第二节 实对称矩阵
的相似对角化
? 如上面的讨论中看到的,一般的方阵不一定可对角化，
但对于在应用中常常遇到的实对称矩阵（满足 A?=A
的实矩阵），不仅一定可以对角化，而且解决起来
要简便得多，这是由实对称矩阵的特征值和特征向
量的特性所决定的。
定理 1 实对称矩阵的特征值为实数。
设复数 ?为实对称矩阵 A的特征值，复向量 x为对应的
特征向量，即 Ax=?x,x?0。用 表示 ?的共轭复数，
表示 x的共轭复向量，则
λ
x
于是有
两式相减，得
但因 x ? 0，所以
故,即,这就说明 ?为实数。
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x.xxxxxxxxx
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,0|x|xx
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定理 2 设 ?1,?2是实对称阵 A的两个特征值，
p1,p2是对应的特征向量。若 ?1 ? ?2，则 p1,p2
正交。
证 ?1 p1 = A p1,?2p2 = Ap2,?1 ? ?2。
因 A对称，故
?1p1? = (?1p1)? = (A p1)? = p1?A? = p1?A，
于是，
?1p1?p2 = p1?Ap2 = p1? (?2p2) = ?2p1?p2，
即 (?2??1) p1?p2 = 0
但 ?1 ? ?2，故 p1?p2 = 0，即 p1与 p2正交。
定理 3 设 A为 n阶对称阵,?为 A的特征方程的 r重
根，则方阵 A ? ?E的秩 R (A ??E) = n ? r，从而对应
特征值 ?恰有 r个线性无关的特征向量。
由此定理再结合上一节定理 1，容易得到如下结
论,n阶对称阵 A必有 n个线性无关的特征向量，从
而 n阶对称阵一定可以对角化。不仅如此，将实对称
阵 A相似变换成对角阵的相似变换矩阵还可以是正
交阵。
定理 4 设 A为 n阶实对称阵，则必有正交阵 P，使
P?1AP = ?，其中 ?是以 A的 n个特征值为对角元素
的对角阵。
证 设 A的互不相等的特征值为 ?1,?2,…, ?s，
它们的重数分别为 r1,r2,…, rs（ r1 + r2 + … +
rs = n）。由定理 3知，对应特征值 ?i (i = 1,2,…,s)
恰有 ri个线性无关的实特征向量，把它们正交化并单
位化，即得 ri个单位正交的特征向量。由 r1 + r2
+ … +rs = n 知这样的特征向量共有 n个。又由定理 6
知对应于不同的特征值的特征向量正交，故这 n个单
位特征向量两两正交。于是以它们为列向量构成正
交阵 P，并有 P?1AP = ?，其中对角阵 ?的对角元素
含 r1个 ?1,…, rs个 ?s，恰是 A的 n个特征值。
定理 4的证明实际上提供了将 n阶实对称阵 A对角
化的方法：
1,求出 A的所有特征值 ?1,?2,…, ?s，其中 ?I
为 A的 ni重特征根（ i=1,2,…, s）且
n1+n2+…+ns=n 。
2.对每个特征值 ?I，解齐次线性方程组 (A ??iE )x =
0，求得一个基础解系，并将它们正交化
（ i=1,2,…, s），得到一个正交向量组。
3.将得到的所有的正交向量组单位化。
4.用得到的正交单位向量组（列向量组）构成正交
阵 P，则有 P?1AP=?，且对角阵 ?的主对角元素
是 A的 n个特征值。
? 注意：
1,此时得到的 P为正交阵，从而 P?1AP=?等价于
P?AP=?。因此，这种方法称为用正交变换化实对
角阵为相似对角形。
2,由于基础解系的选取不是唯一的，而且构成 P的
列矩阵的排列顺序可以是任意的，所以 P不是唯
一的；对角阵 ?的主对角元素的排列顺序与 P的列
向量组的排列顺序相对应。
例 1设
求一个正交阵 P，使 P?1AP=?为对角阵。
解 A的特征多项式为
故得 A的特征值 ?1 = ?3,?2 = 0,?3 = 3。
解齐次方程组
( A ? ?iE ) x = 0
求特征向量 。
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当 ?1 = ?3，有
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当 ?2 = 0时，有
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当 ?3 = 3时，有
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可以验证 ?1,?2,?3两两正交，下面进一步将
它们单位化：
构造正交阵
则有
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APPAPP 1
例 2 设
求一个正交阵 P，使 P?1AP=?为对角阵。
解 A的特征多项式为
故得 A的特征值 ?1 = ?3,?2 = ?3 = ?4 = 1。
解齐次方程组
( A ? ?iE ) x = 0
求特征向量。
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当 ?2 = ?3 = ?4 = 1时，有
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则 P是正交阵，且满足
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的相似对角化
? 如上面的讨论中看到的,一般的方阵不一定可对角化，
但对于在应用中常常遇到的实对称矩阵（满足 A?=A
的实矩阵），不仅一定可以对角化，而且解决起来
要简便得多，这是由实对称矩阵的特征值和特征向
量的特性所决定的。
定理 1 实对称矩阵的特征值为实数。
设复数 ?为实对称矩阵 A的特征值，复向量 x为对应的
特征向量，即 Ax=?x,x?0。用 表示 ?的共轭复数，
表示 x的共轭复向量，则
λ
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于是有
两式相减，得
但因 x ? 0，所以
故,即,这就说明 ?为实数。
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定理 2 设 ?1,?2是实对称阵 A的两个特征值，
p1,p2是对应的特征向量。若 ?1 ? ?2，则 p1,p2
正交。
证 ?1 p1 = A p1,?2p2 = Ap2,?1 ? ?2。
因 A对称，故
?1p1? = (?1p1)? = (A p1)? = p1?A? = p1?A，
于是，
?1p1?p2 = p1?Ap2 = p1? (?2p2) = ?2p1?p2，
即 (?2??1) p1?p2 = 0
但 ?1 ? ?2，故 p1?p2 = 0，即 p1与 p2正交。
定理 3 设 A为 n阶对称阵,?为 A的特征方程的 r重
根，则方阵 A ? ?E的秩 R (A ??E) = n ? r，从而对应
特征值 ?恰有 r个线性无关的特征向量。
由此定理再结合上一节定理 1，容易得到如下结
论,n阶对称阵 A必有 n个线性无关的特征向量，从
而 n阶对称阵一定可以对角化。不仅如此，将实对称
阵 A相似变换成对角阵的相似变换矩阵还可以是正
交阵。
定理 4 设 A为 n阶实对称阵，则必有正交阵 P，使
P?1AP = ?，其中 ?是以 A的 n个特征值为对角元素
的对角阵。
证 设 A的互不相等的特征值为 ?1,?2,…, ?s，
它们的重数分别为 r1,r2,…, rs（ r1 + r2 + … +
rs = n）。由定理 3知，对应特征值 ?i (i = 1,2,…,s)
恰有 ri个线性无关的实特征向量，把它们正交化并单
位化，即得 ri个单位正交的特征向量。由 r1 + r2
+ … +rs = n 知这样的特征向量共有 n个。又由定理 6
知对应于不同的特征值的特征向量正交，故这 n个单
位特征向量两两正交。于是以它们为列向量构成正
交阵 P，并有 P?1AP = ?，其中对角阵 ?的对角元素
含 r1个 ?1,…, rs个 ?s，恰是 A的 n个特征值。
定理 4的证明实际上提供了将 n阶实对称阵 A对角
化的方法：
1,求出 A的所有特征值 ?1,?2,…, ?s，其中 ?I
为 A的 ni重特征根（ i=1,2,…, s）且
n1+n2+…+ns=n 。
2.对每个特征值 ?I，解齐次线性方程组 (A ??iE )x =
0，求得一个基础解系，并将它们正交化
（ i=1,2,…, s），得到一个正交向量组。
3.将得到的所有的正交向量组单位化。
4.用得到的正交单位向量组（列向量组）构成正交
阵 P，则有 P?1AP=?，且对角阵 ?的主对角元素
是 A的 n个特征值。
? 注意：
1,此时得到的 P为正交阵，从而 P?1AP=?等价于
P?AP=?。因此，这种方法称为用正交变换化实对
角阵为相似对角形。
2,由于基础解系的选取不是唯一的，而且构成 P的
列矩阵的排列顺序可以是任意的，所以 P不是唯
一的；对角阵 ?的主对角元素的排列顺序与 P的列
向量组的排列顺序相对应。
例 1设
求一个正交阵 P，使 P?1AP=?为对角阵。
解 A的特征多项式为
故得 A的特征值 ?1 = ?3,?2 = 0,?3 = 3。
解齐次方程组
( A ? ?iE ) x = 0
求特征向量 。
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例 2 设
求一个正交阵 P，使 P?1AP=?为对角阵。
解 A的特征多项式为
故得 A的特征值 ?1 = ?3,?2 = ?3 = ?4 = 1。
解齐次方程组
( A ? ?iE ) x = 0
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然后对 标准化：
令
4321,,,????
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4
4
3
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3 pp
][P 4321 pppp?
则 P是正交阵，且满足
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