第二节 化二次型
为标准形
如何通过正交线性变换 x=Cy，
把二次型 f (x1,x2,…,xn） = x?Ax
化为 y1,,y2,…, yn的平方和, 即化为
2 2 2
1 1 2 2?nnd y d y d y? ? ?
在前面我们已经证明过, 对于任意一个 n阶实对
称矩阵 A,一定存在正交矩阵 P，
使得 P－ 1AP=?,而由于 P－ 1=P?,则有
P?AP=?.
定理 1（ 主轴定理 ） 对于任意一个 n元二次型
存在正交变换 x=Qy（ Q为 n阶正交矩阵 ）, 使得
12(,,,) ' nf x x x x A x?
2 2 21 1 2 2' ' ( ) nnx A x y Q A Q y y y y? ? ??? ? ? ? ?
其中 ?1,?2,…, ?n是实对称矩阵 A的 n个特征
值,Q的 n个列向量 ?1,?2,…, ?n是 A对应于特
征值 ?1,?2,…, ?n的标准正交特征向量。
例 2 用正交变换法, 将二次型
化成标准形 。
解 二次型对应矩阵为
2221 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3(,,) 2 5 5 4 4 8f x x x x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?
2 2 2
2 5 4
2 4 5
A
???
??
??
??????
其特征多项式
A的特征值 ?1=1,?2=1,?3=10，由方程组
和
2( 1 ) ( 1 0 )IA? ? ?? ? ? ?
1
2
3
1 2 2 0
2 4 4 0
2 4 4 0
x
x
x
??? ? ? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ??? ?
? ? ? ? ? ?
1
2
3
8 2 2 0
2 5 4 0
2 4 5 0
x
x
x
?? ? ? ? ? ?
? ? ? ???
??
? ? ? ???
? ? ? ???
? ? ? ? ? ?
分别求得对应 ?1=?2=1的线性无关特征向量
x1=(－ 2,1,0)?,x2=(2,0,1)?
和 ?3的特征向量
x3=(1,2，－ 2)?
对 x1,x2用 Schmidt正交化并单位化，再对 x3单
位化，记相应的向量为
12
3
2 5 5 2 5 4 5 5
0
5 5 1 5 1 5 3
1 2 2
3 3 3
??
?
??
? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
??
????
??
取正交阵
则
1 2 3
2 5 2 5 1
5 1 5 3
5 4 5 2
(,,)
5 1 5 3
52
0
33
Q ? ? ?
??
???
??
??
??
???
??
1
1
1
10
Q A Q Q A Q
?
??
???
??
??
????
令 x=(x1,x2,x3)? 和 y=(y1,y2 y3)?,作正交
变换, x=Qy,原二次型就化成标准形
我们下面可给出这个例子的几何解释, 对于在自
然坐标系 e1,e2,e3下的二次曲面
2 2 2
1 2 3' ' ( ) 1 0 x A x y Q A Q y y y y?? ? ? ?
222
1 2 3 1 2 1 3 2 32 5 5 4 4 8 1x x x x x x x x x? ? ? ? ? ?
若将坐标系 e1,e2,e3变换为另一直角坐
标系
即
12
3
2 5 5 2 5 4 5 5
0
5 5 1 5 1 5 3
1 2 2
3 3 3
??
?
??
? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
?
??
????
??
1 2 3 1 2 3
2 5 2 5 1
5 1 5 3
5 4 5 2
(,,) (,,)
5 1 5 3
52
0
33
e e e? ? ?
??
???
??
??
? ??
??
??
???
??
则在 ξ1,ξ2,ξ3坐标系下，二次曲面方程为
由空间解析几何可知, 以上式子表达的是空间的
一个椭球面 。 该椭球的三个主轴长度分别为
与特征值的关系为
2 2 2
1 2 31 0 1 y y y? ? ?
11,1,
10
1 2 3
1 1 1,,
? ? ?
当然还有其它方法把二次型化为其标准形，例如
配方法、初等变换方法等。此处我们就不介绍
了。