第五节 综合与提高
对于一个阶数比较高的行列式，利用定义求值
或利用行列式按行 (列 )展开法则求值都不是一种可
行的方法。诚如前面所指出的，计算一个 n阶行列
式就要作 n!次乘法,当 n增大时,n!的增长是非常快
的，例如,18!?6.4?1015。假定计算机作一次乘法运
算的时间是百万分之一秒，则通过反复使用行列式
按行 (列 )展开法则并用这种计算机求一个 18阶行列
式的值需要的时间 (以每天工作八小时计算 )竟多达
200年！这就说明为一般地解决行列式的求值问
题，必须利用行列式性质发展有效的计算方法，对
各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手
续。本节例析几种常用的行列式值的求法，最后介
绍行列式的简单应用。
一 行列式值的求法
下面通过例子说明几种常用的求解行列式的方法。
1.利用行列式性质把行列式化成等值的三角形
行列式进行计算,
例 1 计算行列式
3351
1102
4315
2113
D
??
?
??
?
?
解
3315
1120
4351
2131
D
2
c
1
c
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??
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?
?
72160
1120
6480
2131
54 rr
1
r
2
r
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?
?
?
?
151000
10800
1120
2131
2r84r
r4r 23
?
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?
?
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72160
6480
1120
2131
32 rr
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??
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40
2
5
000
10800
1120
2131
3
r
4
5
4
r
?
?
?
?
?
?
例 2 计算行列式
解 这个行列式的特点是各列 n个元素之和都为
x+(n?1)a。今把后 n?1行同时加到第 1行，提出公因子
x+(n?1)a，然后各行减去第 1行的 a倍：
xaa
axa
aax
D
?
????
?
?
?
xaa
axa
a)1n(xa)1n(xa)1n(x
D
?
????
?
? ??????
?
xaa
axa
111
]a)1n(x[
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????
?
?
???
1n)ax](a)1n(x[
ax00
aax0
111
]a)1n(x[
?????
?
?
???
?
????
?
?
2,利用行列式性质降阶计算,
? 这种方法的基本思想是利用行列式的性质 6将行列
式的一行 (或一列 )的 n?1个元素法变成零，然后按
该行（或该列）展开，从而将一个 n阶行列式化成
一个 n?1阶行列式进行求解。
例 3 计算行列式
3351
1102
4315
2113
D
??
?
??
?
?
? 解 我们保留 a33，将第 3行的其余元素变为 0，然
后按第 3行展开：
0355
0100
13111
1115
cc
c2c
D
34
31
??
??
?
?
?
055
1111
115
)1( 33
??
???? ?
3.建立递推关系进行计算,
在行列式计算中，建立递推关系再行求解，也是
一种有用的技巧。当然，发现递推关系需要经验，
也可能要费一番功夫。
055
026
115
rr 21
??
?
?
40
55
26
)1( 31 ?
??
?
?? ?
例 4 计算行列式
解 可以看出
dc
dc
dc
ba
ba
ba
D n2
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d0000c
00
00
D
00
00
b0000a
D 1n2n2
?
??
?
??
按第 1行展开，有
对两个（ 2n?1）阶行列式各按最后一列展开，得
D 2 n = adD2(n?1)?bc?(?1)(2n?1)+1D2(n?1)
= (ad?bc) D2(n?1)
这是一个递推公式，而 D2 = ad?bc，故
D2 n = (ad?bc) D2(n?1) = (ad?bc)2 D2(n?2)
= … = (ad ?bc)n?1 D2 = (ad?bc)n
00c
0
D
0
b)1(
d00
0
D
0
aD
2n2
n21
2n2
n2
?
?
?
? ?
?
?
???
例 5 证明范德蒙 (Vandermonde)行列式
解 显然可以看出
)xx(
xxx
xxx
xxx
111
V ji
1jin
1n
n
1n
2
1n
1
2
n
2
2
2
1
n21
n ??? ?
???
???
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????
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1n
n
1n
2
1n
1
n1n
n
xxx
xV
1
V
???
?
?
?
?
但在尝试建立 Vn与 Vn?1的递推关系时却无从下
手,我们采用另一种做法：
从最后一行开始，每行减去上一行的 xn
倍，可得
0xxxxx
0xxxxxx
0xxxx
111
V
n
2n
2
1n
2
2n
1
1n
1
n2
2
2n1
2
1
n2n1
n
?
????
?
?
?
???? ??
??
??
?
n
2n
1n
1n
1nn
2n
2
1n
2n
2n
1
1n
1
n1n
2
1nn2
2
2n1
2
1
n1nn2n1
1n
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
)1(1
?
?
?
?
????
??
?
?
???
???
???
???
?
????
?
?
这就得到了递推关系，反复使用，得
Vn = (xn? x1)( xn ?x2) ??? (xn? xn?1)Vn?1
= (xn? x1)( xn ?x2) ??? (xn? xn?1) (xn?1? x1)
??? (xn?1? xn?2)Vn?2
= …
= (xn? x1)( xn ?x2) ??? (xn? xn?1) (xn?1? x1) ?
?? (xn?1? xn?2) ??? (x2? x1)
1n1nn2n1n
2n
1n
2n
2
2n
1
1n21
n1nn2n1
1n
V)xx()xx)(xx(
xxx
xxx
111
)xx()xx)(xx()1(
??
?
?
??
?
?
?
????
?????
?
?
????
?
?
?
4 行列式在几何上的应用
a.求过平面上两点的直线方程
设 P1(x1,y1),P2(x2,y2)为平面上两点，显然，
过这两点的直线方程为：
将该方程变形为,(y ? y1) ( x2 ? x1) ? ( y2 ? y1)
( x ? x1) = 0，即
)xx( ji
1jin
?? ?
???
)xx(xx yyyy 1
12
12
1 ??
???
0
xxxx
yyyy
121
121 ?
??
??
b.求过不在同一直线上三点的平面方程
引理 设 a={ax,ay,az},b={bx,by,bz}，
c={cx,cy,cz}为三向量，则 a,b,c共面的充分
必要条件是：
设 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3)为空
间上不在同一直线上的三点，则 P1,P2,P3确定
一个平面 ?。
0
ccc
bbb
aaa
zyx
zyx
zyx
?
设 P(x,y,z)为平面 ?上任一点，以 P1为起点分别作
以 P2,P3,P为终点的向量 a,b,c，则 a,b,c共
面且 a={x2?x1,y2?y1,z2?z1},b={x3?x1，
y3?y1,z3?z1},c={ x?x1,y?y1,z?z1}。
由引理知：
可以验证满足上式的点 P(x,y,z)都在平面 ?上，所以
上式是过 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)、
P3(x3,y3,z3)三点的平面方程。
0
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
131313
121212
111
?
???
???
???
对于一个阶数比较高的行列式，利用定义求值
或利用行列式按行 (列 )展开法则求值都不是一种可
行的方法。诚如前面所指出的，计算一个 n阶行列
式就要作 n!次乘法,当 n增大时,n!的增长是非常快
的，例如,18!?6.4?1015。假定计算机作一次乘法运
算的时间是百万分之一秒，则通过反复使用行列式
按行 (列 )展开法则并用这种计算机求一个 18阶行列
式的值需要的时间 (以每天工作八小时计算 )竟多达
200年！这就说明为一般地解决行列式的求值问
题，必须利用行列式性质发展有效的计算方法，对
各个具体问题还要善于发现和利用其特点以简化手
续。本节例析几种常用的行列式值的求法，最后介
绍行列式的简单应用。
一 行列式值的求法
下面通过例子说明几种常用的求解行列式的方法。
1.利用行列式性质把行列式化成等值的三角形
行列式进行计算,
例 1 计算行列式
3351
1102
4315
2113
D
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解
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4351
2131
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72160
1120
6480
2131
54 rr
1
r
2
r
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151000
10800
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72160
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32 rr
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40
2
5
000
10800
1120
2131
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例 2 计算行列式
解 这个行列式的特点是各列 n个元素之和都为
x+(n?1)a。今把后 n?1行同时加到第 1行，提出公因子
x+(n?1)a，然后各行减去第 1行的 a倍：
xaa
axa
aax
D
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xaa
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xaa
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111
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ax00
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111
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2,利用行列式性质降阶计算,
? 这种方法的基本思想是利用行列式的性质 6将行列
式的一行 (或一列 )的 n?1个元素法变成零，然后按
该行（或该列）展开，从而将一个 n阶行列式化成
一个 n?1阶行列式进行求解。
例 3 计算行列式
3351
1102
4315
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? 解 我们保留 a33，将第 3行的其余元素变为 0，然
后按第 3行展开：
0355
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1115
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3.建立递推关系进行计算,
在行列式计算中，建立递推关系再行求解，也是
一种有用的技巧。当然，发现递推关系需要经验，
也可能要费一番功夫。
055
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115
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40
55
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例 4 计算行列式
解 可以看出
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按第 1行展开，有
对两个（ 2n?1）阶行列式各按最后一列展开，得
D 2 n = adD2(n?1)?bc?(?1)(2n?1)+1D2(n?1)
= (ad?bc) D2(n?1)
这是一个递推公式，而 D2 = ad?bc，故
D2 n = (ad?bc) D2(n?1) = (ad?bc)2 D2(n?2)
= … = (ad ?bc)n?1 D2 = (ad?bc)n
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例 5 证明范德蒙 (Vandermonde)行列式
解 显然可以看出
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xxx
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但在尝试建立 Vn与 Vn?1的递推关系时却无从下
手,我们采用另一种做法：
从最后一行开始，每行减去上一行的 xn
倍，可得
0xxxxx
0xxxxxx
0xxxx
111
V
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2
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这就得到了递推关系，反复使用，得
Vn = (xn? x1)( xn ?x2) ??? (xn? xn?1)Vn?1
= (xn? x1)( xn ?x2) ??? (xn? xn?1) (xn?1? x1)
??? (xn?1? xn?2)Vn?2
= …
= (xn? x1)( xn ?x2) ??? (xn? xn?1) (xn?1? x1) ?
?? (xn?1? xn?2) ??? (x2? x1)
1n1nn2n1n
2n
1n
2n
2
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1n
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4 行列式在几何上的应用
a.求过平面上两点的直线方程
设 P1(x1,y1),P2(x2,y2)为平面上两点，显然，
过这两点的直线方程为：
将该方程变形为,(y ? y1) ( x2 ? x1) ? ( y2 ? y1)
( x ? x1) = 0，即
)xx( ji
1jin
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???
)xx(xx yyyy 1
12
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0
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121
121 ?
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b.求过不在同一直线上三点的平面方程
引理 设 a={ax,ay,az},b={bx,by,bz}，
c={cx,cy,cz}为三向量，则 a,b,c共面的充分
必要条件是：
设 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),P3(x3,y3,z3)为空
间上不在同一直线上的三点，则 P1,P2,P3确定
一个平面 ?。
0
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zyx
zyx
zyx
?
设 P(x,y,z)为平面 ?上任一点，以 P1为起点分别作
以 P2,P3,P为终点的向量 a,b,c，则 a,b,c共
面且 a={x2?x1,y2?y1,z2?z1},b={x3?x1，
y3?y1,z3?z1},c={ x?x1,y?y1,z?z1}。
由引理知：
可以验证满足上式的点 P(x,y,z)都在平面 ?上，所以
上式是过 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)、
P3(x3,y3,z3)三点的平面方程。
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zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
131313
121212
111
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???
