第三节 向量组的最大无关组和秩
行向量组 αi＝ （ ai1,ai2,…, a in）,
i = 1,2,…, m可以构成矩阵
称矩阵 A是由向量组 α1,α2,…, αm所构成的
矩阵, 而向量组 α1,α2,…, αm称为矩阵 A的
行向量组 。
1 1 1 1 2 1
2 2 1 2 2 2
12
a a a
a a a
a a a
n
n
m m m m n
A
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? 列向量组
也可以构成矩阵
向量组 β1,β2,…, βn称为矩阵 A的列向量
组 。
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2j
mj
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a
j 1,2,.
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n
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一个 m× n矩阵 A有 m个 n维行向量, 同时也有 n
个
m维列向量 。
由向量组线性相关的定义可知, 矩阵 A的列向
量组 β1,β2,…, βn线性相关的充分必要条件
是齐次方程组
x1β1 + x2β2 + … + xnβn = 0
有非零解, 也就是齐次方程组
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1
2
12
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n
x
x
x
x
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即A 有非0 解.
而一个列向量 b可以用列向量组 β1,β2,…, βn
表示的充分必要条件是线性方程组
x1β1 + x2β2 + … + xnβn = b 即 Ax＝ b
有解 （ 不一定是唯一解 ） 。
完全类似, 矩阵 A的行向量组 α1,α2,…,
αm线性相关的充分必要条件是齐次方程组
x1α1 + x2α2 + … + xmαm = 0
有非零解 。
? 也就是方程组
而一个行向量 a可以用行向量组 α1,α2,…, αm
表示的充分必要条件是线性方程组
x1α1 + x2α2 + … + xmαm = a
即 x′A＝ a ( 或者 A′x＝ a′ )
有解 （ 不一定是唯一解 ） 。
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n
n
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即 或 有非0 解.
定义 1 设有两个 n维向量组
A,α1,α2,…, αr;
B,β1,β2,…, βs.
如果向量组 A中的每个向量都能由向量组 B
中的向量线性表示, 则称向量组 A能由向量
组 B线性表示 。 如果向量组 A能用向量组 B
线性表示, 并且向量组 B也能用向量组 A线
性表示, 则称向量组 A和向量组 B等价
（ equivalent） 。
下面我们将讨论怎样用矩阵记号表示, 向量组 A
用
向量组 B线性表示, 这件事 。 设向量组 A能由向
量
组 B线性表示, 则存在 r 组数 ki1,ki2,…,kis
(i=1,2,…,r)使
αi = ki1β1 + ki2β2 + …… + kisβs 。
（ i=1,2,…,r ）,
当向量组 A,B是行向量组时, 令矩阵 11
22
,
sr
AB
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? 则上述 αi用 β1,β2,…, βs线性表示的 r个式
子合在一起表示为矩阵等式即是说, 存在 r× s矩
阵 K= (kij)r× s,使得
? 当向量组 A,B是列向量组时, 令矩阵
A＝ [α1,α2,…, αr],B= [β1,β2,…, βs],则
存在 s× r矩阵 K′＝ (kji)s× r,使得 A=BK′。
其中 K′的第 i列元素就是向量 αi用 β1,β2,…,
βs线性表示的系数 。
1 1 1 2 1 11
2 1 2 2 2 22
12
k k k
k k k
K B,
k k k
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s
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A
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显然, 向量组之间的等价关系具有如下性质：
1)反身性：向量组 A与向量组 A等价 。
2)对称性：若向量组 A与向量组 B等价, 则向量
组 B与向量组 A等价 。
3)传递性：若向量组 A与向量组 B等价, 且向量
组 B与向量组 C等价, 则向量组 A与向量组 C等
价 。
数学中, 常常把具有上述三条性质的关系称为等
价关系 。
定理 1 若向量组 A,α1,α2,…, αr可用向量组 B：
β1,β2,…, βs线性表示，且向量组 A线性无关，
则向量组 A的向量个数不超过向量组 B的向量
个数，即
证 用反证法证明定理结论 。 假设 我们的目
标是得出向量组 A,α1,α2,…, αr线性相 关,
从而得到矛盾 ！
设有 r个常数 λ1,λ2,…, λr使得
λ1α1 + λ2α2 + … + λrαr = 0。
而由 αi = ki1β1 + ki2β2 + …… + kisβs，
（ i=1,2,…,r ）,
.rs?
.rs?
我们有
上式最后一个等式是由求和符号 Σ的性质得到
的 。 当 βj的系数全为 0时, 上式显然成立, 即当
时，上式成立。
而这是关于 r个未知数 λ1,λ2,…, λr的齐次线性
方程组，由于它的方程个数 s＜未知数个数 r,因
此一定有非零解 λ1,λ2,…, λr。
这与向量组 A,α1,α2,…, αr线性无关矛盾！
i j i j
1 i 1 j 1 j 1 i 1
0 k ( k ),
r r s s r
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i
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1
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r
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由定理 1易得如下推论 。
推论 1 若向量组 A可用向量组 B线性表示, 且 A所
含的向量个数大于 B所含的向量个数, 则向量
组 A一定线性相关 。
推论 2 等价的线性无关的向量组所含向量个数一
定相等 。
推论 3 任意 n+1个 n 维向量一定线性相关，从而
任意 m个 n维向量（ m > n）一定线性相关。
证明推论 3 设 A,α1,α2,…, αn+1为任意 n+1个
n 维向量, 而 B 为 n 个 单 位 坐 标 向 量 e1 =
(1,0,0,…,0),e2 = (0,1,0,…, 0),……,en =
(0,0,…,1),则显然任意 n维向量 α= (x1,x2,…,
xn)都可以用向量组 B线性表示,α= x1 e1 + x2
e2 + … + xn en,因此向量组 A可以用向量组 B
线性表示 。 于是由推论 1知道向量组 A线性相关 。
定义 2 设 T是一个 n维向量组, α1,α2,…, αr
是 T中 r个向量, 如果满足
（ 1） α1,α2,…, αr线性无关；
（ 2） T中任意向量 α都可以用向量组 α1,
α2,…, αr线性表示,
则称 α1,α2,…, αr为向量组 T的一个 最大线性
无关组 。
例如，向量组 α1= (1,0,1),α2= (2,3,0),α3= (3,
3,1)线性相关，但其中任意两个向量均无关，
因此 α1,α2； α3,α2； α1,α3都是向量组 α1,α2,
α3的最大无关组 。
显然，一个向量组的最大无关组不一定唯一。并
且，由第二节定理２，我们可以把定义２的
（２）换成
（ 2bis）,T中任意ｒ +1个向量线性相关 。
例 1 全体 n维实向量构成的集合记为 Rn,求 Rn的
一个最大无关组 。
解 因为 n个单位坐标向量 e1 = (1,0,0,…,0),e2 =
(0,1,0,…, 0),……,en = (0,0,…,1)是线性无关
的, 而 IR n中任意向量都可用 e1 = (1,0,0,…,0),
e2 = (0,1,0,…, 0),……,en = (0,0,…,1)线性表
示, 因此 e1 = (1,0,0,…,0),e2 = (0,1,0,…,
0),……,en = (0,0,…,1)就是 IR n的一个最大无
关组 。
注, 1,以后称 Rn为 n维欧几里得空间, 且称它
的一个最大无关组为 Rn的一组基 。
2,设 α1,α2,…, αr为 r个 n维实向量，记
V为这 r个向量的所有的线性组合构成的集合，
即
以后我们称 V为向量 α1,α2,…, αr生成的线性
空间, 它是 Rn的一个子集, 以后也称为 Rn的
一个子空间 。 V的一个最大无关组也称为 V的
一组基 。
1 1 2 2 1 2{,,,,,},r r rV k k k k k k R? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?
3,设 W是一些 n维实向量构成的集合，如果 W同
时满足（ I） W中任意两个向量之和还在 W中；
（ II）任意实数与 W中任意向量的乘积仍然在
W中，则我们称 W为一个向量空间。 W的一个
最大无关组称为 W的一组基。
由最大无关组的定义易证：
性质 1 向量组 α1,α2,…, αn线性无关的充分必要
条件为 α1,α2,…, αn的最大无关组是它自己 。
性质 2 向量组 T和它的最大无关组等价 。 从而向
量组 T的不同的最大无关组之间是等价的 。
由性质 2知道, 一个向量组的最大无关组尽管
可能不唯一, 但是这些最大无关组之间是等价
的, 从而由上述定理 1的 推论 2知道这些最大无
关组所含向量的个数是一样的 。
定义 3 向量组 T的一个最大无关组的向量个数称
为向量组 T的秩 。
由前面的结果我们有：
命题 1 向量组 T,α1,α2,…, αn线性无关的充分
必要条件为向量组 T,α1,α2,…, αn的秩等于
向量组 T所含向量的个数 n,
命题 2 若向量组 A能用向量组 B线性表示, 则 A
的秩 ≤向量组 B的秩 。
命题 3 等价的向量组有相同的秩 。
行向量组 αi＝ （ ai1,ai2,…, a in）,
i = 1,2,…, m可以构成矩阵
称矩阵 A是由向量组 α1,α2,…, αm所构成的
矩阵, 而向量组 α1,α2,…, αm称为矩阵 A的
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是齐次方程组
x1β1 + x2β2 + … + xnβn = 0
有非零解, 也就是齐次方程组
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有解 （ 不一定是唯一解 ） 。
完全类似, 矩阵 A的行向量组 α1,α2,…,
αm线性相关的充分必要条件是齐次方程组
x1α1 + x2α2 + … + xmαm = 0
有非零解 。
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而一个行向量 a可以用行向量组 α1,α2,…, αm
表示的充分必要条件是线性方程组
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中的向量线性表示, 则称向量组 A能由向量
组 B线性表示 。 如果向量组 A能用向量组 B
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下面我们将讨论怎样用矩阵记号表示, 向量组 A
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向量组 B线性表示, 这件事 。 设向量组 A能由向
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组 B线性表示, 则存在 r 组数 ki1,ki2,…,kis
(i=1,2,…,r)使
αi = ki1β1 + ki2β2 + …… + kisβs 。
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A＝ [α1,α2,…, αr],B= [β1,β2,…, βs],则
存在 s× r矩阵 K′＝ (kji)s× r,使得 A=BK′。
其中 K′的第 i列元素就是向量 αi用 β1,β2,…,
βs线性表示的系数 。
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1)反身性：向量组 A与向量组 A等价 。
2)对称性：若向量组 A与向量组 B等价, 则向量
组 B与向量组 A等价 。
3)传递性：若向量组 A与向量组 B等价, 且向量
组 B与向量组 C等价, 则向量组 A与向量组 C等
价 。
数学中, 常常把具有上述三条性质的关系称为等
价关系 。
定理 1 若向量组 A,α1,α2,…, αr可用向量组 B：
β1,β2,…, βs线性表示，且向量组 A线性无关，
则向量组 A的向量个数不超过向量组 B的向量
个数，即
证 用反证法证明定理结论 。 假设 我们的目
标是得出向量组 A,α1,α2,…, αr线性相 关,
从而得到矛盾 ！
设有 r个常数 λ1,λ2,…, λr使得
λ1α1 + λ2α2 + … + λrαr = 0。
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上式最后一个等式是由求和符号 Σ的性质得到
的 。 当 βj的系数全为 0时, 上式显然成立, 即当
时，上式成立。
而这是关于 r个未知数 λ1,λ2,…, λr的齐次线性
方程组，由于它的方程个数 s＜未知数个数 r,因
此一定有非零解 λ1,λ2,…, λr。
这与向量组 A,α1,α2,…, αr线性无关矛盾！
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推论 1 若向量组 A可用向量组 B线性表示, 且 A所
含的向量个数大于 B所含的向量个数, 则向量
组 A一定线性相关 。
推论 2 等价的线性无关的向量组所含向量个数一
定相等 。
推论 3 任意 n+1个 n 维向量一定线性相关，从而
任意 m个 n维向量（ m > n）一定线性相关。
证明推论 3 设 A,α1,α2,…, αn+1为任意 n+1个
n 维向量, 而 B 为 n 个 单 位 坐 标 向 量 e1 =
(1,0,0,…,0),e2 = (0,1,0,…, 0),……,en =
(0,0,…,1),则显然任意 n维向量 α= (x1,x2,…,
xn)都可以用向量组 B线性表示,α= x1 e1 + x2
e2 + … + xn en,因此向量组 A可以用向量组 B
线性表示 。 于是由推论 1知道向量组 A线性相关 。
定义 2 设 T是一个 n维向量组, α1,α2,…, αr
是 T中 r个向量, 如果满足
（ 1） α1,α2,…, αr线性无关；
（ 2） T中任意向量 α都可以用向量组 α1,
α2,…, αr线性表示,
则称 α1,α2,…, αr为向量组 T的一个 最大线性
无关组 。
例如，向量组 α1= (1,0,1),α2= (2,3,0),α3= (3,
3,1)线性相关，但其中任意两个向量均无关，
因此 α1,α2； α3,α2； α1,α3都是向量组 α1,α2,
α3的最大无关组 。
显然，一个向量组的最大无关组不一定唯一。并
且，由第二节定理２，我们可以把定义２的
（２）换成
（ 2bis）,T中任意ｒ +1个向量线性相关 。
例 1 全体 n维实向量构成的集合记为 Rn,求 Rn的
一个最大无关组 。
解 因为 n个单位坐标向量 e1 = (1,0,0,…,0),e2 =
(0,1,0,…, 0),……,en = (0,0,…,1)是线性无关
的, 而 IR n中任意向量都可用 e1 = (1,0,0,…,0),
e2 = (0,1,0,…, 0),……,en = (0,0,…,1)线性表
示, 因此 e1 = (1,0,0,…,0),e2 = (0,1,0,…,
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关组 。
注, 1,以后称 Rn为 n维欧几里得空间, 且称它
的一个最大无关组为 Rn的一组基 。
2,设 α1,α2,…, αr为 r个 n维实向量，记
V为这 r个向量的所有的线性组合构成的集合，
即
以后我们称 V为向量 α1,α2,…, αr生成的线性
空间, 它是 Rn的一个子集, 以后也称为 Rn的
一个子空间 。 V的一个最大无关组也称为 V的
一组基 。
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3,设 W是一些 n维实向量构成的集合，如果 W同
时满足（ I） W中任意两个向量之和还在 W中；
（ II）任意实数与 W中任意向量的乘积仍然在
W中，则我们称 W为一个向量空间。 W的一个
最大无关组称为 W的一组基。
由最大无关组的定义易证：
性质 1 向量组 α1,α2,…, αn线性无关的充分必要
条件为 α1,α2,…, αn的最大无关组是它自己 。
性质 2 向量组 T和它的最大无关组等价 。 从而向
量组 T的不同的最大无关组之间是等价的 。
由性质 2知道, 一个向量组的最大无关组尽管
可能不唯一, 但是这些最大无关组之间是等价
的, 从而由上述定理 1的 推论 2知道这些最大无
关组所含向量的个数是一样的 。
定义 3 向量组 T的一个最大无关组的向量个数称
为向量组 T的秩 。
由前面的结果我们有：
命题 1 向量组 T,α1,α2,…, αn线性无关的充分
必要条件为向量组 T,α1,α2,…, αn的秩等于
向量组 T所含向量的个数 n,
命题 2 若向量组 A能用向量组 B线性表示, 则 A
的秩 ≤向量组 B的秩 。
命题 3 等价的向量组有相同的秩 。
