第二节 齐次线性
方程组
System of homogenous
linear equations
一、齐次线性方程组有非零解的条件
? 讨论齐次线性方程组
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2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
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? 若记
则 齐次线性方程组可表示为
Ax=0 (2)
其中矩阵 A称为齐次线性方程组的系数矩阵。
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? 假设其系数矩阵的秩 R（ A） = r ＞ 0,为了方
便起见, 不妨设
? 由于上面假设 D≠0,即系数矩阵 A的前 r列列向
量线性无关, 因此经过有限次初等行变换可得
矩阵 A的行最简形为
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由于 A和 B的行向量组等价，于是（ 1）与如下的
方程组同解：
其中 xr+1,…, xn可取任意实数，称为自由未知
量。
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由上面的讨论, 我们可容易得到如下定理：
定理 1 齐次线性方程组 （ 1）, 当它的系数矩阵
的秩 r=n时, 只有零解；当它的系数矩阵的秩 r＜ n
时, 有无穷多个解 。
我们还不难得到以下结论：齐次线性方程组总
有解；齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 R
（ A） ＜ n；当齐次线性方程组中 m＜ n,齐次线性
方
程组有非零解 。
并可得到下面的推论
推论 n个变量 n个方程的齐次线性方程组有非零解
的
充分必要条件是其系数行列式等于零 。
? 到现在为止，对于齐次线性方程组，我们已解
决了在本章开始时提出的三个问题中的前两个
问题。当齐次线性方程组有无穷多个解时，如
何描述它的所有的解呢？下面我们对解的情况
进行讨论，即讨论第三个问题。
二、齐次线性方程组解的结构
若 x1=ξ11,x2=ξ21,…, xn=ξn1为齐次线性
方程组 （ 1） 的解, 则称
x=(ξ11,ξ21,…, ξn1)’ 为齐次线性方
程组 （ 2） 的解向量 。
定理 2 设 ξ1,ξ2为齐次线性方程组 （ 2） 的
两个解向量, 则其线性组合 k1ξ1+k2ξ2也是齐次
线性方程组 （ 2） 的解向量 （ k1,k2为任意实
数 ） 。
证明 这是因为 A（ k1ξ1+k2ξ2） = k1Aξ1+
k2Aξ2=0+0,故得证 。
? 由此结论可知, 所有齐次线性方程组 （ 2） 的解
向量的集合形成了一向量空间, 此空间称为齐次
线性方程组 （ 2） 的 解空间 。 而由此我们又想到,
如果我们找到了此解空间的基, 便能将齐次线性
方程组 （ 2） 的解向量一并表示出来, 我们将齐
次线性方程组 （ 2） 的解空间的基称为 基础解系 。
假定 ξ1,ξ2,…, ξk为齐次线性方程组 （ 2） 的 k
个解向量, 如果
（ a） ξ1,ξ2,…, ξk线性无关；
（ b） 齐次线性方程组 （ 2） 的任意解向量是 ξ1，
ξ2,…, ξk的线性组合,
则称 ξ1,ξ2,…, ξk为齐次线性方程组 （ 2） 的一
个基础解系 。
? 一个向量空间的基应该不是唯一的，则齐次线
性方程组的基础解系也不是唯一的，但其所包
含的解向量的个数应该是相同的。下面我们将
讨论如何求解齐次线性方程组的基础解系，亦
即最终实现用有限个解向量来表示齐次线性方
程组的无穷多个解向量。
? 令 x=（ x1,x2,…, xn） ‘ 是齐次线性方程组
（ 1）的任意解，由（ 3）式得：
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以上结论说明, 齐次线性方程组 （ 1） 的任意解
均为 ξ1,ξ2,…, ξn-r的线性组合 。
如果我们能说明 ξ1,ξ2,…, ξn-r是齐次线
性方程组 （ 1） 的解, 并且它们线性无关, 那么
ξ1,ξ2,…, ξn-r就是齐次线性方程组 （ 1） 的
基础解系 。 但由 ξ1,ξ2,…, ξn-r的取法这两
个条件是显然满足的 。
我们将以上所得到的结论总结成以下定理：
定理 3 如果齐次线性方程组 （ 1） 的系数矩
阵的秩 r=n,它有唯一零解, 此时它没有基础
解系；如果齐次线性方程组 （ 1） 的系数矩阵
的秩 r＜ n,它有无穷多个解, 此时它有基础解
系, 其基础解系包含 n-r个解向量, 齐次线性
方程组 （ 1） 的任意解为其基础解系的线性组
合 。
定理 3也表明, 基础解系的任意线性组合表达了
齐次线性方程组 （ 1） 的所有解, 由此有通解这
一概念 。
如果 ξ1,ξ2,…, ξn-r为齐次线性方程组
（ 1） 的基础解系, 则其任意线性组合
x=k1ξ1+k2ξ2+… +kn-rξn-r
（ k1,k2,…, kn-r为任意实数 ）
称为 齐次线性方程组 （ 1） 的通解 。
求齐次线性方程组的基础解系有以下步骤：
(1) 用初等行变换将齐次线性方程组 （ 1） 的系数矩
阵化为行最简形, 以此得到齐次线性方程组 （ 1）
同解的方程组, 即得到 (3)的形式；
(2) 根据 (3)的特殊形式写出其基础解系和通解 。
? 例 1 求解齐次线性方程组
? 解 对系数矩阵施行初等行变换成为行最简形：
1 2 3 4
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2 2 0
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? 令 x3=k1,x4=k2，可把它写成通常的参数形
式，
其中 k1,k2为任意实数, 或写成向量形式
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一、齐次线性方程组有非零解的条件
? 讨论齐次线性方程组
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时, 有无穷多个解 。
我们还不难得到以下结论：齐次线性方程组总
有解；齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 R
（ A） ＜ n；当齐次线性方程组中 m＜ n,齐次线性
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并可得到下面的推论
推论 n个变量 n个方程的齐次线性方程组有非零解
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? 到现在为止，对于齐次线性方程组，我们已解
决了在本章开始时提出的三个问题中的前两个
问题。当齐次线性方程组有无穷多个解时，如
何描述它的所有的解呢？下面我们对解的情况
进行讨论，即讨论第三个问题。
二、齐次线性方程组解的结构
若 x1=ξ11,x2=ξ21,…, xn=ξn1为齐次线性
方程组 （ 1） 的解, 则称
x=(ξ11,ξ21,…, ξn1)’ 为齐次线性方
程组 （ 2） 的解向量 。
定理 2 设 ξ1,ξ2为齐次线性方程组 （ 2） 的
两个解向量, 则其线性组合 k1ξ1+k2ξ2也是齐次
线性方程组 （ 2） 的解向量 （ k1,k2为任意实
数 ） 。
证明 这是因为 A（ k1ξ1+k2ξ2） = k1Aξ1+
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? 由此结论可知, 所有齐次线性方程组 （ 2） 的解
向量的集合形成了一向量空间, 此空间称为齐次
线性方程组 （ 2） 的 解空间 。 而由此我们又想到,
如果我们找到了此解空间的基, 便能将齐次线性
方程组 （ 2） 的解向量一并表示出来, 我们将齐
次线性方程组 （ 2） 的解空间的基称为 基础解系 。
假定 ξ1,ξ2,…, ξk为齐次线性方程组 （ 2） 的 k
个解向量, 如果
（ a） ξ1,ξ2,…, ξk线性无关；
（ b） 齐次线性方程组 （ 2） 的任意解向量是 ξ1，
ξ2,…, ξk的线性组合,
则称 ξ1,ξ2,…, ξk为齐次线性方程组 （ 2） 的一
个基础解系 。
? 一个向量空间的基应该不是唯一的，则齐次线
性方程组的基础解系也不是唯一的，但其所包
含的解向量的个数应该是相同的。下面我们将
讨论如何求解齐次线性方程组的基础解系，亦
即最终实现用有限个解向量来表示齐次线性方
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? 令 x=（ x1,x2,…, xn） ‘ 是齐次线性方程组
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性方程组 （ 1） 的解, 并且它们线性无关, 那么
ξ1,ξ2,…, ξn-r就是齐次线性方程组 （ 1） 的
基础解系 。 但由 ξ1,ξ2,…, ξn-r的取法这两
个条件是显然满足的 。
我们将以上所得到的结论总结成以下定理：
定理 3 如果齐次线性方程组 （ 1） 的系数矩
阵的秩 r=n,它有唯一零解, 此时它没有基础
解系；如果齐次线性方程组 （ 1） 的系数矩阵
的秩 r＜ n,它有无穷多个解, 此时它有基础解
系, 其基础解系包含 n-r个解向量, 齐次线性
方程组 （ 1） 的任意解为其基础解系的线性组
合 。
定理 3也表明, 基础解系的任意线性组合表达了
齐次线性方程组 （ 1） 的所有解, 由此有通解这
一概念 。
如果 ξ1,ξ2,…, ξn-r为齐次线性方程组
（ 1） 的基础解系, 则其任意线性组合
x=k1ξ1+k2ξ2+… +kn-rξn-r
（ k1,k2,…, kn-r为任意实数 ）
称为 齐次线性方程组 （ 1） 的通解 。
求齐次线性方程组的基础解系有以下步骤：
(1) 用初等行变换将齐次线性方程组 （ 1） 的系数矩
阵化为行最简形, 以此得到齐次线性方程组 （ 1）
同解的方程组, 即得到 (3)的形式；
(2) 根据 (3)的特殊形式写出其基础解系和通解 。
? 例 1 求解齐次线性方程组
? 解 对系数矩阵施行初等行变换成为行最简形：
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