第四节 综合与提高
一, 齐次线性方程组
例 1 设 A为 n阶矩阵，证明
R（ A） =R（ A?A）。
证明 由于若 Ax=0，有 A?Ax=0，这说明凡是
Ax=0的解必为 A?Ax=0的解。
另一方面, 若 A‘Ax=0,我们记 Ax=y,则有
y?y=x ?A?Ax=x?（ A?Ax） =0,则 y=0,亦
即 Ax=0。 这说明凡是 A?Ax=0的解必为 Ax=0的
解 。 故 A?Ax=0与 Ax=0的同解 。 当两齐次线性
方程组同解, 意味着它们的基础解系包含的向
量个数相等, 亦即有：
n－ R(A)=n－ R(A?A)
所以 R(A)=R(A?A).
例 2 已知齐次线性方程组
的一个基础解系为
(b11,b12,…, b1,2n)'，
(b21,b22,…, b2,2n)',…,
(bn1,bn2,…, bn,2n)'，
1 1 1 1 2 2 1,2 2
2 1 1 2 2 2 2,2 2
1 1 2 2,2 2
0
0
( 1 )
0
nn
nn
n n n n n
a x a x a x
a x a x a x
a x a x a x
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试写出线性方程组
的通解, 并说明理由 。
解 我们记线性方程组 （ 1） （ 2） 的系数矩阵分
别为 A,B,由于
1 1 1 1 2 2 1,2 2
2 1 1 2 2 2 2,2 2
1 1 2 2,2 2
0
0
( 2 )
0
nn
nn
n n n n n
b y b y b y
b y b y b y
b y b y b y
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(b11,b12,…, b1,2n)',(b21,b22,…, b2,n)',…,
(bn1,bn2,…, bn,2n)‘为 （ 1） 的一个基础解系, 则
AB’=0,亦即有 BA‘=（ AB’)‘=O,此说明 A的 n个
行向量的转置向量为 （ 2） 的 n个解向量 。
另一方面, 由于 B的秩为 n,则以 B为系数矩阵
的方程组 （ 2） 的解空间的维数为 2n－ n=n。 而
R(A)为 2n与 （ 1） 的解空间维数的差, 即为 n,故
有 A的 n个行向量线性无关, 从而 A的 n个行向量的
转置向量构成了 （ 2） 的一个基础解系, 于是
（ 2） 的通解为
y=c1(a11,a12,…,a1,2n)'+c2(a21,a22,…,a2,2n)'+…
+cn(an1,an2,…,an,2n) '
其中 c1,c2,… cn为任意实数 。
二, 非齐次线性方程组
例 3 问 a,b为何值时，线性方程组
有唯一解、无解、有无穷多个解？并其唯一解和
通解。
1 2 3 4
234
2 3 4
1 2 3 4
0
2 2 1
( 3 ) 2
3 2 1
x x x x
x x x
x a x x b
x x x a x
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解 对其增广矩阵进行初等行变换
41
32 12
42
3
1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
0 1 2 2 1 0 1 2 2 1
0 1 3 2 0 1 3 2
3 2 1 1 0 1 2 3 1
1 1 1 1 0 1 0 1 1 1
0 1 2 2 1 0 1 2 2 1
0 0 1 0 1 0 0 1 0 1
0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
rr
rr rr
rr
B
a b a b
aa
a b a b
aa
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1） 当 a≠1时, R（ A） =R（ B） =4,这时原方程
组有唯一解为
x1=（ b－ a＋ 2） /(a－ 1),
x2=（ a－ 2b－ 3） /（ a－ 1）
x3=（ b+1） /（ a－ 1),x4=0
2） 当 a=1,R（ A） =2。
若 b≠－ 1,R（ B） =3≠R（ A）, 这时方程组无
解 。
若 b=－ 1,R(B)=2=R(A),这时方程组有无穷多
个解 。
与原方程组同解的方程组为：
则方程组的通解为：
1 3 4
234
1
2 2 1
x x x
x x x
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1
2
1 2 1 2
3
4
1 1 1
1 2 2
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0 0 1
x
x
k k k k R
x
x
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其中
三、利用线性方程组讨论矩阵的秩
例 4 设 A,B为 n阶矩阵, 证明：若 AB=0,则
R(A)+R(B)≤n。
证 设 R(A)=r,R(B)=s,由 AB=0知, B的每一
列向量都是 Ax=0的解向量 。
当 r=n时, Ax=0只有零解, 故 B=0，
而 R(A)=n,R(B)=0,结论成立 。
当 r＜ n时, Ax=0的基础解系含有 n-r个解, 从而
B的列向量组的秩 ≤n－ r，
即 R(B)≤n－ r,故 R(A)+R(B)≤n。
例 5 设 η*是非齐次线性方程组 Ax=b的一个解, ξ1，
ξ2,…, ξn-r是其对应齐次线性方程组 Ax=0的
一个基础解系, 证明
η*,η1=η*+ξ1,…, ηn-r=η*+ξn-r
是非齐次线性方程组的 n-r+1个线性无关的解向
量, 并且非齐次线性方程组的任意解向量 η可
表为
η=c0η*+c1η1+… +cn-rηn-r 此 处 的 c0+
c1+… +cn-r=1。
证 显然 η*,η1=η*+ξ1,…, ηn-r=η*+ξn-r是非齐
次线性方程组的 n－ r＋ 1个解向量, 下面我们
证其线性无关 。 假定
k0η*+k1η1+… +kn-rηn-r=0
那么有
(k0+k1+… +kn-r)η*+ k1ξ1+k2ξ2+… +kn-rξn-r =0
若 k0+k1+… +kn-r≠0,则 η*是 ξ1,ξ2,…, ξn-r的线
性组合, 因此, η*不是非齐次线性方程组的解
向量, 这与假设矛盾, 故 k0+k1+… +kn-r=0,又
因为 ξ1,ξ2,…, ξn-r是其对应齐次线性方程组
Ax=0的一个基础解系, 所以, k1=… =kn-r=0，
由此, k0=0,于是 η*,η1,…, ηn-r线性无关 。
又因为 η-η*是齐次线性方程组的解向量, η1-η*，
η2-η*,…, ηn-r-η*齐次线性方程组 Ax=0的一个
基础解系, 所以,
η－ η*=c1(η1－ η*)+c2(η2 － η*)+…
+cn-r(ηn-r－ η*)
即 η=c0η*+c1η1+… +cn-rηn-r
此处的 c0 =1－ c1－ … － cn-r,即 c0+ c1+… +cn-r=1。
此例说明, 非齐次线性方程组的任意解向量可用
该方程组自身的 n－ r＋ 1个解向量的线性组合
来表示, 但其组合系数必等于 1。 这是非齐次
线性方程组的任意解向量的另一种表示方式 。
一, 齐次线性方程组
例 1 设 A为 n阶矩阵，证明
R（ A） =R（ A?A）。
证明 由于若 Ax=0，有 A?Ax=0，这说明凡是
Ax=0的解必为 A?Ax=0的解。
另一方面, 若 A‘Ax=0,我们记 Ax=y,则有
y?y=x ?A?Ax=x?（ A?Ax） =0,则 y=0,亦
即 Ax=0。 这说明凡是 A?Ax=0的解必为 Ax=0的
解 。 故 A?Ax=0与 Ax=0的同解 。 当两齐次线性
方程组同解, 意味着它们的基础解系包含的向
量个数相等, 亦即有：
n－ R(A)=n－ R(A?A)
所以 R(A)=R(A?A).
例 2 已知齐次线性方程组
的一个基础解系为
(b11,b12,…, b1,2n)'，
(b21,b22,…, b2,2n)',…,
(bn1,bn2,…, bn,2n)'，
1 1 1 1 2 2 1,2 2
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解 我们记线性方程组 （ 1） （ 2） 的系数矩阵分
别为 A,B,由于
1 1 1 1 2 2 1,2 2
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b y b y b y
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AB’=0,亦即有 BA‘=（ AB’)‘=O,此说明 A的 n个
行向量的转置向量为 （ 2） 的 n个解向量 。
另一方面, 由于 B的秩为 n,则以 B为系数矩阵
的方程组 （ 2） 的解空间的维数为 2n－ n=n。 而
R(A)为 2n与 （ 1） 的解空间维数的差, 即为 n,故
有 A的 n个行向量线性无关, 从而 A的 n个行向量的
转置向量构成了 （ 2） 的一个基础解系, 于是
（ 2） 的通解为
y=c1(a11,a12,…,a1,2n)'+c2(a21,a22,…,a2,2n)'+…
+cn(an1,an2,…,an,2n) '
其中 c1,c2,… cn为任意实数 。
二, 非齐次线性方程组
例 3 问 a,b为何值时，线性方程组
有唯一解、无解、有无穷多个解？并其唯一解和
通解。
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2 3 4
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( 3 ) 2
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x a x x b
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解 对其增广矩阵进行初等行变换
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1 1 1 1 0 1 1 1 1 0
0 1 2 2 1 0 1 2 2 1
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1 1 1 1 0 1 0 1 1 1
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0 0 0 1 0 0 0 0 1 0
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B
a b a b
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1） 当 a≠1时, R（ A） =R（ B） =4,这时原方程
组有唯一解为
x1=（ b－ a＋ 2） /(a－ 1),
x2=（ a－ 2b－ 3） /（ a－ 1）
x3=（ b+1） /（ a－ 1),x4=0
2） 当 a=1,R（ A） =2。
若 b≠－ 1,R（ B） =3≠R（ A）, 这时方程组无
解 。
若 b=－ 1,R(B)=2=R(A),这时方程组有无穷多
个解 。
与原方程组同解的方程组为：
则方程组的通解为：
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其中
三、利用线性方程组讨论矩阵的秩
例 4 设 A,B为 n阶矩阵, 证明：若 AB=0,则
R(A)+R(B)≤n。
证 设 R(A)=r,R(B)=s,由 AB=0知, B的每一
列向量都是 Ax=0的解向量 。
当 r=n时, Ax=0只有零解, 故 B=0，
而 R(A)=n,R(B)=0,结论成立 。
当 r＜ n时, Ax=0的基础解系含有 n-r个解, 从而
B的列向量组的秩 ≤n－ r，
即 R(B)≤n－ r,故 R(A)+R(B)≤n。
例 5 设 η*是非齐次线性方程组 Ax=b的一个解, ξ1，
ξ2,…, ξn-r是其对应齐次线性方程组 Ax=0的
一个基础解系, 证明
η*,η1=η*+ξ1,…, ηn-r=η*+ξn-r
是非齐次线性方程组的 n-r+1个线性无关的解向
量, 并且非齐次线性方程组的任意解向量 η可
表为
η=c0η*+c1η1+… +cn-rηn-r 此 处 的 c0+
c1+… +cn-r=1。
证 显然 η*,η1=η*+ξ1,…, ηn-r=η*+ξn-r是非齐
次线性方程组的 n－ r＋ 1个解向量, 下面我们
证其线性无关 。 假定
k0η*+k1η1+… +kn-rηn-r=0
那么有
(k0+k1+… +kn-r)η*+ k1ξ1+k2ξ2+… +kn-rξn-r =0
若 k0+k1+… +kn-r≠0,则 η*是 ξ1,ξ2,…, ξn-r的线
性组合, 因此, η*不是非齐次线性方程组的解
向量, 这与假设矛盾, 故 k0+k1+… +kn-r=0,又
因为 ξ1,ξ2,…, ξn-r是其对应齐次线性方程组
Ax=0的一个基础解系, 所以, k1=… =kn-r=0，
由此, k0=0,于是 η*,η1,…, ηn-r线性无关 。
又因为 η-η*是齐次线性方程组的解向量, η1-η*，
η2-η*,…, ηn-r-η*齐次线性方程组 Ax=0的一个
基础解系, 所以,
η－ η*=c1(η1－ η*)+c2(η2 － η*)+…
+cn-r(ηn-r－ η*)
即 η=c0η*+c1η1+… +cn-rηn-r
此处的 c0 =1－ c1－ … － cn-r,即 c0+ c1+… +cn-r=1。
此例说明, 非齐次线性方程组的任意解向量可用
该方程组自身的 n－ r＋ 1个解向量的线性组合
来表示, 但其组合系数必等于 1。 这是非齐次
线性方程组的任意解向量的另一种表示方式 。
