第三节 矩阵的秩和初等变换
?矩阵的秩 (Rank of a matrix)
定义 1 在 m?n矩阵 A中, 任取 k行 k列 （ k ? m,k
? n）, 位于这些行列交叉处的 k2个元素, 不
改变它们在 A中所处的位置次序而得的 k阶行列
式, 称为 矩阵 A的 k阶子式 。
定义 2 如果矩阵 A有一个不等于零的 r阶子式 D，
并且所有的 r+1阶子式 （ 如果有的话 ） 全为零,
则称 D为矩阵 A的最高阶非零子式, 称 r为 矩阵
A的秩, 记为 R(A) = r,并规定零矩阵的秩等
于零 。
? 如果 A是 n阶方阵, 则 R(A) ? n 。 当 R(A) = n时,
称 A为满秩矩阵, 否则称为 降秩矩阵 。 显然,
A为满秩矩阵的充分必要条件是 A的 n阶子式不
等于零, 即 |A| ? 0 。
? 如果 R(A) = r，容易证明，对 k > r, A中的 k阶
子式（若存在）全部等于零。（事实上，由矩
阵秩的定义知道,r+1阶子式全为零； k=r+2时，
将 k阶子式按行（或列）展开，得到 r+2个 r+1
阶子式的线性组合，而这些 r+1阶子式全为零，
故该 k阶子式为零。于是，可用数学归纳法证
明）
对矩阵 A,由矩阵秩的定义可得如下两个结论：
? （ 1） 若 A中有 r阶非零子式, 则 R(A)≥r；
? （ 2） 若 A中所有 r阶子式全为零, 则 R(A)<r。
例 1 求如下矩阵的秩
1 0 1 2
1 1 2 3
2 2 4 6
A
???
??
??
?????
1 0 1 2 1
0 2 1 4 0
0 0 0 3 2
00000
B
???
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?
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??
解：
可以验证,A中有一个二阶子式不为 0，
而其所有的 3阶子式全为 0，故 R(A)＝ 2。
对于 B，显然 R(B)＝ 3。
? 上例中的 B这种类型的矩阵称为 行阶梯型矩阵 。
其特点为：
1.元素全为零的行 （ 如果有的话 ）, 位于矩阵的
最下面；
2.自上而下各行中的第一个非零元素左边的零的
个数, 随着行数的增加而增加 。
以后, 我们一般都是用初等变换的方法把矩阵化
为这种行阶梯型矩阵, 再求秩 。
? 矩阵的初等变换 (Elementary operation)
定义 3 下面的三种变换称为矩阵的 初等行变换,
(i),对调两行 （ 对调 i,j行, 记作 ri?rj）
(ii),以非 0数乘以某一行的所有元素；
（ 第 i行乘 k,记作 kri）
(iii).把某一行所有元素的 k倍加到另一行对应的元素上
去 （ 第 i行的 k倍加到第 j行上, 记作 rj+ kri把定义中
的, 行, 换成, 列,, 即得矩阵的初等列变换的定
义 （ 所用的记号分别为 ci?cj,kci,cj+kci） 。
矩阵的初等行变换和初等列变换, 统称为 初等变换 。
显然, 每一种初等变换都是可逆的, 并且其逆变换也
是同一种初等变换 。
? 定义 4 如果矩阵 A经过有限次初等变换变
成矩阵 B,则称 矩阵 A与矩阵 B等价 (Equivalent)，
记为 A～ B。
根据定义不难证明, 矩阵的等价满足下述性质：
a) 反身性,A～ A；
b) 对称性：若 A～ B,则 B～ A；
c)传递性：若 A～ B,而 B～ C,则 A～ C。
定理 1 如果 A～ B,则 R(A)=R(B)。
即初等变换不改变矩阵的秩 。
证明思想, 只需证明任何一种初等
变换对行列 式是否为 0没有影响即可 。
如果我们经过初等变换将矩阵 A变成
阶梯型矩阵 B，得到矩阵 B的秩，则由定
理 1知，矩阵 A的秩就等于矩阵 B的秩。
? 例, 求 R(A),其中
? 解,
1 0 1 2
1 1 2 3
2 2 4 6
A
???
??
??
?????
21
31 2
1 0 1 2 1 0 1 2
1 1 2 3 0 1 3 1
2 2 4 6 0 2 6 2
rr
rr
A
?
?
??? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ???? ?
? ? ? ?
? ? ? ???? ? ? ?
显然 B是阶梯型矩阵, R(B)=2,所以, 由定理 1
知 R(A)=2。
32 2
1 0 1 2
0 1 3 1
0 0 0 0
rr
B
?
???
??
???? ? ?
????
? 进一步, 将 B变为 C：
则 C的特点为,C中的每一个非零行的第一个非
零元素等于 1,且含这个元素的列中其它元素都
是零 。 称矩阵 C为行的最简形矩阵 （ 简称行最简
形矩阵 ） 。
2
1 0 1 2 1 0 1 2
0 1 3 1 0 1 3 1
0 0 0 0 0 0 0 0
r
BC
?
??? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ??? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? 如果 A = (aij)m?n,R(A) = r,则称矩阵
为 矩阵 A的标准形 (CanonicalForm)（ 零块可以
减少或没有 ） 。 事实上, 在最简形矩阵的基础上
再利用初等列变换, 就可得到矩阵的标准形 。
0
00
rrE ???
??
??
? 推论 1,A～ B的充分必要条件是 A,B的标
准形相同。
? 推论 2：若 A,B为同型矩阵，则 A～ B的充
分必要条件是 R(A)＝ R(B)。
? 初等方阵
定义 由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的矩阵
称为初等矩阵 。
对应于三种初等变换, 可以得到三种初等矩阵 。
? 对于 n阶单位矩阵 E,交换 E的第 i,j行 （ 列 ）
（ i<j）, 得到的初等矩阵记作：
1
01
1
(,)
1
10
1
i
E i j
j
??
??
??
??
?
??
??
??
????
行
行
? 用非零数 k乘以 E的第 i行（或 i列），得到的初
等矩阵记作,
1
1
( ( ) )
1
1
E i k ki
i
??
??
??
??
??
?
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??
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??
??
??
行
列
? 将 E的第 j行的 k倍加到第 i行 （ 或第 i列的 k倍加
到第 j列 ）, 得到的初等矩阵记作：
1
1
(,( ) )
1
1
ki
E i j k
ij
??
??
??
??
??
?
??
??
??
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??
??
行
行
列列
j
? 可以直接验证, 初等矩阵的转置矩阵仍为初等
矩阵；
? 矩阵初等变换与初等矩阵有着非常密切的关系,
容易证明下述定理成立 。
定理 2 设 A=(aij)是 m?n矩阵, 则
? (1)对 A进行一次初等 行变换, 相当于用一个 m
阶的初等矩阵 左乘 A；
? (2)对 A进行一次初等 列变换, 相当于用一个 n
阶的初等矩阵 右乘 A。
? 已知
分别将 A的第一, 二行互换和将 A的第一列的 ?2
倍加到第二列, 求出相应的初等矩阵,并用矩阵
乘法将这两种变换表示出来 。
1 2 3
456
A
??
? ??
??
? 解 交换 A的第一、二行，即用二阶初等矩阵
左乘 A：
01
( 1,2 )
10
E
??
? ??
??
0 1 1 2 3 4 5 6
1 0 4 5 6 1 2 3
? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? 将 A的第一列的 ?2倍加到第二列, 即用三阶初
等矩阵
右乘 A：
1 2 0
( 1,2 ( 2 ) ) 0 1 0
0 0 1
E
???
??
?
??
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1 2 0
1 2 3 1 0 3
0 1 0
4 5 6 4 3 6
0 0 1
???
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?矩阵的秩 (Rank of a matrix)
定义 1 在 m?n矩阵 A中, 任取 k行 k列 （ k ? m,k
? n）, 位于这些行列交叉处的 k2个元素, 不
改变它们在 A中所处的位置次序而得的 k阶行列
式, 称为 矩阵 A的 k阶子式 。
定义 2 如果矩阵 A有一个不等于零的 r阶子式 D，
并且所有的 r+1阶子式 （ 如果有的话 ） 全为零,
则称 D为矩阵 A的最高阶非零子式, 称 r为 矩阵
A的秩, 记为 R(A) = r,并规定零矩阵的秩等
于零 。
? 如果 A是 n阶方阵, 则 R(A) ? n 。 当 R(A) = n时,
称 A为满秩矩阵, 否则称为 降秩矩阵 。 显然,
A为满秩矩阵的充分必要条件是 A的 n阶子式不
等于零, 即 |A| ? 0 。
? 如果 R(A) = r，容易证明，对 k > r, A中的 k阶
子式（若存在）全部等于零。（事实上，由矩
阵秩的定义知道,r+1阶子式全为零； k=r+2时，
将 k阶子式按行（或列）展开，得到 r+2个 r+1
阶子式的线性组合，而这些 r+1阶子式全为零，
故该 k阶子式为零。于是，可用数学归纳法证
明）
对矩阵 A,由矩阵秩的定义可得如下两个结论：
? （ 1） 若 A中有 r阶非零子式, 则 R(A)≥r；
? （ 2） 若 A中所有 r阶子式全为零, 则 R(A)<r。
例 1 求如下矩阵的秩
1 0 1 2
1 1 2 3
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解：
可以验证,A中有一个二阶子式不为 0，
而其所有的 3阶子式全为 0，故 R(A)＝ 2。
对于 B，显然 R(B)＝ 3。
? 上例中的 B这种类型的矩阵称为 行阶梯型矩阵 。
其特点为：
1.元素全为零的行 （ 如果有的话 ）, 位于矩阵的
最下面；
2.自上而下各行中的第一个非零元素左边的零的
个数, 随着行数的增加而增加 。
以后, 我们一般都是用初等变换的方法把矩阵化
为这种行阶梯型矩阵, 再求秩 。
? 矩阵的初等变换 (Elementary operation)
定义 3 下面的三种变换称为矩阵的 初等行变换,
(i),对调两行 （ 对调 i,j行, 记作 ri?rj）
(ii),以非 0数乘以某一行的所有元素；
（ 第 i行乘 k,记作 kri）
(iii).把某一行所有元素的 k倍加到另一行对应的元素上
去 （ 第 i行的 k倍加到第 j行上, 记作 rj+ kri把定义中
的, 行, 换成, 列,, 即得矩阵的初等列变换的定
义 （ 所用的记号分别为 ci?cj,kci,cj+kci） 。
矩阵的初等行变换和初等列变换, 统称为 初等变换 。
显然, 每一种初等变换都是可逆的, 并且其逆变换也
是同一种初等变换 。
? 定义 4 如果矩阵 A经过有限次初等变换变
成矩阵 B,则称 矩阵 A与矩阵 B等价 (Equivalent)，
记为 A～ B。
根据定义不难证明, 矩阵的等价满足下述性质：
a) 反身性,A～ A；
b) 对称性：若 A～ B,则 B～ A；
c)传递性：若 A～ B,而 B～ C,则 A～ C。
定理 1 如果 A～ B,则 R(A)=R(B)。
即初等变换不改变矩阵的秩 。
证明思想, 只需证明任何一种初等
变换对行列 式是否为 0没有影响即可 。
如果我们经过初等变换将矩阵 A变成
阶梯型矩阵 B，得到矩阵 B的秩，则由定
理 1知，矩阵 A的秩就等于矩阵 B的秩。
? 例, 求 R(A),其中
? 解,
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? 进一步, 将 B变为 C：
则 C的特点为,C中的每一个非零行的第一个非
零元素等于 1,且含这个元素的列中其它元素都
是零 。 称矩阵 C为行的最简形矩阵 （ 简称行最简
形矩阵 ） 。
2
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? 推论 1,A～ B的充分必要条件是 A,B的标
准形相同。
? 推论 2：若 A,B为同型矩阵，则 A～ B的充
分必要条件是 R(A)＝ R(B)。
? 初等方阵
定义 由单位矩阵 E经过一次初等变换得到的矩阵
称为初等矩阵 。
对应于三种初等变换, 可以得到三种初等矩阵 。
? 对于 n阶单位矩阵 E,交换 E的第 i,j行 （ 列 ）
（ i<j）, 得到的初等矩阵记作：
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? 可以直接验证, 初等矩阵的转置矩阵仍为初等
矩阵；
? 矩阵初等变换与初等矩阵有着非常密切的关系,
容易证明下述定理成立 。
定理 2 设 A=(aij)是 m?n矩阵, 则
? (1)对 A进行一次初等 行变换, 相当于用一个 m
阶的初等矩阵 左乘 A；
? (2)对 A进行一次初等 列变换, 相当于用一个 n
阶的初等矩阵 右乘 A。
? 已知
分别将 A的第一, 二行互换和将 A的第一列的 ?2
倍加到第二列, 求出相应的初等矩阵,并用矩阵
乘法将这两种变换表示出来 。
1 2 3
456
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? 解 交换 A的第一、二行，即用二阶初等矩阵
左乘 A：
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? 将 A的第一列的 ?2倍加到第二列, 即用三阶初
等矩阵
右乘 A：
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