被除数中减去。试商5同除数8相乘之积40，余数只有1，不够减要退商1，隔档加过的除数5。最后将退商后的新商4同除数的g43相乘之积，从余数中减去。 (2)试第二商：余数首位3小于除数首位5，挨位立商6，6同除数5相乘之积30，从余数中减去。然后再将试商6同除数8相乘之积48，需从余数中减去，但余数只有2不够减，需要退商1，隔位加除过的除数5。最后将退商后的新商5同除数843相乘之积，从余数中减去。 (3)试第三商：余数首位3小于隔数首位5，挨位立商立商6，6同除数5，843相乘之积从余数中减去，除尽。商为4．56。 如果乘减到最后几位才发现要退商，这时可用虚珠减去，然后再退商。 第二节 除法的注意事项及检误方法 一、除法的注意事项 在除法运算过程中，为了达到准确、快速之目的，就必须注意以下几点： (一)商除法求商要准确判断两因数 首先注意被除数首位(或头两位)数与除数首位(或头两位)数的比较。通过两因数的比较，准确判断出该题是属于“头小类”、“头大类”、“头同下小类”，并根据各类不同的求商口诀求商。由于补商容易退商难，所以在试商时可结合心算，适当注意“宁小勿大”。 其次是立商时，特别要注意“头大隔位立商，头小挨位立商” 的原则，以防止商数串档。 再次是补商时，切记“余数大时隔加1”，在这种情况下，最容易出现差错的是“挨加1”，在运算过程中是必须注意的地方。 (二)正确区分商数和余数 在运算过程中，要随时注意区分商数和余数，切忌两者相混淆。如果将商数当成余数，再进行试商，或者将余数当作商数，都会造成错误。在归除法试商时，有时可能出现试商右一档的余数超过10，例如：170÷66，按照六归口诀“六一下加4”，被除数第二位就得利用顶珠，即11，这时绝不能“逢十进1”(如同加法那样)，而应按归除口诀，“逢六进1”，否则造成试商错误。 (三)运算时手指不离档 多位数除法在乘减时档位较多，因此，在乘减时手指不能离开档位，记住这一次的个位档，就是下一次的十位档，每乘一次，手指往后(右)退一位；除数中间遇零时，有几个零，手指就往后退几档。减积时，要默记试商，眼看除数，一边用九九口诀，一边作乘减，注意把试商读在前，除数读在后，这样做，既不易出现错误，而且运算速度快。 二、除数的检误方法 多位数除法的运算过程比较复杂，如果在某一个档次或某一环节出现问题，其计算结果必然是错误的。运算结果是否准确无误，可用以下简单方法进行检查： (一)乘法还原检查法 因为乘法和除法是互为逆运算，所以，用乘法还原的方法进行检查商数准确与否比较简便、可靠。除法用乘法还原，有以下两种关系： 1. 能除尽的除法：被除数=除数×商数 2. 除不尽的除法：被除数=除数×商数+余数 验算方法是： 能除尽的除法还原，将除数与商数相乘，如果得出的积同被除数完全一致，证明原求出的商是正确的。如果得出的积与被除数不一致，则有两种可能：一是验算过程中乘法运算发生错误；二是原求出的商是错误的。此外，也不能排除原商数计算准确而发生的笔误。在这种情况下，应重新计算一次，以确定运算正确与否。 除不尽的除法还原，首先将除数与商数相乘，然后加上余数。运算完毕，算盘上显示的积数应同被除数完全一致，即证明原求的商数是正确的。值得注意的地方是：采用上述方法对归除计算出来的商进行验算时，只能使用不隔位乘法，这是由于两者的加减乘积的档次相同所决定的。 例1 1，062，532÷436 = 2，437 验算：436× 2，437=1，062，532。 乘法还原结果，乘积为1，062，532与被除数完全相一致，说明原除法运算正确(包括商的定位)。 例2 3，303.44÷694=4.26 验算：694×4.26=2，956.44 乘法还原结果，乘积为2，956.44，与被除数3，303.44不一致，说明计算肯定有错误，其错误有两种可能：一是乘算(验算)时有误；二是除算时有误。当然，也不能排除原商数计算正确而发生的笔误。在这种情况下，应重新计算，结果商为4.76。 验算 694×4.76 = 3，303.44 证明第二次运算正确。在实际工作中，有时由于疏忽大意，抄得数时将上珠看掉。因此，当运算结束之后，特别要注意有无上珠。 实 作 十五 商数定位和商除法练习 一、商数定位练习 1.根据2,688÷56=48的结果,确定下列各除法算式商的位数和商数。 0.2688÷0.056　2,688,000÷0.0056　258,800÷0.56　0.02688÷0.056　2,688÷56,000　0.2688÷56　0.2688÷5,600　26.88÷0.56　0.002688÷0.0056　268.8÷560　 2.根据256÷12=13的结果,确定下列各式的商的位数和商数。 25.6÷0.12　2,560÷0.12　2.56÷0.012　25,600÷12　0.256÷1,200　256,000÷1,200　 3.根据224÷16=14的结果,写出商为1,400时的算式,并说明为什么这样的算式不是唯一的。 二、商除法练习 注：练习内容见练习纸