第六节 综合例题
例 1 证明：向量组 α 1（ ≠0）, α 2,…, α m线性
相关的充分必要条件是其中至少有一个 α s,1
＜ s≤ m,可用 α 1,α2,…, α s－１ 线性表示,
证,, 必要性 ?” 设 α 1,α 2,…, α m线性
相关, 则存在不全为０的ｍ个数 k1,k2,…,km
使得
k1α 1＋ k2α 2＋ … ＋ kmα m＝０,
我们记ｍ个数 k1,k2,…,km中非零的数中下标
最大的那个数为 k s,（ 即 k s≠0,而且当 s≠m时
有 k s+1= k s+2 =… k m=0）, 则 １＜ｓ ≤ｍ, 因
为若ｓ＝１, 则 k1α 1＝ 0,从而 α 1＝０, 与题
设矛盾 ！ 于是 k1α 1＋ k2α 2＋ … ＋ k sα s＝０,
因此
“充分性 ?” 设
k1α 1＋ k2α 2＋ … ＋ k sα s＝０,
则 α1,α 2,…, α s线性相关，于是由第二节
定理３ 知道
α 1,α 2,…,α m线性相关．
112
1 2 1
kkk
.
k k k
s
ss
s s s
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例 2 设 t1,t2,…,t r是ｒ个互不相同的数, r ≤ n,
证明向量组
α s＝ (1,ts,ts2,…,tsn－ 1)Ｔ (s =1,2,…,r)
线性无关,
证 作矩阵Ａ＝ (α 1,α 2,…,α r),则
(1) 当ｒ＝ｎ时, det(A)为 Vandermonde行
列式, 于是
12
ij
1
1 1 1
12
1 1 1
t t t
| | ( t t ),
t t t
n
n i j
n n n
n
A
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因为ｉ ≠ｊ时, ti≠tj,因此 |A|≠0,所以 α 1,α
2,…,α n线性无关,
(2) 当ｒ＜ｎ时，由矩阵 A的定义有 R(A)＝ r，因
此 A的 r个列向量线性无关。所以
α 1,α 2,…,α r线性无关 。
对矩阵进行初等变换不改变矩阵的秩这个事实在讨
论向量组的秩时也很有用 。
例 3 已知四个向量 α 1,α 2,α 3,α 4,证明向量组 α 1
＋ α2,α 2＋ α 3,α 3－ α 4,α 4－ α 1线性相关 。
证 不妨设所讨论的向量为列向量, 作矩阵
A＝ (α 1＋ α2,α 2＋ α 3,α 3－ α 4,α 4－ α 1)，
则
1312
34
1 3 2 3 3 1 4 1 2 3 3 1 4 1A (,,,) ( 0,,,)
cccc
cc
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
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?
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因此 R(A)≤3，所以 A的四个列向量线性相关。
例 4 设 α 1＝ (2,0,－ 1,3 ),α 2＝ (3,－ 2,1,－ 1)
和 β1＝ (－ 5,6,－ 5,9 ),β2＝ (4,－ 4,3,－ 5),
证明向量组 α1,α2与向量组 β1,β2等价。
证 I
1
2
21
2 3311 ( 2 )
1 2 2 2 23
551 1 1 1
2 2 2 4 4
1 0 1 02 0 1 3
A,
0 2 0 13 2 1 1
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rr?
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因此矩阵 A和 B有相同的行最简形, 所以向量组 α
1,α2与向量组 β1,β2等价 。
证 II
12
1
1 1 22
2 1 2
1
2
( 1 )
31
2244
5 11
44
5 6 5 9 1 2 2 4
4 4 3 5 4 4 3 5
101 2 2 4
,
010 4 5 1 1
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,
5 6 5 9 0 4 5 1 1 0 0 0 0
4 4 3 5 0 4 5 1 1 0 0 0 0
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因此 R(C)＝ 2,而显然 α 1,α 2与向量组 β1,β2
均线性无关, 故 α 1,α 2与向量组 β1,β2都是 C
的行向量组的最大无关组, 所以向量组 α 1,α
2与向量组 β1,β2等价 。
对分块矩阵 M规定初等变换如下：
(1),互换 M的两分块行 （ 列 ）,
(2),用满秩矩阵 K左 （ 右 ） 乘 M的某一分块行
（ 列 ）,
(3),用非零矩阵 K左 （ 右 ） 乘 M的某一分块行
（ 列 ） 加到另外一分块行 （ 列 ） 上 。
可以证明, 对分块矩阵作初等变换不改变矩阵的
秩 。
矩阵的初等变换是一个非常有用的工具。对于分
块矩阵的初等变换若应用得当，则会为解决问
题带来相当大的方便。
例 5 设矩阵 Am× k,Bm× l的秩分别为 r,s,而矩阵 C
＝ [A,B]的秩为 t,证明：
max (r,s)≤t≤ r＋ s,
证 因为 A,B为矩阵 C的一部分, 故 t≥max (r,s),
下面证明 t≤ r＋ s,因为
且初等变换不改变矩阵的秩, 故
12A A B
BB
rrO
OO
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44A B A
t R [,] R R R ( A ) R ( B ),
BB
O
AB
OO
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第 节定理
例 6 证明,R(AB)≤min（ R(A),R(B)）,
证 R(AB)≤R(AB,A)＝ R(O,A)＝ R(A),
所以, R(AB)≤min（ R(A),R(B)） 。
AB
R ( A B ) R R R ( B ),
BB
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例 7 设 A,B分别为 s× n,n× r矩阵, 证明
证 因为
所以
( ) ( ) ( )R A B R A R B n? ? ?
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R ( A ) R ( B ) R R
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( ) ( ) ( )R A B R A R B n? ? ?
例 8 设 A为 m× n矩阵,B为 n× m矩阵,n<m,证
明,(AB)X=0有非零解。
证明 显然 AB为 m× m方阵，另外一方面，
因此 AB的 m个列向量线性相关，即
(AB)X=0有非零解。
? ?( ) m i n ( ),( )R A B R A R B n m? ? ?
?清华版 p140,3,9,10,11,13(3)
和下一次作业一起交。
例 1 证明：向量组 α 1（ ≠0）, α 2,…, α m线性
相关的充分必要条件是其中至少有一个 α s,1
＜ s≤ m,可用 α 1,α2,…, α s－１ 线性表示,
证,, 必要性 ?” 设 α 1,α 2,…, α m线性
相关, 则存在不全为０的ｍ个数 k1,k2,…,km
使得
k1α 1＋ k2α 2＋ … ＋ kmα m＝０,
我们记ｍ个数 k1,k2,…,km中非零的数中下标
最大的那个数为 k s,（ 即 k s≠0,而且当 s≠m时
有 k s+1= k s+2 =… k m=0）, 则 １＜ｓ ≤ｍ, 因
为若ｓ＝１, 则 k1α 1＝ 0,从而 α 1＝０, 与题
设矛盾 ！ 于是 k1α 1＋ k2α 2＋ … ＋ k sα s＝０,
因此
“充分性 ?” 设
k1α 1＋ k2α 2＋ … ＋ k sα s＝０,
则 α1,α 2,…, α s线性相关，于是由第二节
定理３ 知道
α 1,α 2,…,α m线性相关．
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例 2 设 t1,t2,…,t r是ｒ个互不相同的数, r ≤ n,
证明向量组
α s＝ (1,ts,ts2,…,tsn－ 1)Ｔ (s =1,2,…,r)
线性无关,
证 作矩阵Ａ＝ (α 1,α 2,…,α r),则
(1) 当ｒ＝ｎ时, det(A)为 Vandermonde行
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2,…,α n线性无关,
(2) 当ｒ＜ｎ时，由矩阵 A的定义有 R(A)＝ r，因
此 A的 r个列向量线性无关。所以
α 1,α 2,…,α r线性无关 。
对矩阵进行初等变换不改变矩阵的秩这个事实在讨
论向量组的秩时也很有用 。
例 3 已知四个向量 α 1,α 2,α 3,α 4,证明向量组 α 1
＋ α2,α 2＋ α 3,α 3－ α 4,α 4－ α 1线性相关 。
证 不妨设所讨论的向量为列向量, 作矩阵
A＝ (α 1＋ α2,α 2＋ α 3,α 3－ α 4,α 4－ α 1)，
则
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34
1 3 2 3 3 1 4 1 2 3 3 1 4 1A (,,,) ( 0,,,)
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因此 R(A)≤3，所以 A的四个列向量线性相关。
例 4 设 α 1＝ (2,0,－ 1,3 ),α 2＝ (3,－ 2,1,－ 1)
和 β1＝ (－ 5,6,－ 5,9 ),β2＝ (4,－ 4,3,－ 5),
证明向量组 α1,α2与向量组 β1,β2等价。
证 I
1
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1,α2与向量组 β1,β2等价 。
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因此 R(C)＝ 2,而显然 α 1,α 2与向量组 β1,β2
均线性无关, 故 α 1,α 2与向量组 β1,β2都是 C
的行向量组的最大无关组, 所以向量组 α 1,α
2与向量组 β1,β2等价 。
对分块矩阵 M规定初等变换如下：
(1),互换 M的两分块行 （ 列 ）,
(2),用满秩矩阵 K左 （ 右 ） 乘 M的某一分块行
（ 列 ）,
(3),用非零矩阵 K左 （ 右 ） 乘 M的某一分块行
（ 列 ） 加到另外一分块行 （ 列 ） 上 。
可以证明, 对分块矩阵作初等变换不改变矩阵的
秩 。
矩阵的初等变换是一个非常有用的工具。对于分
块矩阵的初等变换若应用得当，则会为解决问
题带来相当大的方便。
例 5 设矩阵 Am× k,Bm× l的秩分别为 r,s,而矩阵 C
＝ [A,B]的秩为 t,证明：
max (r,s)≤t≤ r＋ s,
证 因为 A,B为矩阵 C的一部分, 故 t≥max (r,s),
下面证明 t≤ r＋ s,因为
且初等变换不改变矩阵的秩, 故
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第 节定理
例 6 证明,R(AB)≤min（ R(A),R(B)）,
证 R(AB)≤R(AB,A)＝ R(O,A)＝ R(A),
所以, R(AB)≤min（ R(A),R(B)） 。
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证 因为
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例 8 设 A为 m× n矩阵,B为 n× m矩阵,n<m,证
明,(AB)X=0有非零解。
证明 显然 AB为 m× m方阵，另外一方面，
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(AB)X=0有非零解。
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