第二节 n 阶行列式的定义
为给出 n阶行列式的定义，让我们来分析前面所
讲的三阶行列式的定义。在 § 1中的（ 6）我们定义
,ccccccccc
ccccccccc
ccc
ccc
ccc
322311332112312213
322113312312332211
333231
232221
131211
???
???
对行列式中元素,第一个下标 i表示元素所在
的行，称为 行标 ；第二个下标 j表示元素所在的列，
称为 列标 。从上述表达式可以发现三阶行列式有如下
特点：
ijc
（ 1）表达式共有 3!＝ 6项求代数和。且每项均为
不同行不同列的三个元素的乘积 ；
（ 2） 6项中有 3项的代数符号为正,3项的代数符
号为负；
（ 3）如果把每一项元素的行标按 1,2,3依次排
列，则每一项元素的列标排列分别为 123,231,312以
及 321,213,132,恰好是 1,2,3这三个数的所有可能
的排列。
（ 4）排列 123,231,312的逆序数分别为 0,2,2,
而排列 321,213,132的逆序数分别为 3,1,1,即在 6项
求和中，取行标为标准顺序的排列时，其列标排列为
偶排列时，则该项的代数符号为正；当列标排列为奇
排列时，则该项的代数符号为负 。
因此，我们可以把三阶行列式的定义写成
.)1(
321
321 321
333231
232221
131211
? ??
ppp
ppp
t ccc
ccc
ccc
ccc
其中 p1p2p3是 1,2,3这三个数的一个排列,t是这
个排列的逆序数，共有 3!＝ 6项求和。其中 求和符号
Σ表示连加。
完全类似，我们可以定义 n阶行列式。
定义 1 设有 个数，排成 n行 n列的数表2n
321
22221
11211
nnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
作出表中位于不同行不同列的 n个数的乘积，并冠以
符号,得到形如t)1(?
nnppp aaa ?21 21
t ( - 1 )
(1)
的项，其中 为自然数 1,2,……, n的
一个全排列,t为这个排列的逆序数。由于这样的排
列共有 n! 个,因此形如（ 1）式的项共有 n!项。所有
这 n!项的代数和
nppp ?21
称为 n阶行列式 （ determinant），记为
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
?
?
21
22221
11211
?
或者简记作 Δ（ ）或者 det( )。
ija ija数 称为行列式 Δ
),,2,1;,,2,1( njnia ij ?? ??
( )的元素。
ija 显然，按此定义给出的二阶行列式和三阶行列
?
n
n
ppp
nppp aaa
?
?
21
21 21
t ( - 1 )
式与我们前面所说的定义是一致的 。
以后为方便起见，我们称行列式中 nnaaa,,,2211 ?
为行列式的 主对角线,
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
21
22221
11211
而称 的线段为行列式的 次对角线 或 副对
角线 。
1121,,nnn aaa ?
例 1 证明主对角行列式（其中对角线上的元素为
),,2,1( nia ii ?? 其余的元素为 0）的值为
nn
nn
aaa
a
a
a
?
?
????
?
?
2211
22
11
00
00
00
?
次对角行列式（其中对角线上的元素为
,1,??? njia ij
ni,,2,1 ??,其余的元素为 0）的值为
1121
2/)1(
1
1,2
1
)1(
00
00
00
nnn
nn
n
n
n
aaa
a
a
a
?
?
????
?
?
?
??
??
证：第一式是显然的。下面我们只证明第二个结
果。
根据行列式的定义
?
?
00
00
00
1
1,2
1
?
????
?
?
n
n
n
a
a
a
?
n
n
ppp
nppp aaa
?
?
21
21 21
t ( - 1 )
11,21
t ( - 1 )
nnn aaa ???
其中 t为 n(n-1)……21 的逆序数，因此由 第一节的例 2
可知 t＝ n(n－ 1)/2。
例 2 证明下三角行列式
nn
nnnn
aaa
aaa
aa
a
D ?
?
????
?
?
2211
21
2221
11
0
00
??
0?ija
证,由于当 j > i时，,因此行列式的求和
表达式中可能不为 0的项的 n个因子的下标
iip
应有 ip
i ?
即 nppp n ???,,2,1 21 ?而在所有排列 中，
nppp ?21
能满足上述关系的排列只有一个，即 1,2……n,所以
行列式中可能不为 0的项只有一项，即,
这一项的符号显然为正（因为 t＝ 0），所以
nnaaa ?2211t ( - 1 )
nnaaaD ?2211?
例 3 设
nnnkkk
nk
kkk
k
bbcc
bbcc
aa
aa
D
??
??????
??
??
??????
??
11
111111
1
111
00
00
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kkk
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1
111
1 ?
nnn
n
bb
bb
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???
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1
111
2 ?
证明 21 DDD ?
,)1( 11 11 nkkk rnkrkkrrt dddd ?? ??? ??
记
)d e t ( ijdD ?
，其中
),,2,1;,,2,1(,kjkiad ijij ?? ???
),,2,1;,,2,1(,,njnibd ijjkik ?? ?????
考察 D的一般项
由于当 i ≤ k,j > k时，,因此0?
ijd krrr,,,21 ?
，只有
在 1,2,…, k中选取时, 该项才可能不为 0。而根据
行列式的定义,当 在 1,2,…, k中选取时，
krrr,,,21 ?
nkkk rrr ???,,,21 ?
只能在 k+1,k+2,…, k+n中选取。
于是 D中可能不为 0的项可以记为
nknkkk nppkrr
t
rnkrkkrr
t bbaadddd ????
1111 11 11 )1()1( ??? ?? ??
这里,krp iki ?? ?, 而 t为排列 )()(,
121 nk pkpkrrr ?? ??的逆序数。以 s,m分别表示 和 的逆序
数
krrr ?21,n
pp ?1
，则显然有 t ＝ s＋ m。因此
。
21
12
21
11
11
1
1
1
1
1
11
1
11
1 1
)1(
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bbaa
bbaaD
k
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s
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讲的三阶行列式的定义。在 § 1中的（ 6）我们定义
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对行列式中元素,第一个下标 i表示元素所在
的行，称为 行标 ；第二个下标 j表示元素所在的列，
称为 列标 。从上述表达式可以发现三阶行列式有如下
特点：
ijc
（ 1）表达式共有 3!＝ 6项求代数和。且每项均为
不同行不同列的三个元素的乘积 ；
（ 2） 6项中有 3项的代数符号为正,3项的代数符
号为负；
（ 3）如果把每一项元素的行标按 1,2,3依次排
列，则每一项元素的列标排列分别为 123,231,312以
及 321,213,132,恰好是 1,2,3这三个数的所有可能
的排列。
（ 4）排列 123,231,312的逆序数分别为 0,2,2,
而排列 321,213,132的逆序数分别为 3,1,1,即在 6项
求和中，取行标为标准顺序的排列时，其列标排列为
偶排列时，则该项的代数符号为正；当列标排列为奇
排列时，则该项的代数符号为负 。
因此，我们可以把三阶行列式的定义写成
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其中 p1p2p3是 1,2,3这三个数的一个排列,t是这
个排列的逆序数，共有 3!＝ 6项求和。其中 求和符号
Σ表示连加。
完全类似，我们可以定义 n阶行列式。
定义 1 设有 个数，排成 n行 n列的数表2n
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一个全排列,t为这个排列的逆序数。由于这样的排
列共有 n! 个,因此形如（ 1）式的项共有 n!项。所有
这 n!项的代数和
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而称 的线段为行列式的 次对角线 或 副对
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，只有
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行列式的定义,当 在 1,2,…, k中选取时，
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只能在 k+1,k+2,…, k+n中选取。
于是 D中可能不为 0的项可以记为
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这里,krp iki ?? ?, 而 t为排列 )()(,
121 nk pkpkrrr ?? ??的逆序数。以 s,m分别表示 和 的逆序
数
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，则显然有 t ＝ s＋ m。因此
。
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