第四节 IRn的基
和向量关于基的坐
标
定义 1 设 IR n 中的向量组 A, α 1,α 2,…,α n
线性无关,β是 IR n中任一向量，
则 β,α 1,α 2,…,α n线性相关（因为这
是 n＋ 1个 n维向量，向量个数大于向量维数），于
是根据第三章第二节定理 2知道向量 β可以用 α1,
α 2,…,α n唯一线性表示
β＝ k1α 1 + k2 α 2 + … + k n α n 。
我们称向量组 A,α1,α 2,…,α n为空间
IR n的一组基 (basis),把数 k1,k2,…,k n称为
向量 β在基 α1,α 2,…,α n下的坐标
(coordinate)，记为
βA＝（ k1,k2,…,k n）。
例 1 验证 α 1 ＝ (1,0,0)′,
α 2＝ (1,1,0)′,α 3＝ (1,1,1)′为 IR3
的一组基并求向量 α＝ (5,3,5)′在这组基
下的坐标。
解 显然，向量组 α1, α 2,α 3 组成的矩
阵的行列式为
1
1 1
＝ 1≠ 00 1 1
0 0 1
因此这三个向量线性无关，所以它们构成
IR3的一组基。要求向量 α在这组基下的坐
标，实际上就是求解关于 x1,x 2,x 3的
方程组 α＝ x 1 α 1＋ x 2 α 2 ＋ x 3 α 3。
即
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3
32
321
321 也即
容易求得 x1＝ 2,x2 ＝－ 2,x3＝ 5，
因此向量 α在这组基下的坐标为
（ 2, － 2, 5）
当然，对于同一向量 β，若选定的基不同，则向量
β的坐标一般而言也是不同的。
例如
e1＝ (1,0,0)′,e2 ＝ (0,1,0)′,e3＝ (0,0,1)′是 IR3
的一组基
（我们通常称之为 IR3的自然基）
定义 2 设向量组 A, α 1,α 2,-…,α n和向量组
B,β1,β 2,…, β n分别为 IR n的两组基，则
向量组 B,β1,β 2,…, β n可由向量组 A,
α 1,α 2,-…,α n线性表示，即存在 n 2个常数
c i j（ i,j＝ 1,2,…, n）使得
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若我们所论及的向量均为列向量，则上式写成矩
阵的形式为
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我们称矩阵 C为从基 A, α 1,α 2,-…,α n
到基 B,β1,β 2,…, β n的过渡矩阵。
定理 1 过渡矩阵是可逆矩阵
定理 2 设向量 α在两组基 A, α 1,α 2,-…,α n
和 B,β1,β 2,…, β n下的坐标分别为 x ＝
[x1,x2,…,x n]′ 和 y ＝ [y1,y2,…,yn]′,从基 A到
基 B的过渡矩阵为 C，即 B＝ AC，则
Cy＝ x 或 y＝ C－ 1x 。
定义 1 设 a＝ (a1,a2,…, an)? 和 b＝ (b1,b2，
…, bn)? 是两个 n维向量，规定 a与 b的内积为：
(a, b)＝ a1b1＋ a2b2＋ … ＋ anbn,
有时也记为 a ·b＝ a1b1＋ a2b2＋ … ＋ anbn。
从矩阵的角度，显然 (a, b)＝ a ? b ＝ b?a 。
向量内积具有下列性质：
(a, b)＝ ( b,a)；
(a ＋ b,c)＝ ( a, c)＋ ( b,c)；
( k a, b)＝ k(a, b)，其中 k 是任意实数；
(a, a)≥ 0,等号成立当且仅当 a ＝ 0。
定义 2 向量 a的长度或模（ length,modulus）
定义为
.)a,a(|a| ?
一般地，称长度等于 1的向量为单位向量
定理 1 （柯西－施瓦兹不等式,Cauchy-Schwarz
不等式） 向量的内积满足
.|||||),(| baba ?定义 3 规定向量 a和 b之间的夹角
为
.
||||
)(
a r c c o s
ba
ba,
ba,???
如果 a,b的夹角等于 π/2，则称向量 a,b正交。
特别，规定零向量与任何向量正交。
定理 2 向量 a和 b正交（或垂直）的充分必要条件
是（ a,b）＝ 0。
全体 n维实向量构成的集合为 n维欧基里得
（ Euclid）空间，记为 IR n
定理 3 IRn中的不含零向量的两两正交的向量组 (称
为非零正交向量组 )a1,a2,…, a r是线性无关的。
定义 4 设 a1,a2,…, a n是 n个 n维实向量，若
n,2,1j,i
ji 0
ji 1
),( ji
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，若，
，若，
aa
则称 a1,a2,…, a n是 IR n的一组标准正交基
施密特（ Schmidt）正交化
给定向量组 a1,a2,…, an线性无关，
则我们可以按照下述步骤将其标准正交化
① 令 b1＝ a1 ② 令 e1＝ b1/|b1|
③ 作 b2＝ a2－ (a2,e1)e1 ④ 令 e2＝ b2/|b2|
⑤ 令 b3＝ a3－ (a3,e1)e1－ (a3,e2)e2 ⑥ 令 e3＝ b3/|b3|
…… ……
第 2n－ 1步,令 bn＝ an－ (an，
e1)e1－
(an,e2)e2－ …… － (an,en-
1)en－ 1
第 2n步,en＝ en/|en|
这样我们从线性无关的向量组 a1,a2,…, an出
发，得到标准正交向量组 e1,e2,……, en，
(显然，向量组 e1,e2,……, en与向量组 a1，
a2,…, an等价 )。此过程我们称为 Schmidt正交
化过程。
例 3 已知 B,a1,a2,a3 是 IR 3的一组基，其
中 a1＝ (1,?1,0),a2＝ (1,0,1)，
a3＝ (1,?1,1)。
试用 Schmidt正交化方法，由 B构造 IR 3的一组
标准正交基。
解 取 b1＝ a1＝ (1,?1,0)，则
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1
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be
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正交矩阵
定义 5 n阶方阵 A称为正交矩阵是指 A满足 ATA＝ E。
定理 4 A为 n阶正交矩阵的充分必要条件是 A的列
向量为 IRn的一组标准正交基
性质 设 A,B皆为 n阶正交矩阵，则
1） detA＝ 1或－ 1。
2） A－ 1＝ AT。
3） AT也是正交矩阵
4） AB也是正交矩阵。
定义 1 数域 F上的线性空间 (Linear space)V是一个非空集
合，它带有两个运算：加法（ a,b?V为 V中的元素，则 a
加 b记作 a＋ b）和数乘（ λ?F为一个数,a?V为 V中一个
元素，则 λ与 a的乘积记为 λa），且 V对这两种运算封闭
（即运算结果仍在 V中）并满足如下八条运算规则：
1） a＋ b＝ b＋ a； (加法的交换律 )
2） (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋ c)； (加法的结合律 )
3）存在 V中元素 θ使得 a＋ θ＝ a，其中 θ称为 V的零元素。
4）对 V中任意元素 a都存在元素 b使得 a＋ b＝ θ，其中 b称为 a
的负元素，记为 b＝－ a。因此 a＋ (－ a)＝ θ。
5） 1a＝ a；
6） s(ta)＝ (st)a； (结合律 )
7） (s＋ t)a＝ sa＋ ta； (分配律 )
8） s(a＋ b)＝ sa＋ sb。 (分配律 )
其中 a,b,c为 V中任意元素,s,t为 F中的任意数。
当 F为实 (复 )数域时，称 V为实 (复 )线性空间。
我们还是称线性空间中的元素为向量，且把线性空间称
为向量空间
定义 2 设 V是一个线性空间,W是 V的一个非空子集，
如果 W对 V中定义的加法和数乘运算也构成数域 F上的
线性空间，就称 W是 V的一个线性子空间（或简称子空
间）
定理 1 线性空间 V的子空间 W为 V的子空间的充分必
要条件是 W对于 V的两种运算封闭。
定义 1 在线性空间 V中，如果存在 n个元素 a1,a2,……,
an满足,a1,a2,……,a n 线性无关； V中任意元素 a均
可用 a1,a2,……,a n 线性表示，那么,a1,a2,……,
a n就称为线性空间 V的一组基，基的向量个数 n称为 V
的维数
维数为 n的线性空间称为 n维线性空间，记作 dimV＝ n。
若对于任意的自然数 m,V中都有 m个线性无关的元素，
则称 V是无穷维线性空间。
若 a1,a2,……,an 为 V的一组基，则 V可以表示为
V＝｛ a＝ x1a1＋ x2a2＋ …… ＋ xna n：
x1,x2,……,xn?IR ｝，
这就较清楚地显示出线性空间 V的构造
定义 2 设 a1,a2,……,an 为 V的一组基。对于任意元素
a?V，总有且仅仅有一组有序数组 x1,x2,……,xn，使
得 a＝ x1a1＋ x2a2＋ …… ＋ xna n，
有序数组 x1,x2,……,xn称为 a在基 a1,a2,……,an 的
坐标，并记作 a＝ (x1,x2,……,xn)。
基变换和坐标变换
设 a1,a2,……,an 为 V的一组基,b1,b2,……,bn
为 V的另一组基，则由基的定义，这两个向量组可
以相互线性表示，因此存在 n2个数 pij,i,j＝ 1,2,
……, n，使得
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用矩阵的形式可以把上式表示为
P)(
ppp
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我们称此式为 基变换公式,其中矩阵 P称为由基
a1,a2,……,an 到基 b1,b2,……,bn 的 过渡矩阵 。
因为 b1,b2,……,bn 线性无关，故矩阵 P是一个
可逆矩阵。
和向量关于基的坐
标
定义 1 设 IR n 中的向量组 A, α 1,α 2,…,α n
线性无关,β是 IR n中任一向量，
则 β,α 1,α 2,…,α n线性相关（因为这
是 n＋ 1个 n维向量，向量个数大于向量维数），于
是根据第三章第二节定理 2知道向量 β可以用 α1,
α 2,…,α n唯一线性表示
β＝ k1α 1 + k2 α 2 + … + k n α n 。
我们称向量组 A,α1,α 2,…,α n为空间
IR n的一组基 (basis),把数 k1,k2,…,k n称为
向量 β在基 α1,α 2,…,α n下的坐标
(coordinate)，记为
βA＝（ k1,k2,…,k n）。
例 1 验证 α 1 ＝ (1,0,0)′,
α 2＝ (1,1,0)′,α 3＝ (1,1,1)′为 IR3
的一组基并求向量 α＝ (5,3,5)′在这组基
下的坐标。
解 显然，向量组 α1, α 2,α 3 组成的矩
阵的行列式为
1
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＝ 1≠ 00 1 1
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因此这三个向量线性无关，所以它们构成
IR3的一组基。要求向量 α在这组基下的坐
标，实际上就是求解关于 x1,x 2,x 3的
方程组 α＝ x 1 α 1＋ x 2 α 2 ＋ x 3 α 3。
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容易求得 x1＝ 2,x2 ＝－ 2,x3＝ 5，
因此向量 α在这组基下的坐标为
（ 2, － 2, 5）
当然，对于同一向量 β，若选定的基不同，则向量
β的坐标一般而言也是不同的。
例如
e1＝ (1,0,0)′,e2 ＝ (0,1,0)′,e3＝ (0,0,1)′是 IR3
的一组基
（我们通常称之为 IR3的自然基）
定义 2 设向量组 A, α 1,α 2,-…,α n和向量组
B,β1,β 2,…, β n分别为 IR n的两组基，则
向量组 B,β1,β 2,…, β n可由向量组 A,
α 1,α 2,-…,α n线性表示，即存在 n 2个常数
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定理 1 过渡矩阵是可逆矩阵
定理 2 设向量 α在两组基 A, α 1,α 2,-…,α n
和 B,β1,β 2,…, β n下的坐标分别为 x ＝
[x1,x2,…,x n]′ 和 y ＝ [y1,y2,…,yn]′,从基 A到
基 B的过渡矩阵为 C，即 B＝ AC，则
Cy＝ x 或 y＝ C－ 1x 。
定义 1 设 a＝ (a1,a2,…, an)? 和 b＝ (b1,b2，
…, bn)? 是两个 n维向量，规定 a与 b的内积为：
(a, b)＝ a1b1＋ a2b2＋ … ＋ anbn,
有时也记为 a ·b＝ a1b1＋ a2b2＋ … ＋ anbn。
从矩阵的角度，显然 (a, b)＝ a ? b ＝ b?a 。
向量内积具有下列性质：
(a, b)＝ ( b,a)；
(a ＋ b,c)＝ ( a, c)＋ ( b,c)；
( k a, b)＝ k(a, b)，其中 k 是任意实数；
(a, a)≥ 0,等号成立当且仅当 a ＝ 0。
定义 2 向量 a的长度或模（ length,modulus）
定义为
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一般地，称长度等于 1的向量为单位向量
定理 1 （柯西－施瓦兹不等式,Cauchy-Schwarz
不等式） 向量的内积满足
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如果 a,b的夹角等于 π/2，则称向量 a,b正交。
特别，规定零向量与任何向量正交。
定理 2 向量 a和 b正交（或垂直）的充分必要条件
是（ a,b）＝ 0。
全体 n维实向量构成的集合为 n维欧基里得
（ Euclid）空间，记为 IR n
定理 3 IRn中的不含零向量的两两正交的向量组 (称
为非零正交向量组 )a1,a2,…, a r是线性无关的。
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则称 a1,a2,…, a n是 IR n的一组标准正交基
施密特（ Schmidt）正交化
给定向量组 a1,a2,…, an线性无关，
则我们可以按照下述步骤将其标准正交化
① 令 b1＝ a1 ② 令 e1＝ b1/|b1|
③ 作 b2＝ a2－ (a2,e1)e1 ④ 令 e2＝ b2/|b2|
⑤ 令 b3＝ a3－ (a3,e1)e1－ (a3,e2)e2 ⑥ 令 e3＝ b3/|b3|
…… ……
第 2n－ 1步,令 bn＝ an－ (an，
e1)e1－
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1)en－ 1
第 2n步,en＝ en/|en|
这样我们从线性无关的向量组 a1,a2,…, an出
发，得到标准正交向量组 e1,e2,……, en，
(显然，向量组 e1,e2,……, en与向量组 a1，
a2,…, an等价 )。此过程我们称为 Schmidt正交
化过程。
例 3 已知 B,a1,a2,a3 是 IR 3的一组基，其
中 a1＝ (1,?1,0),a2＝ (1,0,1)，
a3＝ (1,?1,1)。
试用 Schmidt正交化方法，由 B构造 IR 3的一组
标准正交基。
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正交矩阵
定义 5 n阶方阵 A称为正交矩阵是指 A满足 ATA＝ E。
定理 4 A为 n阶正交矩阵的充分必要条件是 A的列
向量为 IRn的一组标准正交基
性质 设 A,B皆为 n阶正交矩阵，则
1） detA＝ 1或－ 1。
2） A－ 1＝ AT。
3） AT也是正交矩阵
4） AB也是正交矩阵。
定义 1 数域 F上的线性空间 (Linear space)V是一个非空集
合，它带有两个运算：加法（ a,b?V为 V中的元素，则 a
加 b记作 a＋ b）和数乘（ λ?F为一个数,a?V为 V中一个
元素，则 λ与 a的乘积记为 λa），且 V对这两种运算封闭
（即运算结果仍在 V中）并满足如下八条运算规则：
1） a＋ b＝ b＋ a； (加法的交换律 )
2） (a＋ b)＋ c＝ a＋ (b＋ c)； (加法的结合律 )
3）存在 V中元素 θ使得 a＋ θ＝ a，其中 θ称为 V的零元素。
4）对 V中任意元素 a都存在元素 b使得 a＋ b＝ θ，其中 b称为 a
的负元素，记为 b＝－ a。因此 a＋ (－ a)＝ θ。
5） 1a＝ a；
6） s(ta)＝ (st)a； (结合律 )
7） (s＋ t)a＝ sa＋ ta； (分配律 )
8） s(a＋ b)＝ sa＋ sb。 (分配律 )
其中 a,b,c为 V中任意元素,s,t为 F中的任意数。
当 F为实 (复 )数域时，称 V为实 (复 )线性空间。
我们还是称线性空间中的元素为向量，且把线性空间称
为向量空间
定义 2 设 V是一个线性空间,W是 V的一个非空子集，
如果 W对 V中定义的加法和数乘运算也构成数域 F上的
线性空间，就称 W是 V的一个线性子空间（或简称子空
间）
定理 1 线性空间 V的子空间 W为 V的子空间的充分必
要条件是 W对于 V的两种运算封闭。
定义 1 在线性空间 V中，如果存在 n个元素 a1,a2,……,
an满足,a1,a2,……,a n 线性无关； V中任意元素 a均
可用 a1,a2,……,a n 线性表示，那么,a1,a2,……,
a n就称为线性空间 V的一组基，基的向量个数 n称为 V
的维数
维数为 n的线性空间称为 n维线性空间，记作 dimV＝ n。
若对于任意的自然数 m,V中都有 m个线性无关的元素，
则称 V是无穷维线性空间。
若 a1,a2,……,an 为 V的一组基，则 V可以表示为
V＝｛ a＝ x1a1＋ x2a2＋ …… ＋ xna n：
x1,x2,……,xn?IR ｝，
这就较清楚地显示出线性空间 V的构造
定义 2 设 a1,a2,……,an 为 V的一组基。对于任意元素
a?V，总有且仅仅有一组有序数组 x1,x2,……,xn，使
得 a＝ x1a1＋ x2a2＋ …… ＋ xna n，
有序数组 x1,x2,……,xn称为 a在基 a1,a2,……,an 的
坐标，并记作 a＝ (x1,x2,……,xn)。
基变换和坐标变换
设 a1,a2,……,an 为 V的一组基,b1,b2,……,bn
为 V的另一组基，则由基的定义，这两个向量组可
以相互线性表示，因此存在 n2个数 pij,i,j＝ 1,2,
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可逆矩阵。
