第三节 非齐次线性方程组
对非齐次线性方程组
令
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
( 1 )
nn
nn
m m m n n m
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
A
a a a
??
??
?
??
????
nm
xb
xb
xb
xb
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
11
22
0，
则原来的方程组可以表示为
Ax=b （ 2）
如果令
则原来的方程组也可以表示为
x1a1+x2a2+…+ xnan=b
1
2
( 1,2,,)
j
j
j
mj
a
a
a j n
a
??
??
????
??
??
????
,
称方程组
Ax=0
为原来的非齐次线性方程组所对应的齐次线性方
程组 。
一, 非齐次线性方程组有解的条件
令
称此矩阵为原来非齐次方程组的增广矩阵 。
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
12
n
n
m m m n m
a a a b
a a a b
B
a a a b
??
??
?
??
??
则下面的四种提法是等价的：
I) 非齐次线性方程组 （ 1） 有解；
II) 向量 b能由向量组 a1,a2,… an线性表示；
III)向量组 a1,a2,… an与向量组 a1,a2,… an，
b等价；
IV) R（ A） =R（ B） 。
即有下列定理成立
定理 1 非齐次线性方程组 （ 1） 有解的充分必要
条件是它的 系数矩阵 A与 增广
矩阵 B的秩相等 。
若 非齐次线性方程组 （ 1） 的
R（ A） =R（ B） =r＞ 0，
不妨假设其前 r行及前 r列所构成的 r阶主子式 D≠0，
于是可得到非齐次线性方程组 （ 1） 的一个同
解方程组为
1 1 1 1 2 2 1 1 1,1 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2 2,1 1 2
1 1 2 2,1 1
r r r r n n
r r r r n n
r r r r r r r r r r n n
a x a x a x b a x a x
a x a x a x b a x a x
a x a x a x b a x a x
??
??
??
? ? ? ? ? ? ??
?
? ? ? ? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ? ? ? ?
?
用克莱姆法则可解此方程组 。
x1=D1/D, x2=D2/D, …, xr=Dr/D，
xr+1= xr+1,…, xn=xn
定理 2 如果非齐次线性方程组 （ 1） 有解, 则当
它的系数矩阵的秩 r=n时, 非齐次线性方程组
（ 1） 有唯一解；当它的系数矩阵的秩 r＜ n时,
非齐次线性方程组 （ 1） 有无穷多个解 。
例 1 问 λ为何值时，线性方程组
有解；有唯一解；有无穷多个解？
解 此线性方程组的 系数矩阵 A与 增广矩阵 B分
别
为：
1 2 3
1 2 3
2
1 2 3
1x x x
x x x
x x x
?
??
??
? ? ??
?
? ? ??
? ? ? ?
?
2
1 1 1 1 1
1 1,1 1
1 1 1 1
AB
??
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
由于
当 λ≠1, λ≠ -2时,R（ A） =R（ B） =3，
这时 线性方程组有唯一解；
当 λ=1 时,R（ A） =R（ B） =1＜ 3，这时 线
性方程组有 无穷多个解；
当 λ= -2时,R（ A） =2≠R（ B） =3，此时 线
性方程组无解。
2
11
1 1 ( 1) ( 2 )
11
A
?
? ? ?
?
? ? ? ?
此题也可将增广矩阵进行初等行变换，讨
论 系数矩阵 与 增广矩阵的秩的关系，从而
得到其解的情况。
31 21
31
32
2
2
2
2
23
1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1
11
0 1 1
0 1 1 1
rr rr
rr
rr
B
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ?
? ?
?
?
????
????
?
????
????
?? ??
??
??
? ? ?
??
??? ? ?
??
??
?
当 λ≠ 1,－ 2时, R（ A） =R（ B） =3,则方程
组有唯一解 。
当 λ=1时, R（ A） =R（ B） =1＜ 3,则方程组有
无穷多个解 。
当 λ=－ 2时, R（ A） =2≠ R（ B） =3,则方程组
无解 。
2
2
2 2 3
2
2
2
11
0 1 1
0 0 1 1
11
0 1 1
0 0 ( 1) ( 2 ) ( 1) ( 1)
??
? ? ? ?
? ? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
??
??
? ? ?
??? ? ? ? ?
??
??
??
? ? ?
??? ? ? ?
??
?
二, 非齐次线性方程组解的结构
性质 1 设 x=η1,x=η2都是非齐次线性方程组
（ 2） 的解, 则 η1-η2是其对应齐次线性方程组
（ 4） 的解 。
证
由 A（ η1－ η2） = Aη1 － Aη2=b－ b=0
即 η1－ η2满足对应齐次线性方程组
Ax＝ 0 。
性质 2 设 x=η是非齐次线性方程组（ 2）的
解,x=ξ是（ 2）对应齐次线性方程组 Ax＝ 0的
解，则 x=ξ+η仍是非齐次线性方程组（ 2）的
解。
证 因 A（ ξ+η） =Aξ+Aη=0+b=b
即 x=ξ+η是非齐次线性方程组 （ 2） 的解 。
定理 3 设 η*是非齐次线性方程组 （ 2） 的一个解
（ 称为特解 ）, ξ1,ξ2,…, ξn-r是对应齐次线
性方程组 Ax=0的基础解系, 则非齐次线性方
程组 （ 2） 的通解 （ 一般解 ） x可表示为
x=η*+ k1ξ1+k2ξ2+… +kn-rξn-r
其中 k1,k2,…, kn-r为任意实数 。
证 设 x为 非齐次线性方程组 （ 2） 的任意解, 则
据性质 1,x－ η*其对应齐次线性方程组 Ax=0
的解, 故 x－ η*可由 ξ1,ξ2,…, ξn-r线性表示,
即
x－ η*= k1ξ1+k2ξ2+… +kn-rξn-r
亦即有 x =η*+ k1ξ1+k2ξ2+… +kn-rξn-r
又 η*+ k1ξ1+k2ξ2+… +knξn-r 为是 非齐次线性
方程组 （ 2） 的解, 所以非齐次线性方程组 （ 2）
的通解为
x=η*+ k1ξ1+k2ξ2+… +kn-rξn-r,
其中 k1,k2,…, kn-r为任意实数 。
例 2 求解线性方程组
解 对增广矩阵 B作初等行变换：
1 2 3 4
1 2 3 4
1
1 2 3 4 2
0
31
23
x x x x
x x x x
x x x x
? ? ? ??
?
? ? ? ??
? ? ? ? ? ?
?
21
31
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
1 1 1 3 1 0 0 2 4 1
111 1 2 3 0 0 1 2
22
rr
rr
B
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
?
可见 R（ A） =R（ B） =2，则线性方程组
有解，其同解方程组为
13
2
32
2
11 1 0 1
2
10 0 1 2
2
0 0 0 0 0
rr
r
rr
?
?
?
????
??
?
??
????
?
1
1 2 4 2
22
1
34 2
44
2
x x x
xx
xx
xx
? ? ??
?
??
?
??
?
? ?
?
即得通解
例 3 求解线性方程组
1
1 2
2
1 2 1 21
3 2
4
11
10 0
,
02
01 0
x
x
x k k k k
x
x
???? ? ? ? ?
???? ? ? ? ?
???? ? ? ? ?? ? ? ?
???? ? ? ? ?
???? ? ? ? ?
?? ??? ? ? ??? ??
为任意实数。
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 1
3 5 3 2
2 2 2 3
x x x x
x x x x
x x x x
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
? ? ? ??
解 对其增广矩阵 B作初等行变换：
由于 R（ A） =2,而 R（ B） =3,则线性方程组
无解 。
21
31
32
3
2
1 2 3 1 1 1 2 3 1 1
3 1 5 3 2 0 5 4 0 1
2 1 2 2 3 0 5 4 0 1
1 2 3 1 1
0 5 4 0 1
0 0 0 0 2
rr
rr
rr
B
?
?
?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
????
??
??
??
??
??
?
?