第五节 综合例题
1
11
,
1 4 1 0
,,
1 1 0 2
,
P A P
P
A
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例1 设
其中
求
11
11
11
1 1 1 1 1
1
11
1 1 1 1 1
11
1 3 1 3
1 1 1 1
( 1 ) 0 ( 1 ) 0
,
0 2 0 2
,
1 4 1 4( 1 ) 0
1 1 1 102
1 2 4 21
.
3 1 2 4 2
k
k
k
kk
A P P P P P P P P P P
A P P
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解 直接演算可得
故
且
故
?注,设
A为 n阶方阵，则称
为 A的一个 m次矩阵多项式。可以归纳证明
若 为对角阵，则
20 1 2() mmf x a a x a x a x? ? ? ? ?
2
0 1 2()
m
nmf A a E a A a A a A? ? ? ? ?
1P A P? ??
1( ) ( )f A P f P ???
10
2,.01
00
k
AA
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例 设 求
1
2
1
2
00
00
,( ),
00
( ) 0 0
0 ( ) 0
()
0 0 ( )
n
n
fx
f
f
f
f
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当 时 为多项式 则
1 1 2 2 2
23
1 0 0 0 0 1 0
0 1 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
C C,
0 1 0 0 0 1 0 0 0
,,0 0 1 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0
k k k k k
kk
AB
A B B B
B B B
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? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
记为
解＋
则可归纳得
( 此处要用到数量矩阵 和任意同阶方阵可交换。)
且可直接得
1 1 2 2 2
1 1 2 2
11
.
CC
CC
=,0C
00
k k k k
kk
k k k
kk
kk
k
k
O
A B B
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?
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所以
10
01, ( ),
00
1
( ) ' ( ) " ( )
2
( ) 0 ( ) ' ( )
0 0 ( )
6 7 7 3
fx
f f f
f f f
f
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?
?
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??
?
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??
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??
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??
??
当 时 为多项式 则归纳得
由此可解清华版, 题。
例 3 设 n阶方阵 A的伴随矩阵为 A*,证明：
（ 1）若 |A|＝ 0，则 | A*|＝ 0。
（ 2） | A*|＝ |A|n－ 1。
证明：由伴随矩阵的定义显然有
AA*= A*A=|A|En,
两边取行列式即得 |A||A*|=det(|A|En)＝ |A|n,
故当 |A|不等于 0时，（ 2）是显然的。而
只要我们证明了（ 1），则（ 2）对于 |A|＝ 0
的矩阵 A也是成立的。下面我们证明（ 1）。
? (反证法）假设则 | A*|≠0，则 A*可逆，于是在
AA*=|A|En两边右乘 (A*)－ 1,有
A＝ |A|En (A*)－ 1＝ O（因为 |A|＝ 0），
因此 A的伴随矩阵 A*应该为 O。与假设矛盾！
? 例 4 设 A为 n阶方阵满足 A2－ A－ 2E＝ O，
证明 A和 A＋ 2E均可逆，求它们的逆矩阵。
解 由 A2－ A－ 2E＝ O易得
(A－ E)A=2E,即 (A－ E)A=E.
故由逆矩阵的定义可得 A可逆，且
类似可求得 (A＋ 2E)(A－ 3E)=－ 4E.
即
1
2
? ?1 1
2
A A E? ??
? ? ? ?1 123
4
A E A E
?
? ? ? ?
?作业（同济三版）
P66～ 69,3,4(1)(2)(5)，
11(1)(5)(用伴随矩阵法和初等
变换方法两种方法各作一遍 )
21.
P93~95,1(3),12
例 5 设,且 A可逆，证明
|Q|=|A||D－ CA－ 1B|（行列式第一降阶定理）
证明：对分块矩阵作初等行变换和列变换，将
之化为分块对角阵。用初等方阵的记号表示出来,
即
在上式两边取行列式即得要证明的结论。（由此
例可解 63题）
n
m
AB
Q
CD
??
? ??
??
1
1 1
n n
m m
EO A B A OE A B
C A E C D O D C A BOE
?
? ?
?? ??? ? ? ? ?
????? ? ? ? ?
? ?? ? ? ??? ??
习题补充题提示：
7,8题：要用到方程组的通解的思想，可先不管。
27～ 29：先把要求的矩阵的一般形式 B设出来，
再根据 AB＝ BA得到 n2个等式确定出 B的元素
或元素之间的关系。 (繁但不难）
35～ 37,C对称的充要条件为 C＝ CT。
C反对称的充要条件为 C＝－ CT。
38,A对称的充要条件为 aij=aji.
57,用初等列变换将矩阵化为主对角线为 1的下
三角矩阵。然后用初等方阵的记号把所作的初
等变换过程表示出来即可。
64～ 65,77：先设,用分
块矩阵乘法由 AA－ 1＝ E解出 A－ 1的 4个子阵。
66：用 65题的结论作为方法。
68：用分块矩阵的初等行变换化为分块三角阵，
再取行列式。
1 1 1 21
2 1 2 2
XX
A
XX
? ???
??
??
74：先求出 f(x),g(x)的表达式，在代 x为 A。
79～ 80：数学归纳法。
作业,10,15,21,40(1)(4),41(2),49,56,
68,77。