第二节 向量组的线性相关性
与线性无关性
? 定义 1 设 α1, α2, …, αm, β是一组 n维
向量，若存在 m个实数 k1, k2, …, km使得
β = k1α1 + k2 α2 + … + km αm,则称 β可以
由 α1, α2, …, αm线性表示 ( linear
representation )。或称 α1, α2, …, αm线性
表示 (linear generate)β。
例如,α1 = (1,2,0) T,α2 = (1,0,3) T,α3 =
(3,4,3)T，则 α3 = 2α1 + α2,即存在实数 k1
＝ 2,k2＝ 1使得 α3 = k1α1 + k2α2，故 α3可以
由 α1, α2线性表示。（大家想一想，这里的常
数 k1 ＝ 2,k2＝ 1是怎么求出来的？）
? 定义 2 设 α1, α2, …, αm是一组 n维向量,
如果存在 m个不全为 0的常数 k1,k2,…, km使得
k1α1 + k2α2 +… + kmαm = 0,则称向量组
α1, α2, …, αm线性相关 (linearly
dependent)；否则, 称向量组 α1,α2,…, αm
线性无关 。
? 例 1 若一个向量组仅由一个向量 α组成, 则由
定义 2 易知它线性相关的充要条件是 α= 0 。
? 例 2 若一个向量组仅由 α,β两个向量组成,
则 α,β线性相关是指 α,β这两个向量的分量
对应成比例, 换句话说, 即是指 α与 β平行或 α，
β共线 。
证明,α,β线性相关 存在不全为 0的两
个数 k1,k2使得 k1α + k2β = 0, 不妨假设 k1
0,则由 k1 α+ k2 β = 0 知 α = β,此即说明 α,
β的分量对应成比例 。?
? 注,类似可以证明, 若一个向量组仅由 α,β，
γ三个向量构成, 则 α,β,γ线性相关的充要
条件是 α,β, γ共面 。
? 上述定义 2是通过否定线性相关来给出线性无
关的定义, 下面我们将用肯定的表述来说明线
性无关这个概念 。 为此, 我们先检查线性相关
的定义 。 称 α1,α2,…, αm 线性相关是指存
在不全为 0的 m个常数 k1,k2,…, km使得 k1
α1 + k2 α2 + … + kmαm = 0,这即是说：以 k1，
k2,…, km为未知数的方程 （ 实际上, 若按向
量的分量来看, 这是一个方程组 ）,
k1α1 + k2α2 + … +kmαm = 0 有非零解 （ k1,
k2, …, km） 。
因此, 我们有下述几种等价说法：
? α1,α2,…, αm线性无关
? 以 k1,k2,…, km为未知数的方程 k1α1 + k2 α2
+ … + kmαm = 0没有非零解
? k1α1 + k2 α2 + … + kmαm = 0只有零解,k1 =
k2 = … = km = 0
? 由 k1α1 + k2 α2 + … + kmαm = 0一定可以推出
k1 = k2 = … = km = 0
? 若 k1,k2,…, km不全为 0,则必有 k1α1 + k2
α2 + … + kmαm ? 0。
? 注意,对线性无关这个概念的理解，要多思
考。或许有同学这样认为,α1,α2,…, αm线
性无关是指当系数 k1,k2,…, km全为 0时，
有 k1α1 + k2 α2 + …+ k m αm = 0。实际上，这
种看法是错误的。大家想一想，当系数 k1,
k2, …, km全为 0时, k1α1 + k2 α2 + …+ k m
αm 当然是零向量,这与 α1,α2,…, αm线性相
关或线性无关没有任何联系。
? 从上述关于线性无关的几种等价说法可以看出：
α1,α2,…, αm线性无关是指，只有当 k1= k2
= … = k m = 0时才有 k1α1 + k2 α2 + … + k m αm
= 0。或者换句话说，在 k1α1+ k2 α2 + …+ k m
αm = 0这个条件 下,一定可以推出 k1= k2
= … = k m = 0。实际上，以后我们证明一个向
量组线性无关时，一般均采用此观点，即先假
设 k1α1 + k2 α2 + …+ k m αm = 0，然后在此假
设条件下去证明 k1= k2 = … = k m = 0.
? 例 设 e1 = (1,0,0 )T,e2 = (0,1,0 ) T,e3 = (0,0,
1) T,证明,e1,e2,e3线性无关 。
? 证明：如果存在数 k1, k2, k3使得 k1 e1 + k2
e2 + k3 e3 = 0,即
通过左边的数乘和加法，上述等式即是
1 2 3
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
k k k
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1
2
3
0
0
0
k
k
k
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?
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所以 k1= k2 = k3 =0 。
因此, e1,e2,e3 线性无关 。
? 定理 1 向量组 α1,α2,…, αm ( m 2 ) 线性
相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可
以由其余 m－ 1个向量线性表示 。
证明：先证必要性 。
因为 α1,α2,…, αm线性相关, 所以存在
不全为 0的 m个常数 k1,k2,…,km使得 k1α1 +
k2α2 + … + kmαm = 0。 不妨设 k1≠0,则
此即说明 α1可以由 α2,α3,…, αm线性
表示,
再证充分性 。
不妨设 α1可以由 α2,α3,…, αm线性表示,
即存在 m－ 1个常数 （ 我们不妨设为 ） k2，
k3,…, km使得
α1 ＝ k2α2 + k3α3 + … + kmαm
即 (－ 1)α1+ k2 α2 + k3 α3 + … ＋ km αm = 0。
32
1 2 3
1 1 1
m
m
kkk
k k k?
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且 － 1,k2,k3,…, km这 m个数不全为 0
（ 至少－ 1不为 0）, 故 α1,α2,α3,…,
αm线性相关 。 证毕 。
? 定理 1 指出了向量组的线性相关性与其
中某一个向量可用其它向量线性表示之间的联
系。但它并没有断言究竟是哪一个向量可由其
它向量线性表示。下面的定理 2即回答了这样
一个问题（当然是在更强的条件下）。
? 定理 2 设
（ 1） 向量组 α1,α2,α3,…, αm,β线性相关；
（ 2） 向量组 α1,α2,α3,…, αm线性无关,
则向量 β可以由 α1,α2,α3,…, αm线
性表示, 且表示式唯一 。
证 由 α1,α2,α3,…, αm,β线性相关知存
在 m＋ 1个不全为 0的常数 k1,k2,k3,…, km，
km+1使得
k1α1 + k2α2 + k3α3 + … ＋ kmαm + km+1β =
0,
要证明 β可由 α1,α2,…, αm线性表示, 只须证
明 km+1≠0即可 。 因为若 km+1≠0,则
下面用反证法证明 km+1≠0.
假设 km+1= 0,则有不全为 0的 m个数 k1，
k2,…, km使得 k1α1 + k2α2 + … + kmαm = 0,
这与 α1,α2,…, αm线性无关矛盾 ！
12
12
1 1 1
m
m
m m m
kkk
k k k
? ? ? ?
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? ? ? ? ?
下面再证明表示式唯一 。 设有两个表示式：
β = k1α1 + k2 α2 + … + km αm
及
β = l1α1 + l2 α2 + … + lm αm
则两式相减就有
0 = (k1－ l1)α1+ (k2－ l2)α2 + (k3－ l3 )α3 + … +
(km－ lm )αm，
由 α1,α2,…, αm 线性无关,知
(k1－ l1 ) = (k2－ l2 ) = … = (k m－ lm ) = 0，
即 k1= l1,k2= l2,…,km= lm
故表示式唯一 。
定理 3 若向量组 α1,α2,α3,…, αm线性相
关, 则向量组 α1,α2,α3,…, αm，
αm+1,…, αn也线性相关 。
证, 设 α1,α2,α3,…, αm线性相关, 则有不
全为 0的 m个数 k1,k2,…, km使得
k1α1 + k2α2 + … + kmαm = 0,
从而 k1α1 + k2α2 + … + kmαm+0·αm+1 +… +0·αn =
0.
因为 k1,k2,…, km,0,…, 0这 n个数不全为 0
（ 因为 k1,k2,…, km不全为 0）, 故 α1,α2，
α3,…, αm,αm+1,…, αn线性相关 。
定理 3 即是说, 如果已知一个向量组线性相关,
则在此基础上增加一些同维数的向量, 得到的
新的向量组一定线性相关 。
推论 1 若某向量组含有零向量，则此向量组一定
线性相关。
定理 4 设两个向量组 T1,α1,α2,α3,…, αn和
T2,β1, β2,…, β n，其中
αj = (a1j,a2j,…, a mj)T,
βj = (a1j,a2j,…, a mj,a m+1,j) T,
j = 1,2,…, n.
若向量组 T1,α1,α2,α3,…, αn线性无关,
则向量组 T2,β1,β2,…, β n线性无关 。
? 证 反证法 。 （ 假设 T2线性相关, 证明 T1线性
相关 。 ） 若 T2线性相关, 则有不全为 0的数 k1，
k2,…, kn使得 k1β1 + k2β 2 + … +
knβn = 0,
即
1 1 1 2 1 n
2 1 2 2 2 n
1 2 n
m 1,1 m 1,2 m 1,n
a a a
a a a
k k k 0
a a a
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? 写成分量的形式就是
取其前面 m个方程, 即
1 1 1 1 2 2 1 n n
2 1 1 2 2 2 2 n n
m 1,1 1 m 1,2 2 m 1,n n
a k a k a k 0
a k a k a k 0
a k a k a k 0
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1 1 1 1 2 2 1 n n
2 1 1 2 2 2 2 n n
m,1 1 m,2 2 m,n n
a k a k a k 0
a k a k a k 0
a k a k a k 0
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? 写成向量的形式就是
这即是说对于上述不全为 0的数 k1,k2,…, kn
有
k1α1 + k2α2 + …+ k nα n = 0，
即 α1,α2,α3,…, αn线性相关。
1 1 1 2 1 n
2 1 2 2 2 n
1 2 n
m,1 m,2 m,n
a a a
a a a
k k k 0
a a a
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定理 4是说, 如果已知某向量组 （ 向量个
数为 n） 线性无关, 则此向量组中的每个向量
增加一个分量而得到的多一维的向量组 （ 向量
个数还是 n） 一定仍然线性无关 。 增加一维分
量如此, 增加任意 k维分量显然也是如此 。
与线性无关性
? 定义 1 设 α1, α2, …, αm, β是一组 n维
向量，若存在 m个实数 k1, k2, …, km使得
β = k1α1 + k2 α2 + … + km αm,则称 β可以
由 α1, α2, …, αm线性表示 ( linear
representation )。或称 α1, α2, …, αm线性
表示 (linear generate)β。
例如,α1 = (1,2,0) T,α2 = (1,0,3) T,α3 =
(3,4,3)T，则 α3 = 2α1 + α2,即存在实数 k1
＝ 2,k2＝ 1使得 α3 = k1α1 + k2α2，故 α3可以
由 α1, α2线性表示。（大家想一想，这里的常
数 k1 ＝ 2,k2＝ 1是怎么求出来的？）
? 定义 2 设 α1, α2, …, αm是一组 n维向量,
如果存在 m个不全为 0的常数 k1,k2,…, km使得
k1α1 + k2α2 +… + kmαm = 0,则称向量组
α1, α2, …, αm线性相关 (linearly
dependent)；否则, 称向量组 α1,α2,…, αm
线性无关 。
? 例 1 若一个向量组仅由一个向量 α组成, 则由
定义 2 易知它线性相关的充要条件是 α= 0 。
? 例 2 若一个向量组仅由 α,β两个向量组成,
则 α,β线性相关是指 α,β这两个向量的分量
对应成比例, 换句话说, 即是指 α与 β平行或 α，
β共线 。
证明,α,β线性相关 存在不全为 0的两
个数 k1,k2使得 k1α + k2β = 0, 不妨假设 k1
0,则由 k1 α+ k2 β = 0 知 α = β,此即说明 α,
β的分量对应成比例 。?
? 注,类似可以证明, 若一个向量组仅由 α,β，
γ三个向量构成, 则 α,β,γ线性相关的充要
条件是 α,β, γ共面 。
? 上述定义 2是通过否定线性相关来给出线性无
关的定义, 下面我们将用肯定的表述来说明线
性无关这个概念 。 为此, 我们先检查线性相关
的定义 。 称 α1,α2,…, αm 线性相关是指存
在不全为 0的 m个常数 k1,k2,…, km使得 k1
α1 + k2 α2 + … + kmαm = 0,这即是说：以 k1，
k2,…, km为未知数的方程 （ 实际上, 若按向
量的分量来看, 这是一个方程组 ）,
k1α1 + k2α2 + … +kmαm = 0 有非零解 （ k1,
k2, …, km） 。
因此, 我们有下述几种等价说法：
? α1,α2,…, αm线性无关
? 以 k1,k2,…, km为未知数的方程 k1α1 + k2 α2
+ … + kmαm = 0没有非零解
? k1α1 + k2 α2 + … + kmαm = 0只有零解,k1 =
k2 = … = km = 0
? 由 k1α1 + k2 α2 + … + kmαm = 0一定可以推出
k1 = k2 = … = km = 0
? 若 k1,k2,…, km不全为 0,则必有 k1α1 + k2
α2 + … + kmαm ? 0。
? 注意,对线性无关这个概念的理解，要多思
考。或许有同学这样认为,α1,α2,…, αm线
性无关是指当系数 k1,k2,…, km全为 0时，
有 k1α1 + k2 α2 + …+ k m αm = 0。实际上，这
种看法是错误的。大家想一想，当系数 k1,
k2, …, km全为 0时, k1α1 + k2 α2 + …+ k m
αm 当然是零向量,这与 α1,α2,…, αm线性相
关或线性无关没有任何联系。
? 从上述关于线性无关的几种等价说法可以看出：
α1,α2,…, αm线性无关是指，只有当 k1= k2
= … = k m = 0时才有 k1α1 + k2 α2 + … + k m αm
= 0。或者换句话说，在 k1α1+ k2 α2 + …+ k m
αm = 0这个条件 下,一定可以推出 k1= k2
= … = k m = 0。实际上，以后我们证明一个向
量组线性无关时，一般均采用此观点，即先假
设 k1α1 + k2 α2 + …+ k m αm = 0，然后在此假
设条件下去证明 k1= k2 = … = k m = 0.
? 例 设 e1 = (1,0,0 )T,e2 = (0,1,0 ) T,e3 = (0,0,
1) T,证明,e1,e2,e3线性无关 。
? 证明：如果存在数 k1, k2, k3使得 k1 e1 + k2
e2 + k3 e3 = 0,即
通过左边的数乘和加法，上述等式即是
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1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
k k k
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所以 k1= k2 = k3 =0 。
因此, e1,e2,e3 线性无关 。
? 定理 1 向量组 α1,α2,…, αm ( m 2 ) 线性
相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可
以由其余 m－ 1个向量线性表示 。
证明：先证必要性 。
因为 α1,α2,…, αm线性相关, 所以存在
不全为 0的 m个常数 k1,k2,…,km使得 k1α1 +
k2α2 + … + kmαm = 0。 不妨设 k1≠0,则
此即说明 α1可以由 α2,α3,…, αm线性
表示,
再证充分性 。
不妨设 α1可以由 α2,α3,…, αm线性表示,
即存在 m－ 1个常数 （ 我们不妨设为 ） k2，
k3,…, km使得
α1 ＝ k2α2 + k3α3 + … + kmαm
即 (－ 1)α1+ k2 α2 + k3 α3 + … ＋ km αm = 0。
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且 － 1,k2,k3,…, km这 m个数不全为 0
（ 至少－ 1不为 0）, 故 α1,α2,α3,…,
αm线性相关 。 证毕 。
? 定理 1 指出了向量组的线性相关性与其
中某一个向量可用其它向量线性表示之间的联
系。但它并没有断言究竟是哪一个向量可由其
它向量线性表示。下面的定理 2即回答了这样
一个问题（当然是在更强的条件下）。
? 定理 2 设
（ 1） 向量组 α1,α2,α3,…, αm,β线性相关；
（ 2） 向量组 α1,α2,α3,…, αm线性无关,
则向量 β可以由 α1,α2,α3,…, αm线
性表示, 且表示式唯一 。
证 由 α1,α2,α3,…, αm,β线性相关知存
在 m＋ 1个不全为 0的常数 k1,k2,k3,…, km，
km+1使得
k1α1 + k2α2 + k3α3 + … ＋ kmαm + km+1β =
0,
要证明 β可由 α1,α2,…, αm线性表示, 只须证
明 km+1≠0即可 。 因为若 km+1≠0,则
下面用反证法证明 km+1≠0.
假设 km+1= 0,则有不全为 0的 m个数 k1，
k2,…, km使得 k1α1 + k2α2 + … + kmαm = 0,
这与 α1,α2,…, αm线性无关矛盾 ！
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下面再证明表示式唯一 。 设有两个表示式：
β = k1α1 + k2 α2 + … + km αm
及
β = l1α1 + l2 α2 + … + lm αm
则两式相减就有
0 = (k1－ l1)α1+ (k2－ l2)α2 + (k3－ l3 )α3 + … +
(km－ lm )αm，
由 α1,α2,…, αm 线性无关,知
(k1－ l1 ) = (k2－ l2 ) = … = (k m－ lm ) = 0，
即 k1= l1,k2= l2,…,km= lm
故表示式唯一 。
定理 3 若向量组 α1,α2,α3,…, αm线性相
关, 则向量组 α1,α2,α3,…, αm，
αm+1,…, αn也线性相关 。
证, 设 α1,α2,α3,…, αm线性相关, 则有不
全为 0的 m个数 k1,k2,…, km使得
k1α1 + k2α2 + … + kmαm = 0,
从而 k1α1 + k2α2 + … + kmαm+0·αm+1 +… +0·αn =
0.
因为 k1,k2,…, km,0,…, 0这 n个数不全为 0
（ 因为 k1,k2,…, km不全为 0）, 故 α1,α2，
α3,…, αm,αm+1,…, αn线性相关 。
定理 3 即是说, 如果已知一个向量组线性相关,
则在此基础上增加一些同维数的向量, 得到的
新的向量组一定线性相关 。
推论 1 若某向量组含有零向量，则此向量组一定
线性相关。
定理 4 设两个向量组 T1,α1,α2,α3,…, αn和
T2,β1, β2,…, β n，其中
αj = (a1j,a2j,…, a mj)T,
βj = (a1j,a2j,…, a mj,a m+1,j) T,
j = 1,2,…, n.
若向量组 T1,α1,α2,α3,…, αn线性无关,
则向量组 T2,β1,β2,…, β n线性无关 。
? 证 反证法 。 （ 假设 T2线性相关, 证明 T1线性
相关 。 ） 若 T2线性相关, 则有不全为 0的数 k1，
k2,…, kn使得 k1β1 + k2β 2 + … +
knβn = 0,
即
1 1 1 2 1 n
2 1 2 2 2 n
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m 1,1 m 1,2 m 1,n
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取其前面 m个方程, 即
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? 写成向量的形式就是
这即是说对于上述不全为 0的数 k1,k2,…, kn
有
k1α1 + k2α2 + …+ k nα n = 0，
即 α1,α2,α3,…, αn线性相关。
1 1 1 2 1 n
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m,1 m,2 m,n
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定理 4是说, 如果已知某向量组 （ 向量个
数为 n） 线性无关, 则此向量组中的每个向量
增加一个分量而得到的多一维的向量组 （ 向量
个数还是 n） 一定仍然线性无关 。 增加一维分
量如此, 增加任意 k维分量显然也是如此 。
