第三节 行列式的性质
从行列式的定义我们可以看出，要利用
行列式的定义来计算行列式的值是比较麻烦
的，因为它要涉及到 n!项的和，而且每一项
均为 n个因子相乘。本节我们将讲述行列式的
一些基本性质，以后我们计算行列式的值主
要是采用本节的性质将行列式化为上三角形
式或下三角形式，然后利用第二节的例 2的到
行列式的值。
定理 1 n阶行列式的值也可以定义为
其中 t 为排列 的逆序数。
( - 1 )
n21
21qqq 21
t??
?
? nqqq naaaD
nqqq ?21
证：按 行列式的定义 我们有
( - 1 )
n21
21ppp 21
t??
?
? nnppp aaaD
记
( - 1 )
n21
21qqq 21
t
1 ??
?
? nqqq naaaD
对行列式的任一项
nji npjpippp aaaaa ???21 21
t (-1 ),
其中行标排列为标准顺序排列 12…i…j…n,而 t 为
列标排列 的逆序数。如果我们记 t?为nji ppppp ???21
行标排列和列标排列的逆序数之和，则
njinji npjpipppnpjpippp aaaaaaaaaa ?????? 21
'
21 21
t
21
t ( - 1 ) ( - 1 ) ?
我们把元素 和 对换一下，得到
iipa jjpa
nij npipjppp aaaaa ???21
'
21
t ( - 1 ) 。在作这一变换的过程中，
行标排列由 12…i…j…n 变为 12…j…i…n,其逆序数
的奇偶性发生了改变 ； 同时，列标排列由
变为,其逆序数的奇偶性也改变了，因
此，若记 t??为对换后的行标排列和列标排列的逆序数
的和，则 t??的奇偶性和 t?的奇偶性相同。所以我们有
nji ppppp ???21
nij ppppp ???21
nijnji npipjpppnpjpippp aaaaaaaaaa ?????? 21
''
21
'
21
t
21
t ( - 1 ) ( - 1 ) ?
经过一次对换结果如此，经过多次对换结果当然
还是如此。于是，经过若干次对换，使得：列标排列
nji ppppp ???21 （逆序数为 t）变为标准排列（逆序数为
0）；行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列，
设此排列为,其逆序数为 s，则有nqqq ?21
nqqqnpjpippp nnji aaaaaaaa ???? 21
s
21
t
2121
' ( - 1 ) ( - 1 ) ?
若,则 （即 ）可见排列jp
i ? ip j ? jqijip ji aaa ??
是由排列 唯一确定的。
nqqq ?21
nji ppppp ???21
因此,中任一项
nji npjpippp aaaaa ???21 21
t (-1 ),总
有且仅有 中的某一项
1D nqqq
naaa ?21
s
21 ( - 1 )
aaa (-1 ) n21 q2q1qs n?
与之对应并相
等。而显然和的项数是相等的，因此 和 的项可
D
D
1D
以一一对应并且相等，从而 。
1DD ?记
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22212
12111
'
?
称 D?为行列式 D的转置行列式。
性质 1 行列式 D和它的转置行列式 D?相等。
证,记行列式 D的转置行列式 D?为
nnnn
n
n
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
?
????
?
?
21
22221
11211
21
22212
12111
'
??
即,按定义
jiij ab ?
( - 1 ) bbb ( - 1 )D'
n21 n21
21n21
ppp ppp
21
t
np2p1p
t? ?
? ?
?? nppp
n
aaa＝＝
而由定理 1，上式右边就是 D，即 D＝ D?。
由性质 1可知，行列式中行和列的地位是完全一
样的。凡是对行成立的性质，对列也有同样的结论。
由第二节例 2知道下三角行列式（即主对角线以
上的元素全部为 0的值等于主对角线上的元素的乘积，
因此由性质 1知道上三角行列式（即主对角线以下的
元素全部为 0）的值也等于其主对角线的元素的乘积。
）
性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号。
证：设行列式
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
D
?
????
?
?
21
22221
11211
1
?
是由行列式 交换第 i,j两行得到的，即当
k＝ i,j时，,而当 k不等于 i,j 时，
)d e t( ijaD ?
ipjpjpip abab ??,
。于是kpkp ab ?
bbbbb (- 1 )D
n21
nji21
ppp
npjpip2p1p
t
1 ?
?
???＝
?
n21
21
ppp
21
t ( - 1 )
?
???
nij npipjppp
aaaaa＝
?
n21
21
ppp
21
t ( - 1 )
?
???
nji npjpippp
aaaaa＝
其中 12…i…j…n 为标准排列,t 为排列 nji ppppp ???21
的逆序数。设排列 的逆序数为 t1，
nij ppppp ???21
,)1()1( 1tt ???? 因此
0
ppp
21
t
1
n21
21
1 ( - 1 ) DaaaaaD
nji npjpippp
???
?
???＝
以 表示行列式的第 i行（ row），以 表示行列式的
ir ic第 i列（ column）。交换第 i,j行记作 。交换 l，
m列记作 。 ji
rr ?
ji cc ?
推论 若行列式有两行（列）完全相同，则此行
列式的值为 0。
证：交换这两行，则 D＝－ D，故 D＝ 0。
性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘
以同一个数 ?，等于用数 ?乘上此行列式。即
。
21
21
11211
21
21
11211
D
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
nnnn
inii
n
nnnn
inii
n
????? ??
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
第 i行（或列）乘以 ?，记作 （或 ）。??
ir ??ic
推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因
子可以提到行列式的符号外面。第 i行（或列）提出
公因子 ?，记作 （或 ）。
由性质 2的推论和性质 3的推论可知
??ir ??ic
性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，
则此行列式为 0。
性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数
的和，例如第 i列的元素都是两数之和：
nnnininn
nii
nii
abaaa
abaaa
abaaa
D
??
??????
??
??
?
?
?
?
21
2222221
1111211
则 D等于下列两个行列式的和：
nnninn
ni
ni
aaaa
aaaa
aaaa
D
??
??????
??
??
21
222221
111211
?
nnninn
ni
ni
abaa
abaa
abaa
??
??????
??
??
21
222221
111211
?
性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素同乘
以同一个数加到另外一列（行）对应的元素上去，
行列式的值不变。
例如，以 k乘第 j列加到第 i列（记作 ），有
ji kcc ?
nnninn
ni
ni
aaaa
aaaa
aaaa
D
??
??????
??
??
21
222221
111211
?
nnnjninn
nji
nji
ji
akaaaa
akaaaa
akaaaa
kcc
??
??????
??
??
?
?
?
?
21
2222221
1111211
（ 以 k乘第 j行加到第 i行，记作 。）
ji krr ?
以上诸性质请读者作为练习自己证明（性质 5可
以用行列式的定义证明。性质 6可用性质 4和性质 5来
证明）。利用这些性质可以简化行列式的计算。
例 1 计算
4321
4532
2154
2013
?D
解：
2013
4532
2154
4321
10950
4110
141130
4321
???
???
???
14 rr ?D
12 4 rr ?
13 2 rr ?
14 3rr ?
23 rr ?
)1(3 ??r
)1(2 ??r
)1(4 ??r
10950
141130
4110
4321
24 5 rr ?
23 3 rr ?
10400
2800
4110
4321
?
34 rr ?
2800
10400
4110
4321
?
34 2 rr ?
22000
10400
4110
4321
?
88?
例 2 计算
2111
1211
1121
1112
?D
解,这个行列式有一个很特殊的特点：其每一行的
元素之和均为 5。我们利用这一点进行化简。
21 cc ?
D 31 cc ?
41 cc ?
2115
1215
1125
1115
51 ?c
2111
1211
1121
1111
5
14 rr ?
13 rr ? 12 rr ?
1000
0100
0010
1111
5 5?
注意 我们在利用行列式的性质 6进行化简时，以
k乘第 j列加到第 i列（记作 ）时，发生变化的是
第 i列，第 j列本身是没有发生变化的！在以 k乘第 j行
加到第 i行时，情况也是如此，第 j行本身也是没有发
生变化的！大家可以仔细琢磨上面两个例子。
ji kcc ?
实际上，利用行列式的性质化简行列式，其基本
思路正如上面两个例子所示，都是利用行列式的性质
将其化为三角行列式。若遇到数字不便于计算时，我
们往往把一个比较简单的数（比如 1）换到某一个位
置。例如例 1中的第一步，我们把第一行和第四行互
换，目的就是要把数字 1换到第一行第一列的位置，
然后在把第一列的剩下的几个元素化为 0。这一步完成
后，我们再看第二列的－ 3，－ 1，－ 5啊，道理和刚才
讲的一样，把－ 1换到第二行第二列的位置，然后将它
化为 1，再把 1下面的两个元素化为 0。后面的做法完全
与此类似。
例 3 计算
dcba
dcba
dcba
dcba
D
654
543
432
?
解：
13 rr ? 12 rr ?
14 rr ?
D
dcb
dcb
dcb
dcba
5430
4320
320
34 rr ?
23 rr ?
dcb
dcb
dcb
dcba
0
0
320
0?
（因为第
三行和第
四行元素
相同）
从行列式的定义我们可以看出，要利用
行列式的定义来计算行列式的值是比较麻烦
的，因为它要涉及到 n!项的和，而且每一项
均为 n个因子相乘。本节我们将讲述行列式的
一些基本性质，以后我们计算行列式的值主
要是采用本节的性质将行列式化为上三角形
式或下三角形式，然后利用第二节的例 2的到
行列式的值。
定理 1 n阶行列式的值也可以定义为
其中 t 为排列 的逆序数。
( - 1 )
n21
21qqq 21
t??
?
? nqqq naaaD
nqqq ?21
证：按 行列式的定义 我们有
( - 1 )
n21
21ppp 21
t??
?
? nnppp aaaD
记
( - 1 )
n21
21qqq 21
t
1 ??
?
? nqqq naaaD
对行列式的任一项
nji npjpippp aaaaa ???21 21
t (-1 ),
其中行标排列为标准顺序排列 12…i…j…n,而 t 为
列标排列 的逆序数。如果我们记 t?为nji ppppp ???21
行标排列和列标排列的逆序数之和，则
njinji npjpipppnpjpippp aaaaaaaaaa ?????? 21
'
21 21
t
21
t ( - 1 ) ( - 1 ) ?
我们把元素 和 对换一下，得到
iipa jjpa
nij npipjppp aaaaa ???21
'
21
t ( - 1 ) 。在作这一变换的过程中，
行标排列由 12…i…j…n 变为 12…j…i…n,其逆序数
的奇偶性发生了改变 ； 同时，列标排列由
变为,其逆序数的奇偶性也改变了，因
此，若记 t??为对换后的行标排列和列标排列的逆序数
的和，则 t??的奇偶性和 t?的奇偶性相同。所以我们有
nji ppppp ???21
nij ppppp ???21
nijnji npipjpppnpjpippp aaaaaaaaaa ?????? 21
''
21
'
21
t
21
t ( - 1 ) ( - 1 ) ?
经过一次对换结果如此，经过多次对换结果当然
还是如此。于是，经过若干次对换，使得：列标排列
nji ppppp ???21 （逆序数为 t）变为标准排列（逆序数为
0）；行标排列则从相应的标准排列变为某个新的排列，
设此排列为,其逆序数为 s，则有nqqq ?21
nqqqnpjpippp nnji aaaaaaaa ???? 21
s
21
t
2121
' ( - 1 ) ( - 1 ) ?
若,则 （即 ）可见排列jp
i ? ip j ? jqijip ji aaa ??
是由排列 唯一确定的。
nqqq ?21
nji ppppp ???21
因此,中任一项
nji npjpippp aaaaa ???21 21
t (-1 ),总
有且仅有 中的某一项
1D nqqq
naaa ?21
s
21 ( - 1 )
aaa (-1 ) n21 q2q1qs n?
与之对应并相
等。而显然和的项数是相等的，因此 和 的项可
D
D
1D
以一一对应并且相等，从而 。
1DD ?记
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22212
12111
'
?
称 D?为行列式 D的转置行列式。
性质 1 行列式 D和它的转置行列式 D?相等。
证,记行列式 D的转置行列式 D?为
nnnn
n
n
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
?
????
?
?
21
22221
11211
21
22212
12111
'
??
即,按定义
jiij ab ?
( - 1 ) bbb ( - 1 )D'
n21 n21
21n21
ppp ppp
21
t
np2p1p
t? ?
? ?
?? nppp
n
aaa＝＝
而由定理 1，上式右边就是 D，即 D＝ D?。
由性质 1可知，行列式中行和列的地位是完全一
样的。凡是对行成立的性质，对列也有同样的结论。
由第二节例 2知道下三角行列式（即主对角线以
上的元素全部为 0的值等于主对角线上的元素的乘积，
因此由性质 1知道上三角行列式（即主对角线以下的
元素全部为 0）的值也等于其主对角线的元素的乘积。
）
性质 2 互换行列式的两行（列），行列式变号。
证：设行列式
nnnn
n
n
bbb
bbb
bbb
D
?
????
?
?
21
22221
11211
1
?
是由行列式 交换第 i,j两行得到的，即当
k＝ i,j时，,而当 k不等于 i,j 时，
)d e t( ijaD ?
ipjpjpip abab ??,
。于是kpkp ab ?
bbbbb (- 1 )D
n21
nji21
ppp
npjpip2p1p
t
1 ?
?
???＝
?
n21
21
ppp
21
t ( - 1 )
?
???
nij npipjppp
aaaaa＝
?
n21
21
ppp
21
t ( - 1 )
?
???
nji npjpippp
aaaaa＝
其中 12…i…j…n 为标准排列,t 为排列 nji ppppp ???21
的逆序数。设排列 的逆序数为 t1，
nij ppppp ???21
,)1()1( 1tt ???? 因此
0
ppp
21
t
1
n21
21
1 ( - 1 ) DaaaaaD
nji npjpippp
???
?
???＝
以 表示行列式的第 i行（ row），以 表示行列式的
ir ic第 i列（ column）。交换第 i,j行记作 。交换 l，
m列记作 。 ji
rr ?
ji cc ?
推论 若行列式有两行（列）完全相同，则此行
列式的值为 0。
证：交换这两行，则 D＝－ D，故 D＝ 0。
性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘
以同一个数 ?，等于用数 ?乘上此行列式。即
。
21
21
11211
21
21
11211
D
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
nnnn
inii
n
nnnn
inii
n
????? ??
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
第 i行（或列）乘以 ?，记作 （或 ）。??
ir ??ic
推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因
子可以提到行列式的符号外面。第 i行（或列）提出
公因子 ?，记作 （或 ）。
由性质 2的推论和性质 3的推论可知
??ir ??ic
性质 4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，
则此行列式为 0。
性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数
的和，例如第 i列的元素都是两数之和：
nnnininn
nii
nii
abaaa
abaaa
abaaa
D
??
??????
??
??
?
?
?
?
21
2222221
1111211
则 D等于下列两个行列式的和：
nnninn
ni
ni
aaaa
aaaa
aaaa
D
??
??????
??
??
21
222221
111211
?
nnninn
ni
ni
abaa
abaa
abaa
??
??????
??
??
21
222221
111211
?
性质 6 把行列式的某一列（行）的各元素同乘
以同一个数加到另外一列（行）对应的元素上去，
行列式的值不变。
例如，以 k乘第 j列加到第 i列（记作 ），有
ji kcc ?
nnninn
ni
ni
aaaa
aaaa
aaaa
D
??
??????
??
??
21
222221
111211
?
nnnjninn
nji
nji
ji
akaaaa
akaaaa
akaaaa
kcc
??
??????
??
??
?
?
?
?
21
2222221
1111211
（ 以 k乘第 j行加到第 i行，记作 。）
ji krr ?
以上诸性质请读者作为练习自己证明（性质 5可
以用行列式的定义证明。性质 6可用性质 4和性质 5来
证明）。利用这些性质可以简化行列式的计算。
例 1 计算
4321
4532
2154
2013
?D
解：
2013
4532
2154
4321
10950
4110
141130
4321
???
???
???
14 rr ?D
12 4 rr ?
13 2 rr ?
14 3rr ?
23 rr ?
)1(3 ??r
)1(2 ??r
)1(4 ??r
10950
141130
4110
4321
24 5 rr ?
23 3 rr ?
10400
2800
4110
4321
?
34 rr ?
2800
10400
4110
4321
?
34 2 rr ?
22000
10400
4110
4321
?
88?
例 2 计算
2111
1211
1121
1112
?D
解,这个行列式有一个很特殊的特点：其每一行的
元素之和均为 5。我们利用这一点进行化简。
21 cc ?
D 31 cc ?
41 cc ?
2115
1215
1125
1115
51 ?c
2111
1211
1121
1111
5
14 rr ?
13 rr ? 12 rr ?
1000
0100
0010
1111
5 5?
注意 我们在利用行列式的性质 6进行化简时，以
k乘第 j列加到第 i列（记作 ）时，发生变化的是
第 i列，第 j列本身是没有发生变化的！在以 k乘第 j行
加到第 i行时，情况也是如此，第 j行本身也是没有发
生变化的！大家可以仔细琢磨上面两个例子。
ji kcc ?
实际上，利用行列式的性质化简行列式，其基本
思路正如上面两个例子所示，都是利用行列式的性质
将其化为三角行列式。若遇到数字不便于计算时，我
们往往把一个比较简单的数（比如 1）换到某一个位
置。例如例 1中的第一步，我们把第一行和第四行互
换，目的就是要把数字 1换到第一行第一列的位置，
然后在把第一列的剩下的几个元素化为 0。这一步完成
后，我们再看第二列的－ 3，－ 1，－ 5啊，道理和刚才
讲的一样，把－ 1换到第二行第二列的位置，然后将它
化为 1，再把 1下面的两个元素化为 0。后面的做法完全
与此类似。
例 3 计算
dcba
dcba
dcba
dcba
D
654
543
432
?
解：
13 rr ? 12 rr ?
14 rr ?
D
dcb
dcb
dcb
dcba
5430
4320
320
34 rr ?
23 rr ?
dcb
dcb
dcb
dcba
0
0
320
0?
（因为第
三行和第
四行元素
相同）
