第五节 矩阵的秩和向量组的秩
定理 1 （ 1） 若矩阵 A经过有限次初等 行 变
换变成 B,则 A的 行向量组 与 B的 行向量组 等价；
而 A的任意 k个 列向量 与 B中对应的 k个 列向量
有相同的线性相关性 。
（ 2） 若矩阵 A经过有限次初等列变换变
成 B,则 A的列向量组与 B的列向量组等价；而
A的任意 k个行向量与 B中对应的 k个行向量有
相同的线性相关性 。
证明,
（ 1） 当矩阵 A经某个初等变换变为 B时, B
的行向量组能由 A的行向量组线性表示；而 B
经过这个初等行变换的逆变换 （ 仍为初等行变
换 ） 可变为 A,因而 A的行向量组也能由 B的行
向量组线性表示 。 于是矩阵 A,B的行向量组
等价 。
由于矩阵 A,B的行向量组等价, 因此方程
组 Ax = 0与 Bx= 0同解 。 所以 A的任意 k个列向
量与 B的相应的 k个列向量有相同的线性相关性 。
（ 为什么？ 请思考 ！ ）
定义 1 矩阵 A的行向量组的秩称为矩阵 A的行秩；
A的列向量组的秩称为 A的列秩。
定理 2 设 A为一个矩阵, 则 A的行秩＝ A的列秩＝
矩阵 A的秩 。
证,
对 A进行初等行变换将其化为 行阶梯形 U,则
由定理 1（ 1） 知道 A的行向量组与 U的行向量组
等价, 故
A的行秩＝ U的行秩；
同时, 由定理 1（ 1） 的后半部分结论知道
A的列秩＝ U的列秩 。
而对于 行阶梯形矩阵 U来说，显然
U的行秩＝ U的列秩＝矩阵 U的秩，
因此定理 2的结论成立。
定理 3 设 A为 n阶方阵, 则 R(A)＝ n的充分必要条
件为 |A|≠0。
证, 充分性 ?”, 设 |A|≠0,则由 Cramer法则
知道 Ax＝ 0只有零解 。 故 A的列向量组线性无
关, 因此由定理 2知道 R(A)＝ n。
“必要性 ?”：设 R(A)＝ n，则 A的标准型为
n阶单位矩阵 En，即存在可逆矩阵 P,Q使得
PAQ＝ E n。等式两边取行列式则有 |A|≠0。
例 1 设 α1= (1,2,3,4),α2= (2,3,4,5),
α3= (1,1,0,0),α4= (0,0,1,1)，
求 α1,α2,α3,α4的秩和它的一个最大无关
组 。
23
2 1 2 4
1
2
3
4
1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4
2 3 4 5 1 1 1 1 0 0 0 0
1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0
0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1
rr
r r r r
A
?
?
?
?
?
??
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?? ? ? ? ? ? ?
?? ? ? ? ? ? ???
? 故由定理２的证明和定理１, Ｒ (A)＝３, 且
在矩阵Ａ中,
23
34 1
21
1 2 3 4
0 1 3 4
.
0 0 1 1
0 0 0 0
rr
rr
rr
?
?
?
??
??
? ? ?
????
??
??
234
1 1 0 0
0 0 1
?
? 因此由定理３，向量（ 2,3,4） (1,1,0 )
(0,0,1)线性无关,故由第二节定理４，知道 α2，
α3,α4线性无关，所以,α2,α3,α4是所论向
量组的一个最大无关组．实际上，我们可以证
明，对于此例而言,α1,α2,α3,α4中任意三
个向量均是最大无关组．
*定理４ （ 1） 设 A,B分别为 m× n和 s× n矩阵,
则
（ 2） 设 A,B分别为 r阶和 s阶方阵, C为
r× s阶矩阵, 则
且当 A(或 B)为可逆方阵时, 或 C＝ O时, 上述不
等式为等式 。
（ 3） 设 A,B分别为 m× r矩阵和 r× n矩
阵, 则
A
m a x ( R ( A ),R ( B ) ) R R ( A ) R ( B ),
B
??? ? ?
????
AC CB
R R ( A ) R ( B ),( R R ( A ) R ( B ), )
B A
T
O O
????
? ? ? ?????
?? ??
类似，
R ( A B ) m i n { R ( A ),R ( B ) },?
例 2 设 A,B均为 m× n矩阵,
证明 R(A+B)≤ R(A)＋ R(B)。
证明 因为 A+B可以表示为
? ?,mm
A
A B E E
B
??
?? ??
??
4 3 ) 4 ( 1 )A
R ( A B ) [ ] R R ( A ) R ( B )
Bmm
A
RE
B?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
定理 （ 定理
。
定理 5（ 矩阵的秩的第一降阶定理 ） 设 A为 s× s
可逆矩阵, 且设
证明 根据分块矩阵的乘法规则, 我们有
1
AB
CD
AB
R R ( A ) R ( D C A B ),
CD
mn
?
??
?
??
??
??
??
??
??
为 矩阵，
则＋
1 1
1 1
E A B A B
C A E C D D C A B
E A B A B
,
C A E D C A B C D
s
ns
s
ns
O
O
O
O
? ?
?
? ?
?
?? ? ? ? ?
??? ? ? ? ?
? ?? ? ? ???
?? ? ? ? ?
??? ? ? ? ?
?? ? ? ???
且
所以由定理 4（ 3） 有
推论 (矩阵的秩的第二降阶定理 )
设 A r× r,B r× (n－ r),C(m－ r) × r,D(m－ r) × (n－ r)为四个
矩阵, 且 A可逆, 则
11
A B A B A B A BR R R R
D C A B C D C D O D C A BO ??
? ? ? ? ? ? ? ???
? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?且，
4 ( 2 )
1
1
A B A B
R R R ( A ) R ( D C A B ),
C D D C A BO
?
?
? ? ? ?? ? ? ? ?
? ? ? ??? ? ? ?
定理
证毕
1 ABR ( D C A B ) R R ( A ),
CD
? ??? ? ?
??
??
*定理 6 (Sylvester) 设 A,B分别为 m× n及
n× s矩阵, 则
R (AB) ≥ R (A)＋ R (B)－ n,
证 R (AB)＝ R (O－ (－ A)EnB)
≥R(－ A)＋ R(B)－ n ＝ R (A)＋ R (B)－ n,
1 E B E BR ( ( A ) E B ) R R ( E ) R
AA
nn
nnOn OO
? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
推论
例 3 设 A,B分别为 m× n和 n× s矩阵, 且 AB＝
0,则 R(A)＋ R(B)≤n,
证 因为 AB＝ O,所以由 Sylvester不等式知道 0
＝ R(AB)≥R(A)＋ R(B)－ n,
例 4 设 A为 n阶方阵, 满足 A2＝ A,证明 R(A)＋
R(En－ A)＝ n,
证 由 A2＝ A知道 A（ A－ En） ＝ O,因此由例 3
得 R(A)＋ R(En－ A)≤n。
另一方面, 由例 2有 n＝ R(En)＝ R(A＋ En－
A)≤R(A)＋ R(En－ A),所以
R(A)＋ R(En－ A)＝ n,