第四章 线性方程组
本章主要研究以下三个问题,
?（ 1） 线性方程组有解的充分必要条件是什么？
?（ 2） 如果线性方程组有解, 其有多少解？ 如
何求得其解？
?（ 3） 如果线性方程组有多个解, 如何将其解
用通解表示出来？
第一节 克莱姆法则
在前面的几节中，我们已经讨论了行列式的基本
理论及其运算法则，在此节中，我们将行列式的理论
及运算应用于解决 n个变量,n个方程的线性方程组的
求解问题。
nxxx,,,21 ?
设有 n个变量 的 n个方程的线性方程组：
( 1 )
2211
22222121
11212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
??
?
?
若有某,则称此线性方程组为 n元
非齐次线性方程组 。
).,2,1(0 nib i ???
由它的系数 组成的 n阶行列式ija
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
称为线性方程组（ 1）的 系数行列式 。
x1=D1/D x2=D2/D ……xn=Dn/D (2)
定理（克莱姆法则） 如果线性方程组（ 1）的系
数行列式 D≠0,则方程组（ 1）有唯一解
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n ???,,,
2
2
1
1 ?
其中 是将 D的第 j列元素 分别换
成常数项 后所得到的 n阶行列式,即
).,2,1( njD j ?? njjj aaa ?,2,1
nbbb ?,2,1
nnjnnjnn
njj
njj
j
aabaa
aabaa
aabaa
D
??
???????
??
??
1,1,1
21,221,221
11,111,111
??
??
??
?
证：
设方程组（ 1）有解，即有一组数
nxxx,,,21 ?
满足方程组（ 1）。用 乘系数行列式，并利用行列
式性质 3可得
1x
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
Dx
?
????
?
?
21
22221
11211
1
?
221 cxc ?
nnnnn
n
n
aaxaxa
aaxaxa
aaxaxa
?
????
?
?
22211
222222121
112212111
?
?
?
??331 cxc ?
nncxc ?1
nnnnnnnn
nnn
nnn
aaxaxaxa
aaxaxaxa
aaxaxaxa
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????
??
??
22211
2222222121
1121212111
???
???
???
1
2
2222
1121
D
aab
aab
aab
nnnn
n
n
??
?
????
?
?
所以，对 有：
1x
11 DDx ?一般地，对 有：
jx
),,2,1( njDDx jj ???
当 D≠0 时，有：
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n ???,,,
2
2
1
1 ?
这说明，线性方程组（ 1）当 D≠0时，如果有解，这
解就只能是（ 2）。下面我们验证（ 2）是方程组（ 1）
的解，即证明下式成立
),,2,1(2211 nibDDaDDaDDa ininii ?? ?????
观察以下两行相同的 n+1阶行列式：
nnnn
inii
n
inii
aab
aab
aab
aab
?
????
?
????
?
?
1
1
1111
1
其中 i=1,2,…,n 。它的值为零,将它按第一行展开,由于
第一行中 的代数余子式为ija
nnjnjnnn
njj
njj
ji
aaaab
aaaab
aaaab
??
???????
??
??
1,1,1
21,21,2212
11,11,1111
1
)1(
??
??
??
??
?
jjjj DD ???? ?? 12 )1()1(所以有
此说明 (2)确实是方程组 (1)的解。
ninii DaDaDb ???? ?110即
),,2,1(2211 nibDDaDDaDDa ininii ?? ?????
当方程组 (1)右端的常数均是零时,(1)变成
( 3 )
0
0
0
2211
2222121
1212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????
?
?
(3)式称为 n元齐次线性方程组,并有如下结论成立：
推论 当系数行列式 D≠0时,齐次线性方程组 (3)
只有唯一零解。
由推论自然可推出,如果齐次线性方程组 (3)有
非零解,则它的系数行列式必为零。由此可知,系数行
列式 D=0是齐次线性方程组 (3)有非零解的必要条件。
在第四章我们将证明此条件是充分的。于是应有,齐
次线性方程组 (3)有非零解的充分必要条件是系数行
列式 D=0。
例 1 解奇次方程组
?
?
?
?
?
????
??
???
02xxx
0xx
0xxx
321
31
321
解,由于其系数行列式为
1
211
101
111
??
??
?
?D
所以，根据推论得该齐次方程组只有零解,。0321 ??? xxx
例 2 解线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
???
????
0674
522
963
852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解,方程的系数行列式为
27
6741
2120
6031
1512
?
?
?
??
?
?D
81
6740
2125
6039
1518
1 ?
?
??
??
?
?D 108
6701
2150
6091
1582
2 ??
?
??
?
?
?D
27
6041
2520
6931
1812
3 ??
?
??
?D 27
0741
5120
9031
8512
4 ?
?
??
?
?
?D
127/27,127/27,427/1 0 8,327/81 4321 ???????????? xxxx
例 3 在一次投料生产中，能获的甲、乙、丙三种产
品，每次测得的总成本如下表：
批次
产品（公斤）
总成本（元）甲 乙 丙
第一批生产 2 1 1 28
第二批生产 5 2 2 66
第三批生产 10 5 4 137
求每种产品的单位成本。
解：
我们设甲、乙、丙三种产品的单位成本分别为：
元，则根据测试的资料，可得到以下方程组：321,,xxx
?
?
?
?
?
???
???
???
1374510
66225
282
321
321
321
xxx
xxx
xxx
分别求以下行列式
1
4510
225
112
??D 10
451 3 7
2266
1128
1 ??D
5
41 3 710
2665
1282
2 ??D 3
1 3 7510
6625
2812
3 ??D
则 31/3,51/5,101/10
321 ?????? xxx所以甲、乙、丙三种产品的单位成本分别为：
10元 /公斤,5元 /公斤,3元 /公斤。
值得注意的是：克莱姆法则仅可解决当线性方程
组的方程个数与未知数个数相同时，并且方程组的系
数行列式不等于零时的求解问题，如果当方程组的方
程个数与未知数个数不相同时，或者方程组的系数行
列式等于零时，用克莱姆法则一般不可能求解这样的
方程组的解，这时，我们可借助下面将讨论的矩阵理
论来求解更一般的方程组。
本章主要研究以下三个问题,
?（ 1） 线性方程组有解的充分必要条件是什么？
?（ 2） 如果线性方程组有解, 其有多少解？ 如
何求得其解？
?（ 3） 如果线性方程组有多个解, 如何将其解
用通解表示出来？
第一节 克莱姆法则
在前面的几节中，我们已经讨论了行列式的基本
理论及其运算法则，在此节中，我们将行列式的理论
及运算应用于解决 n个变量,n个方程的线性方程组的
求解问题。
nxxx,,,21 ?
设有 n个变量 的 n个方程的线性方程组：
( 1 )
2211
22222121
11212111
?
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?
?
?
?
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nn
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bxaxaxa
bxaxaxa
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?
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若有某,则称此线性方程组为 n元
非齐次线性方程组 。
).,2,1(0 nib i ???
由它的系数 组成的 n阶行列式ija
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
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?
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21
22221
11211
?
称为线性方程组（ 1）的 系数行列式 。
x1=D1/D x2=D2/D ……xn=Dn/D (2)
定理（克莱姆法则） 如果线性方程组（ 1）的系
数行列式 D≠0,则方程组（ 1）有唯一解
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n ???,,,
2
2
1
1 ?
其中 是将 D的第 j列元素 分别换
成常数项 后所得到的 n阶行列式,即
).,2,1( njD j ?? njjj aaa ?,2,1
nbbb ?,2,1
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njj
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证：
设方程组（ 1）有解，即有一组数
nxxx,,,21 ?
满足方程组（ 1）。用 乘系数行列式，并利用行列
式性质 3可得
1x
nnnn
n
n
aaa
aaa
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Dx
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1
?
221 cxc ?
nnnnn
n
n
aaxaxa
aaxaxa
aaxaxa
?
????
?
?
22211
222222121
112212111
?
?
?
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nnnnnnnn
nnn
nnn
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22211
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1
2
2222
1121
D
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所以，对 有：
1x
11 DDx ?一般地，对 有：
jx
),,2,1( njDDx jj ???
当 D≠0 时，有：
D
Dx
D
Dx
D
Dx n
n ???,,,
2
2
1
1 ?
这说明，线性方程组（ 1）当 D≠0时，如果有解，这
解就只能是（ 2）。下面我们验证（ 2）是方程组（ 1）
的解，即证明下式成立
),,2,1(2211 nibDDaDDaDDa ininii ?? ?????
观察以下两行相同的 n+1阶行列式：
nnnn
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n
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aab
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1
1
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1
其中 i=1,2,…,n 。它的值为零,将它按第一行展开,由于
第一行中 的代数余子式为ija
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11,11,1111
1
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jjjj DD ???? ?? 12 )1()1(所以有
此说明 (2)确实是方程组 (1)的解。
ninii DaDaDb ???? ?110即
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( 3 )
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(3)式称为 n元齐次线性方程组,并有如下结论成立：
推论 当系数行列式 D≠0时,齐次线性方程组 (3)
只有唯一零解。
由推论自然可推出,如果齐次线性方程组 (3)有
非零解,则它的系数行列式必为零。由此可知,系数行
列式 D=0是齐次线性方程组 (3)有非零解的必要条件。
在第四章我们将证明此条件是充分的。于是应有,齐
次线性方程组 (3)有非零解的充分必要条件是系数行
列式 D=0。
例 1 解奇次方程组
?
?
?
?
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02xxx
0xx
0xxx
321
31
321
解,由于其系数行列式为
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所以，根据推论得该齐次方程组只有零解,。0321 ??? xxx
例 2 解线性方程组
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xxxx
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解,方程的系数行列式为
27
6741
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6031
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?
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例 3 在一次投料生产中，能获的甲、乙、丙三种产
品，每次测得的总成本如下表：
批次
产品（公斤）
总成本（元）甲 乙 丙
第一批生产 2 1 1 28
第二批生产 5 2 2 66
第三批生产 10 5 4 137
求每种产品的单位成本。
解：
我们设甲、乙、丙三种产品的单位成本分别为：
元，则根据测试的资料，可得到以下方程组：321,,xxx
?
?
?
?
?
???
???
???
1374510
66225
282
321
321
321
xxx
xxx
xxx
分别求以下行列式
1
4510
225
112
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451 3 7
2266
1128
1 ??D
5
41 3 710
2665
1282
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1 3 7510
6625
2812
3 ??D
则 31/3,51/5,101/10
321 ?????? xxx所以甲、乙、丙三种产品的单位成本分别为：
10元 /公斤,5元 /公斤,3元 /公斤。
值得注意的是：克莱姆法则仅可解决当线性方程
组的方程个数与未知数个数相同时，并且方程组的系
数行列式不等于零时的求解问题，如果当方程组的方
程个数与未知数个数不相同时，或者方程组的系数行
列式等于零时，用克莱姆法则一般不可能求解这样的
方程组的解，这时，我们可借助下面将讨论的矩阵理
论来求解更一般的方程组。
