第三章 向量组的线性相关性
第三节 n维向量
? 定义 1 n个有顺序的数 a1,a2,…,a n所组成的有序数
组
α＝（ a1,a2,…,a n）
称为 n维向量 。数 a1,a2,…,a n叫做向量 α的分量,ai
称为向量 α的第 i个分量。若一个向量的分量都为实
数，则称此向量为实向量；若向量的分量为复数，
则称此向量为复向量。本章只讨论实向量。一般我
们用小写黑体字母 α,β,γ…… 或带箭头的小写字
母 …… 表示向量。,,? ? ?
? 当 n维向量 α记为 α＝ （ a1,a2,…,a n） 时, 称
它为 n维 行向量 。 行向量其实就是行矩阵 。 当 n
维向量 α记为
时, 称为 n维 列向量 。 列向量其实就是列矩阵 。
1
2
a
a
a
n
?
??
??
???
??
??
????
? 行向量和列向量可以通过转置运算互换。若单
就向量的概念而言，它强调的是 n个数排成的
有序数组，它可以排成行向量的形式，也可以
排成列向量的形式。
? 当对向量进行运算时，我们实际上是把行向量
和列向量分别看成是行矩阵和列矩阵来进行运
算的，因此这时 α和它的转置向量 αT是两个不
同的向量。行向量即行矩阵，列向量即列矩阵。
?对于一个 m行 n列的矩阵 A，它的每一行
都是一个 n维向量，而其每一列都是一个
m维向量，我们分别称之为 A的 行向量 和
列向量 。
?注意, n维向量作为 3维向量的直接推广,
有很多性质是和 3维向量类似的。但是，
三维向量可以用空间中的有向线段直观
地表示出来，而 n维向量（当 n > 3时）就
没有这种直观的几何意义了，只是沿用
几何的术语而也。以后大家在学习 n维向
量的性质时，如果要分析其几何意义，
那么最好是回到三维的情形来思考。
定义 2 设 α＝ （ a1,a2,…,an）, β＝ （ b1,
b2,…,bn） 是两个 n维向量, 如果这两个向量的
对应分量相等, 即
aj＝ bj,( j＝ 1,2,…, n )
则称 α＝ β。 分量全为 0的向量称为零向量, 记
为 0。
定义 3 设 α＝ （ a1,a2,…,a n）,
β＝ （ b1,b2,…,b n）
是两个 n维向量, λ是一个实数, 则,
（ 1） 向量 （ a1 + b1,a2 + b2,…,a n + b n） 称为
向量 α,β的和, 记为 α＋ β。 即
α＋ β＝ （ a1+ b1,a2 + b2,…,a n + b n） 。
（ 2） 向量 （ λa1,λa2,…,λa n） 称为数 λ与向量 α的
乘积, 记为 λα或 αλ,即
λα＝ αλ＝ （ λa1,λa2,…,λa n） 。
（ 3） 向量 （ ?a1,?a2,…,?a n） 称为向量 α的负向量,
记为－ α,即,－ α＝ （ ?a1,?a2,…,?an） 。
求向量的和向量的运算称为 向量加法, 求数与向
量的乘积运算称为 向量乘数或向量的数乘 。 向量的
加
法和向量的数乘运算统称为 向量的线性运算 。
设 α,β,γ为三个 n维向量, λ和 μ为两个实数, 则：
（ I） α＋ β＝ β＋ α；
（ II） （ α＋ β） ＋ γ＝ α＋ （ β＋ γ） ；
（ III） α＋ 0 ＝ α；
（ IV） α＋ （ － α） ＝ 0;
（ V） 1α＝ α；
（ VI） λ(μα)＝ (λμ)α；
（ VII） (λ＋ μ)α＝ λα＋ μα；
（ VIII） λ(α＋ β)＝ λα＋ λβ。
上述八条规律中, （ I）, （ II） 是向量加法的交换律和结
合
律 ；规律 （ III）, （ IV） 是保证加法有逆运算； （ V） 保证
非零数乘有逆运算； （ VI） ～ （ VIII） 是数乘运算的结合律
和分配律 。 把满足上述八条规律的运算称为 线性运算 。