第二节 分块矩阵
? 在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数
很高或结构特殊的矩阵。对于这些矩阵，在运
算时常常采用分块法，使大矩阵的运算化成小
矩阵的运算。我们将矩阵 A用若干条纵线和横
线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A的
子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块
矩阵。
1 0 0 3 2
0 1 0 2 5
0 0 1 5 5
0 0 0 6 0
0 0 0 4 8
A
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? 按虚线所示，矩阵 A被
分成 4个子块,则
1 1 3 1 2
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A 0 1 0 E,A 2 5,
0 0 1 5 5
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2 3 2 22 1 2 2 0
EAAA
A
AAA ?
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分块矩阵的基本运算
? 分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相类
似
1,加法
2,转置
分块矩阵转置时, 不但要将分块, 行列, 互换,
而且行列互换后的各子矩阵都要转置 。
3,乘法
1 1 1 2 1 1 1 1 2
2 1 2 2 2 2 1 2 2 2
12 12
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p p p t t t t r
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A A A B B B
AB
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? 设 A为 m?s矩阵,B为 s?n矩阵,
? Aij为 mi?sj子块 （ i=1,2,…, p； j=1,2,…,
t）, 且 m1 + m2 + … +mp = m,s1 + s2 + … +
st= s；
? Bjk 为 sj?nk子块 （ j=1,2,…, t； k=1,
2,…, r）, 且 k1 + k2 + … + kr = n,s1 + s2
+ … + st= s。
? 令 AB = C,则
1 1 1 2 1
2 1 2 2 2
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C C C
C C C
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C A B A B? A B A B 1,2,,; 1,2,,i p j r
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? 分块矩阵的行列式与 Laplace定理
1,设 A为 n阶方阵,M为 A的一个 k阶子式，在 A
中去掉 M所在的 k行和 k列的元素，由剩下的元
素按原来的相对位置组成的 n?k阶行列式 N，
称为 k阶子式 M的余子式。
2,如果 k阶子式 M在 A中所在的行和列的标号分别
为 i1,i2,…, ik； j1,j2,…, jk，则称
为 k阶子式 M的代数余子式
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? 定理 （ Laplace定理 ） 设 n阶矩阵 A=(aij)，
在 A中任意取定 k行 （ 1? k ?n）, 由这 k行组成
的所有 k阶子式 Mi（ i=1,2,…, t） 与它们的
代数余子式 Bi（ i=1,2,…, t） 的乘积之和等
于 detA,即
其中 Bi是子式 Mi的代数余子式（ i=1,2,…,
t）。
1 1 2 2d e t,( C )
k
t t nA M B M B M B t? ? ? ? ?
分块对角矩阵 （ 准对角矩阵 ）
形如
其中 Ai（ i=1,2,…, s） 均为方阵, 且其
余子块均为零矩阵的分块矩阵, 称为 分块
对角矩阵或准对角矩阵 。
1
2
s
A
A
A
A
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00
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? 由 Laplace定理知, 分块对角矩阵的行列式
具有下述性质,|A|=|A1|·|A2|·… ·|As|
? 由此性质可知, 若 |Ai| ? 0（ i=1,2,…,
s）, 则 |A| ? 0,并有
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? 思考题 1：设 A,B分别为 r和 s阶方阵，则行列
式
为什么？ 答案：
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OB
AO
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( 1 ) | | | |
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? 在理论研究及一些实际问题中，经常遇到阶数
很高或结构特殊的矩阵。对于这些矩阵，在运
算时常常采用分块法，使大矩阵的运算化成小
矩阵的运算。我们将矩阵 A用若干条纵线和横
线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 A的
子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块
矩阵。
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1,设 A为 n阶方阵,M为 A的一个 k阶子式，在 A
中去掉 M所在的 k行和 k列的元素，由剩下的元
素按原来的相对位置组成的 n?k阶行列式 N，
称为 k阶子式 M的余子式。
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分块对角矩阵 （ 准对角矩阵 ）
形如
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