第四节 行列式按行 (列 )展开
一般说来，低阶行列式的计算要比高阶行列式的
计算要简便，于是我们自然地考虑到用低阶的行列式
来表示高阶的行列式的问题。为此，先引入余子式和
代数余子式的概念。
定义 在 n阶行列式 中，把元素 所在的
第 i行、第 j列划去，剩下的元素按原来的相对位置形
成的 n-1阶行列式叫做元素 的 余子式,记作 ；称
叫做元素 的 代数余子式 。
)( ijaD ? ija
ija
ijM
ijjiij MA ??? )1( ija
例如 四阶行列式
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?
中元素 的余子式和代数余子式分别为
34a
434241
232221
131211
34
aaa
aaa
aaa
M ? 34344334 )1( MMA ???? ?
引理 设 是 n阶行列式，如果其中第 i行)d e t(
ijaD ?
(或第 j列 )元素除 外都为零，则
ija
ijij AaD ?
证,先证明特殊情况，设
nnnnn
n
aaaa
aaaa
a
D
?
?????
?
?
321
2232221
11
000
?
则
? ??
???
?????
n
nnppp ppp
t aaaD
21
2211
1
? ??
???
?????
npp
npp
t
n
aaa
2
2211
1
1
? ??
???
?????
npp
npp
t
n
aaa
2
22111
1
这里 t是排列 的逆序数，当 p=1时，就是排
列的 逆序数，故
nppp ?21
npp ?2
? ??
???
?????
npp
npp
t
n
aaaD
2
11 221
11111111111111 )1( MaMaMa ???? ?
再证一般情况，设
nnnjnjnjn
nijijijii
ij
nijijijii
njjj
aaaaa
aaaaa
a
aaaaa
aaaaa
D
??
???????
??
??
??
???????
??
111
11111111
11111111
11111111
0000
??
???????
???????
??
?
把 D的行列作如下调换：把 D的第 i行依次与第 i?1
行、第 i?2行,…,第 1行对调，这样 就调到原来
的位置上，调换的次数为 i-1.再把第 j列依次与第 j?1
列、第 j?2列,? 第 1列对调,这样就调到了左上角,调换
ija
ja1
的次数为 j-1。总之，经过 i+j-2次调换，把 调到了
左上角，所得的行列式 ija DDD jiji ??? ???? )1()1( 21
在 D1中的余子式仍然是 在 D中的余子式 。
，而元素
ija
ija ijM
于是
利用前面结果，有
ijij MaD ?1
ijijijijjiji AaMaDD ????? ?? )1()1( 1
定理 1 行列式等于它的任一行 (列 )的各元素与其
对应的代数余子式乘积之和,即
),,2,1(2211 niAaAaAaD ininiiii ?? ?????
（按行展开式）
或
),,2,1(2211 njAaAaAaD njnjjjjj ?? ????? （按列展开式）
证：
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
????
????
?
21
21
11211
000000 ??????????
nnnn
i
n
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
?
????
?
????
?
21
2
11211
21
1
11211
0000 ??
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
?
21
11211
00??
根据引理,即得
),,2,1(2211 niAaAaAaD ininiiii ?? ?????
类似地,若按列证明,可得
),,2,1(2211 njAaAaAaD njnjjjjj ?? ?????
该定理叫做行列式按行 (列 )展开法则。显然，行
列式按行 (列 )展开法则提供了计算 n阶行列式的一种
方法：通过反复运用该法则，将一个 n阶行列式归结
为 n!项的代数和，每一项是 n个不同行不同列的元素
的乘积。
推论 行列式任一行 (列 )的元素与另一行 (列 )的对
应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
)(02211 jiAaAaAaD jninjiji ?????? ?或
)(02211 jiAaAaAaD njnijiji ?????? ?
证, 把行列式 按第 j行展开，有)(
ijaD ??
nnn
jnj
ini
n
aa
aa
aa
aa
?
???
?
???
?
???
?
?
1
1
1
111
jnjnj2j2j1j1
A a A a A a ????
在上式中把 换成,可得
ika ),,1( nka jk ??
nnn
ini
ini
n
aa
aa
aa
aa
?
???
?
???
?
???
?
?
1
1
1
111
jninj2i2j1i1
A a A a A a ????
故行列式为零，即得
当 i?j时，上式右端行列式中有两行对应元素相同，
)(02211 jiAaAaAa jninjiji ????? ?
上述证法若按列进行，即可得
)(02211 jiAaAaAa njnijiji ????? ?
综合定理及其推论，有代数余子式的重要性质：
?
? ?
?? ?
???n
k
ijkjki ji
jiDDAa
1 0
?
或
?
? ?
?? ?
???n
k
ijjkik ji
jiDDAa
1 0
?
其中
?
?
?
?
???
ji0
ji1
ij
称为克朗尼克（ Kronecker）符号 。