第六章 二次型
第一节 二次型的
定义
及其矩阵表示
定义 1 含有 n个变量的二次齐次函数
称为二次型。当 aij为复数时,f 称为复二次型。
当 aij为实数时,f 称为实二次型，本章仅讨论实
二次型。
若令
则
2 2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
1 2 1 2 1 3 1 3 1,1
(,,,)
2 2 2 ( 1 )
n n n n
n n n n
f x x x a x a x a x
a x x a x x a x x??
? ? ? ? ?
? ? ?
j i i ja a i j??
2
1 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1
2
2 1 2 1 2 2 2 2 2
2
1 2 2
(,,,)
n1
a
n n n
nn
n n n n n n
f x x x a x a x x a x x
a x x a x a x x
x x a x x a x
? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
即
把 A称为二次型（ 1）对应的矩阵,A的秩称为二
次型（ 1）的秩。
12
11
(,,)
nn
n i j i j
ij
f x x x a x x
??
? ??
1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 2 2
12
,
n
n
n n n n n
a a a x
a a a x
Ax
a a a x
? ? ? ?
????
????
????
????
??? ? ? ?
若记 则
12
11
(,,,) '
nn
n i j i j
ij
f x x x a x x x A x
??
????
例 1 求二次型
解
2 2 2 2
1 2 1 2 2 3 3 4(,,,) 5 2 4 nf x x x x x x x x x? ? ? ? ?
5
2
5
2
1 0 0 0
0 1 0
0 2 0
0 0 0 4
A
??
??
?
???
??
??
??
对于二次曲面
我们可以通过一个坐标旋转
把二次曲面化为标准形
从代数的角度看，化标准形的过程就是通过变量
的坐标变换化简一个二次齐次多项式。
22 a x b x y c y d? ? ?
' c o s ' s i n c o s s i n '
' s i n ' c o s s i n c o s '
x x y x x
y x y y y
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ??
即
22' ' ' ' a x c y d??
我们下面推广坐标旋转变换的概念。
定义 2 设变量 x1,x2,…, xn能用变量 y1，
y2,…, yn表示为
1 1 1 1 1 2 2 1
2 2 1 1 2 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1 1 2 1 1 1
2 2 1 2 2 2 2 2
12
( * )
nn
nn
n n n n n n
n
n
n n n n n n n
x c y c y c y
x c y c y c y
x c y c y c y
x c c c y y
x c c c y y
C
x c c c y y
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
即
?
?
?
?
??
??
?
*式称为从变量 y1,y2,…, yn到变量 x1,
x2,…, xn的线性变换，其中 cij为常数（ i,j=1，
2,…, n）。 矩阵 C称为从变量 y1,y2,…, yn
到变量 x1,x2,…, xn的过渡矩阵。
当 C为正交矩阵时，（ *）称为正交变换，如坐标旋
转变换就是正交变换。
对于实二次型
如果作正交变换 x=Cy,则
其中 C?AC仍是对称阵,y ?(C?AC)y是
y1,y2,…, yn的一个二次型。
12
11
(,,,) '
nn
n i j i j
ij
f x x x a x x x A x
??
????
12
11
(,,,) '
( ) ' ' '
nn
n i j i j
ij
f x x x a x x x A x
C y A C y y C A C y
??
??
??
??
因此我们只要找到正交矩阵 C
（ 即 C ? ＝ C－ 1）,使得 C ?AC为对角阵，
则 f 就化为只含有 y1,y2,…, yn平方项而
没有 y1,y2,…, yn交叉相乘的项。称此
y1,y2,…, yn的二次型为 f 的标准形。