《线性代数》ppt课件：2.4

第四节 逆矩阵
一、逆矩阵的定义
定义 对于 n阶方阵 A,如果有一个 n阶方阵 B,使
得
AB=BA=E。
则称 矩阵 A是可逆的, 并把 方阵 B称为 A的
逆阵 (inverse matrix)。
逆矩阵的初等性质,
1.) 如果 A是可逆的, 则 A的逆阵是唯一的 。
这是因为：设 B,C都是 A的逆阵, 则有
B=BE=B(AC)= (BA)C=EC=C，
所以 A的逆阵是唯一的 。 以后, 我们就记
此唯一的逆阵为 A?1。
2.) 当 A可逆时,
AA?1=A?1A=E.
二、矩阵 A可逆的充要条件
定理 1 若方阵 A可逆, 则 |A| ? 0 。
证明 A可逆, 即有 A的逆矩阵 A?1,使得 AA?1 =
E。 故 |A|A?1|=|A||A?1| = |E| = 1,所以 |A| ? 0。
定理 2 若 |A| ? 0,则方阵 A可逆, 且
其中 A*为方阵 A的伴随阵,
1 1A,
||
A
A
???
1 1 2 1 1
2 1 2 2 2
12
n
n
n n n n
A A A
A A A
A
A A A
?
??
??
??
?
??
??
????
证明, 设 A =（ aij），记 AA* =（ bij），则
bij = ai1Aj1+ ai2Aj2+???+ ainAjn = |A|?ij，
故 AA* =（ |A|?ij） = |A|（ ?ij） = |A| E 。
类似地,
A*A = |A| E 。
其中
故
1
0ij
ij
ij
?
??
? ?
??
11
| | | |
A A A A E
AA
????
? 定义 如果 n阶方阵 A的行列式 det A ? 0,则称
A为非奇异 (nonsingular)矩阵 （ 或称为非退化
(nondegenerate)矩阵 ）, 否则称 A是奇异矩阵
（ 或称为退化矩阵 ） 。 由上面的两个定理可知：
? 定理 3 （ 可逆的充分必要条件 ） A是可逆矩阵
的充分必要条件是 |A| ? 0。 即可逆方阵就是非
奇异方阵 。
? 推论, 若 AB=E（或 BA=E），则 B=A?1。
方阵的逆阵满足下述运算规律,
? a)若 A可逆, 则 A?1也可逆, 且 （ A?1） ?1 = A；
? b)若 A可逆, ?? 0, 则 ?A可逆, 且
? c)若 A,B是同阶方阵且均可逆, 则 AB也可逆,
且 (AB)?1 = B?1A?1；
证明,(AB)( B?1 A?1) = A(BB?1)A?1=AEA?1=E，
由推论知结论成立 。
? d)若 A可逆, 则 A?可逆, 且 (A?)?1 = (A?1) ?。
证明 A? (A?1) ? = (A?1A) ? = E? = E,由推论知
结论成立 。
例 1 判定矩阵
是否可逆 。 若可逆, 求出其逆矩阵 。
解 由于
故 A可逆,
1 1 1
2 1 0
1 0 1
A
???
??
??
??
????
1 1 1
d e t 2 1 0 4 0
1 0 1
A
?
? ? ? ? ?
1 1 2 1
3 1 1 2
2 2 3 2
1 3 2 3
33
1 0 1 1
1,1,
0 1 0 1
1 1 2 0
1,2,
1 0 1 1
1 1 1 1
2,2,
1 1 2 0
2 1 1 1
1,1,
1 0 1 0
11
3,
21
AA
AA
AA
AA
A
??
? ? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ? ? ?
?
??
? ? ? ? ? ?
?
? ? ? ? ?
? ? ?
?
1 1 2 1 3 1
1
1 2 2 2 3 2
1 3 2 3 3 3
1
11
d e t d e t
1 1 1
4 4 4
111
1 1 1 1
2 2 2
4 2 2 2
1 1 3
1 1 3
4 4 4
A A A
A A A A A
AA
A A A
A
??
?
??
??
??
??
??
??
??
??
?????
??
?? ??
? ? ? ? ? ?
?? ??
?? ? ??
??
??
??
??
??
? 例 2 已知 求 A－ 1 。
解 |A|＝ ad－ bc ≠0,故 A可逆。
且易得
,0,abA a d b c
cd
??? ? ?
??
??
且
1 1,dbA
caa d b c
? ????
????
??
? 例 3 设
求矩阵 X满足 AXB=C 。
分析 若 A,B可逆, 则用 A?1左乘上式, B?1右乘
AXB=C, 有
A?1AXBB?1=A?1CB?1，
即 X=A?1CB?1。
1 2 3 1 3
21
2 2 1,,2 0,
53
3 4 3 3 1
A B C
? ? ? ?
??? ? ? ?
? ? ???
? ? ? ?
??
? ? ? ?? ? ? ?
11
,
1 3 2
3135
3,,
5222
1 1 1
S o l u t i o n
AB
??
???
??
???
??? ? ? ?
??
???
??
??
?
??
11
1 3 2
13
3135
3 2 0
5222
31
1 1 1
1 1 2 1
31
0 2 1 0 4
52
0 2 1 0 4
So
X A C B
??
???
??
??
???
??
??? ? ? ?
??
??
???
??
??
????
?
??
?? ? ? ?
???
? ? ? ?
? ? ? ?
??
? ? ? ?
?
??
? ? ? ??
? ? ? ?
三、求逆矩阵的初等变换方法
关于初等矩阵的逆矩阵，我们有如下结论：
初等矩阵均为可逆矩阵，并且其逆矩阵仍为同类
型的矩阵。其中
1(,) (,) ;E i j E i j? ?
1 1( ( ) ) ( ( ) ) ;E i k E i
k
? ?
1(,( ) ) (,( ) ),E i j k E i j k? ??
? 根据初等矩阵的性质和可逆矩阵是满秩矩阵,
我们可以得到可逆矩阵的初等分解定理：
定理 4 设 A为可逆矩阵, 则存在有限个初等
矩阵 P1,P2,…, Ps,使 A=P1P2… Ps
证 因 A为可逆矩阵, A～ E,故 E经过有限
次初等变换可变成 A,也就是存在有限个初
等矩阵 P1,P2,…, Ps,使
P1P2… PtEPt+1Pt+2… Ps = A,（ 1≤t≤s）
即 A=P1P2… Ps。
显然, 若存在 s个初等矩阵 P1,P2,…, Ps，
使 A=P1P2… Ps,则因为初等矩阵都是可逆矩
阵, 所以 |A|=|P1|·|P2|·… ·|Ps| ? 0,故 A可逆 。
从而, 结合上述定理我们得到,方阵 A可逆的
充分必要条件是存在 s个初等矩阵 P1,P2,…,
Ps,使 A= P1P2… Ps。
推论 1 m?n矩阵 A～ B的充分必要条件是：
存在 m阶可逆矩阵 P及 n阶可逆矩阵 Q,使 PAQ
= B。
推论 2 设 A是 m?n阶矩阵, R（ A） = r，
则存在 m阶可逆矩阵 P及 n阶可逆矩阵 Q,使
???
? ??
??
rr
E0
P A Q
00
? 设 A为 n阶可逆矩阵, 则 A?1也是 n阶可逆矩阵 。
因此由定理 6,A?1可以表示为有限个初等矩阵
的乘积, 即存在 n阶初等矩阵 P1,P2,…, Ps，
使 A?1=P1P2… Ps
? 上式也可写成
（ *） A?1=P1P2… PsE
将此式的两边同时右乘 A,得到
A?1A=P1P2… PsA
即 （ **） E=P1P2… PsA
? 比较 （ *） 式和 （ **） 式可以看出：当对矩
阵 A进行有限次初等行变换, 将 A化成单位矩
阵 E时, 对单位矩阵 E进行相同的初等行变换,
就可以将 E化成 A?1。
? 于是, 我们可以采用下列方式求 A?1：将 A
和 E并排放在一起, 组成一个 n?2n矩阵 （ A,
E）, 对 （ A, E） 作一系列初等行变换, 将
其左半部分化成单位矩阵 E,这时其右半部分
就是 A?1。 即
1(,) (,)A E E A ?????? 初等行变换
? 例,求 A?1,其中
2 4 1
1 5 2
1 1 1
A
???
??
??
??
???
??
12
2 1 2
31
26
2 4 1 1 0 0 1 5 2 0 1 0
(,) 1 5 2 0 1 0 2 4 1 1 0 0
1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1
1 5 2 0 1 0
1 5 2 0 1 0
1 1 1
0 6 3 1 2 0 0 1 0
2 6 3
0 4 1 0 1 1
0 4 1 0 1 1
rr
r r r
rr
AE
?
??
?
??? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ???? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
???
???
??
??
?????? ? ? ???? ? ?
??
??
?? ??
?? ??
??
??
1
23
32 2
13
12
4
2
5
41
1 5 0 2
1 5 2 0 1 0
33
1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 0
2 6 3 6 6 2
2 1 2 1
0 0 1 1 0 0 1 1
3 3 3 3
41 1 1 1
1 5 0 2 1 0 0
33 2 2 2
1 1 1 1 1 1
0 1 0 0 1 0
6 6 2 6 6 2
2 1 2 1
0 0 1 1 0 0 1 1
3 3 3 3
rrrr
rr
rr
??
?
?
????
??
?????
????
????
? ? ? ? ? ?
????
????
????
??
????
??
??
?? ?
??
??
??
? ? ? ? ? ?
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
??
1
1 1 1
2 2 2
1 1 1
6 6 2
21
1
33
A
?
??
?
??
??
??
? ? ? ?
??
??
??
?
??
??
? 完全类似我们可以用初等列变换来求矩阵 A的
逆矩阵。即
1
.
AE
EA ?
? ? ? ?
?????? ? ? ?
? ? ? ?
初等列变换
? 实际上我们还可以用初等变换方法求解一般的
矩阵方程 AX＝ B或 XH＝ G，即求 X＝ A－ 1B或 X
＝ GH－ 1。此时可按如下方法进行：
? ? ? ?
1
1
A B E A B
HE
G G H
?
?
?????
? ? ? ?
?????? ? ? ?
? ? ? ?
初等行变换
初等列变换
? 例：求解矩阵方程 AX=A + 2X，其中
? 解,由 AX=A + 2X可得
（ A ? 2E） X = A
因为
4 2 3
1 1 0
1 2 3
A
??
??
?
??
?????
2 2 3
d e t ( 2 ) 1 1 0 1 0
1 2 1
AE? ? ? ? ? ?
?
? 所以
1X ( A 2 )EA???
2 2 3 4 2 3 1 1 0 1 1 0
( 2,) 1 1 0 1 1 0 2 2 3 4 2 3
1 2 1 1 2 3 1 2 1 1 2 3
1 1 0 1 1 0 1 0 0 3 8 6
0 1 0 2 9 6 0 1 0 2 9 6
0 0 1 2 1 2 9 0 0 1 2 1 2 9
A E A
?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
? ? ? ?
3 8 6
2 9 6
2 1 2 9
X
????
??
? ? ?
?????
因此，
? 线性方程组与矩阵方程的关系
方程组
其实就是矩阵方程 AX=B,其中 A为上述方
程组的系数矩阵,X为由 n个未知数组成的列矩
阵，而 B为上述方程组右边的数组成的列矩阵。
这由
矩阵的乘法定义易直接验证。
1 1 1 1 2 2 1 1
2 1 1 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
n n n n n n
a x a x a x b
a x a x a x b
a x a x a x b
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
?
? ? ? ? ?
?
? 因此上述方程组可用初等变换来求解
上述过程实际上就是我们非常熟悉的
Gauss消元法。这也是初等行变换的来源。
? ? ? ?1A B E A B?????? 初等行变换