第二章 矩 阵
第一节 矩阵的定义及其基本运算
1.矩阵的定义
定义 1 由 m?n个数 aij（ i=1,2,???,m；
j=1,2,???,n）, 排成 m行 n列的数表：
1 1 1 2 1 n
2 1 2 2 2 n
m 1 m 2 m n
a a a
a a a
a a a
A
??
??
?
??
????
称为 m行 n列矩阵,简称为 m?n矩阵 。这 m?n个
数称为矩阵 A的元素,aij叫做 矩阵 A的第 i行第 j列
元素 。元素是实数的矩阵叫做 实矩阵,元素是复
数的矩阵叫做 复矩阵 。
本教程中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵。
通常用大写的拉丁字母 A,B,C等表示矩阵。有
时为了指明矩阵的第 i行第 j列元素为 aij，可将 A记
作 A=(aij)m?n 或 A= (aij),也可将 m?n矩阵 A记为
Am?n。当 A的行数与列数相等时，称 A为 n阶方阵
或 n阶矩阵。显然，一阶矩阵就是一个数。
只有一行的矩阵 A=（ a1,a2,???,an）
叫做 行矩阵 ；只有一列的矩阵叫做 列矩阵 。
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们
为 同型矩阵 。如果 A=(aij)与 B=(bij)是同型矩阵，
并且它们的对应元素相等，即
aij=bij （ i=1,2,???,m； j=1,2,???,n），
那末就称矩阵 A与矩阵 B相等，记作 A=B。元素
都是零的矩阵，记作 0。注意不同型的零矩阵是
不同的。
II 几种特殊矩阵
nnaaa,,22,11 ?
a) 对角矩阵 (diagonal matrix)，如下的矩阵称为对
角矩阵，记为 diag（ ）
11
22
00
00
00
nn
a
a
a
??
??
??
??
??
??
b) 数量矩阵 (scalar matrix)
00
00
00
a
a
a
??
??
??
??
??
??
c) 三角矩阵 (triangular matrix)
上三角矩阵 (upper triangular matrix)
1 1 1 2 1 n
2 2 2 n
mn
a a a
0 a a
0 0 a
??
??
??
????
d) 对称阵 (symmetric matrix）和反对
称阵 (anti-symmetric matrix)
? 如果 n阶矩阵 A=（ aij）的元素满足 aij=aji（ i,j=1，
2,???,n），则称 A为 n阶 对称矩阵,如
4 2 0
2 2 1
0 1 3
??
??
?
??
?????
如果 n阶矩阵 A=（ aij）的元素满足 aij= ?aji
（ i,j=1,2,???,n），则称 A为 n阶反对称矩
阵 。显然，故 aii=0（ i=1,2,???,n）
如：
0 1 2
1 0 3
2 3 0
??
??
?
??
????
??
矩阵的加法
设有两个 m?n的矩阵 A=（ aij）,B＝（ bij），则
矩阵 A和 B的和记作 A+B 。即：
1 1 1 1 1 2 1 2 1 1
2 1 2 1 2 2 2 2 2 2
1 1 2 2
nn
nn
m m m m m n m n
a b a b a b
a b a b a b
AB
a b a b a b
? ? ???
??
? ? ?
??
??
? ? ???
??
III 矩阵的运算
易证, 矩阵加法满足下列运算规律 （ 设 A,B,C
都是 m?n矩阵 ）,
a)A+B=B+A；
b)（ A+B） + C=A +（ B+C） 。
设矩阵 A=（ aij）, 记 ?A=（ ?aij）,
?A称为 A的负矩阵, 显然有 A +（ ?A） = 0。
由此定义矩阵的减法运算为
A ? B = A +（ ?B）
数与矩阵相乘
数 ?与矩阵 A的乘积记作 ?A或 A?，规定为
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
12
n
n
m m m n
a a a
a a a
AA
a a a
??
??
??
??
????
? ? ?
? ? ?
??
? ? ?
易证, 数乘矩阵满足下列运算规律 （ 设 A,B为
m?n矩阵, ?,?为数 ）,
(i),（ ??） A = ?（ ?A） ；
(ii),（ ?+?） A = ?A + ?A；
(iii),?（ A + B） =?A + ?B。
矩阵与矩阵相乘
设矩阵 A=(aij ) m?s, B=(bij ) s?n,则矩阵 A
和矩阵 B的乘积矩阵 C=（ cij） m?n,其中
Cij=ai1b1j+ai2b2j+???+aisbsj
（ i=1,2,???,m； j=1,2,???,n）
记作 C=AB。
对于矩阵的乘法需注意以下三点：
第一, 只有矩阵 A的列数等于 B的行数时, AB
才有意义 。
第二, 乘积 C=（ cij） m?n的第 i行第 j列的元素等
于矩阵 A的第 i行的每一个元素与矩阵 B的第 j列
的对应元素的乘积之和 。
第三,乘积 C的行数等于矩阵 A的行数，列数
等于矩阵 B的列数。
例 1 求 AB和 BA。其中
? ?
1
2
12
a,
n
n
b
b
A a a B
b
??
??
????
??
??
????
解：
? ?
1
2
1 2 1 1 2 2
1
a
n
n n n i i
i
n
b
b
A B a a a b a b a b a b
b
?
??
??
??? ? ? ? ? ?
??
??
????
?
? ?
1 1 1 1 2 1
2 2 1 2 2 2
12
12
a
n
n
n
n n n n n
b b a b a b a
b b a b a b a
B A a a
b b a b a b a
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ???
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ?
例 2 求 AB和 BA。其中
1 1 1 1
,
1 1 1 1
AB
?? ? ? ?
??? ? ? ?
? ? ?? ? ? ?
解：
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 2 ` 2
1 1 1 1 2 2
AB
BA
?? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ? ? ? ?
??
? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
在上述两个例子中都有 AB?BA，即矩阵乘法
不满足乘法交换律，为此将 AB称为用 A左乘 B，
而将 BA称为 A右乘以 B。还应注意到在例 5中：
A,B均为非零矩阵，但 AB却为零矩阵。
由定义可以验证矩阵的乘法满足以下运算规律：
（假设运算都是可行的）
? (i),结合律：（ AB） C=A（ BC）；
? (ii),左分配律,A（ B+C） = AB + AC；
? (iii),右分配律：（ B+C） A = BA + CA；
? (iv),?（ AB） =（ ?A） B = A（ ?B）。（ ?为
常数）
对于单位矩阵 E,容易验证
EmAm?n = Am?n, Am?nEn = Am?n 。
有了矩阵的乘法，就可以定义 n阶方阵的幂。
设 A是 n阶方阵，定义
A1 = A,A2 = A1 A1,???,Ak+1 = AkA1,
其中 k为正整数。这就是说,Ak就是 k个 A相乘。
显然，只有方阵的幂才有意义。由于矩阵乘法
适合结合律，所以方阵的幂满足以下运算规律：
A?A? = A?+?, (A?)? = A??
不过，一般 (AB)k ? AkBk。
矩阵的转置
把矩阵 A=(aij)m× n的行换成同序数的列所得到的
新矩阵, 叫做 A的转置矩阵 (transpose),记作 A?
或 AT。 显然, A?=(aji)n× m
矩阵的转置也是一种运算, 易证它满
足下述运算规律 （ 假设运算都是可行的 ）,
(i) (A?)? = A ；
(ii) (A+B)? = A? + B? ；
(iii) (?A)? = ? A? ；
(iv) (AB)? = B?A? 。
方阵的行列式
由 n阶方阵 A的元素所构成的行列式（各元
素的位置不变），叫做方阵 A的行列式，
记作 |A| 或 detA。
由方阵 A确定行列式 |A|的运算满足下述运
算规律 （ 设 A,B为 n阶方阵, ?为数 ）,
(i),|A?| = |A|（ 行列式性质 1） ；
(ii),|?A| = ?n|A|；
(iii),|AB| = |A| |B|。