第三节 约当 (Jordan)
标准形简介
? 上一节定理 1说明,n阶矩阵 A与对角阵相似的
充要条件是 A有 n个线性无关的特征向量。本节
说明当只有 m (m<n)个线性无关的特征向量时,
A一定与由约当块组成的约当形矩阵相似。
一,约当块和约当形矩阵
定义 1 形如
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2
1
J
J
J
J
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其中：
叫做 约当形矩阵, Ji叫做 约当块 。
当 J1 = [?1],J2 = [?2],…, Js = [?s]都是一阶
约当块时,J为对角阵，所以对角阵为约当阵的特
例。
A和约当形矩阵相似，即存在可逆阵 P，使得
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i
i
i
i
1
1
J
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Ji中的 ?i显然是 A的特征值，但当 i ? j时,?i和 ?j可
能相等。然而,P中的列向量却并非都是 A的特征向
量。
我们把与 A相似的约当标准型矩阵称为 A的约当标
准形。约当标准形的理论比较复杂，我们仅介绍这
个理论的要点（不作证明）和约当标准形的方法。
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s
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J
J
J
JAPP
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定义 2 如矩阵 A = (aij)的元素 aij是 ?的多项式，就称
A为 ?矩阵，记作 A(?)。
例如 A的特征矩阵 ?E ? A是一个 ?矩阵。
?矩阵也可以作初等变换，它的三种初等变换为：
1,矩阵的两行 (列 )对换位置。
2,矩阵的某行 (列 )乘以非零常数；
3,矩阵的某行 (列 )乘多项式 ?(?)加到另一行 (列 )；
定义 3 ?矩阵 A(?)经初等变换化为 B(?)，称 A(?)和
B(?)是相抵的，记作 A(?)≌ B(?)。
定理 1 任一个 n阶矩阵 A的特征矩阵 A(?) = ?E ? A都
相抵于一个对角形 ?矩阵，即
且
其中
)5( )(D
)(d
)(d
)(d
)AE()(A
n
2
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）（，，,6 )n21k()(D)(A kk ?????
1,di(?)（ i =1,2,…, n）是首一多项式（即 ?的
最高次项系数为 1）；
2,di(?)|di+1(?)（即 di+1(?) =qi(?)di(?),qi(?)也
是 ?的多项式）（ i=1,2,…, n）
3,Ak(?)和 Dk(?)分别表示 A(?)和 D(?)中全部 k阶子
式的最高公因式
由定理的结论可知：
Dk(?) = d1(?)d2(?) … dk( ?),(7)
k=1,2,…, n，
D1(?) = D1(?)=A1(?) (8)
Ak(?) = Dk(?)=Dk-1(?)dk(?)=Ak-1(?)dk(?)
所以 dk(?)=Ak(?)/Ak?1(?),k=1,2,…,n,(9)
由此可见,d1(?),d2(?),…, dn(?)是由 A(?)=?E ?
A唯一确定的，它们称为 A??E的不变因子（简称为
A的不变因子）。由于 An(?) = |?E ? A |=Dn(?)是 ?
的 n次多项式，所以 n个不变因子的次数和等于 n
例 3 求三阶矩阵
的特征矩阵 J(?)=?E ? J的不变因子 。
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a00
1a0
01a
J
解 [方法 1] 根据 (8)式及 (9)式 dk(?)=Ak(?)/Ak-1(?)
求不变因子。
先把
的所有的一阶、二阶子式及三阶子式求出来，然后
容易求得它们的最高公因式分别为：
J1(?)=1,J2(?)=1,J3(?)=(??a)3，
于是得 J(?)的不变因子：
d1(?)=J1(?)=1,d2(?)=J2(?)/J1(?)，
d3(?)=J3(?)/J2(?)=(??a)3。
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a00
1a0
01a
)JE()(J
[方法 2] 用初等变换，把 J(?)=?E ? J化成 (6.4.1)的
形式。
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001
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故 J(?)=?E ? J的不变因子为 1,1,(?? a)3。
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3
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)1(1r
)a(00
010
001
由于 n次多项式在复数域上一定可以分成 n个一
次因式的乘积，因此 ??a的次数大于等于 1的不变因
子都可以分解为若干个一次因式幂的乘积，这些一
次因式的幂称为 A的初等因子。但是 A(?)的初等因
子中,同样的一次因子的幂可能重复出现。如例 7中
J(?)=?E?J的初等因子为 (??a)3。又如当
)10(
)3)(1(
)3(
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1
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时,A的初等因子为 (??3)3,(??3)2,(?+1)。
定理 2 A～ B的充分必要条件是 ?E?A≌ ?E?B。
定理 3 A～ B的充分必要条件是 ?E?A和 ?E?B有
完全相同的初等因子。
定理 4 若 n阶矩阵 A的特征矩阵 ?E?A的初等因子
为
则 ?? ??????????
k
1i
i
km
k
2m
2
1m
1 nm,)(,,)(,)( 其中?
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k
2
1
J
J
J
J~A
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其中
说明：
1,由于 ?E?A存在初等因子，且由 A唯一确定，又 A
的初等因子的次数和等于矩阵的阶数，因此由定
理 12可知，任一个 n阶矩阵在复数域上都与一个约
当标准形相似。
2,在约当标准形 J中改变约当块的排列次序，不影响
?E?J的初等因子。因此，如果不考虑约当块的排
列次序，矩阵 A的约当标准型 J是唯一的。
3,由定理 4可知,A与对角阵相似的充要条件是
?E?A的初等因子都是一次因式。
。k,,2,1i,
1
1
J
imim
i
i
i
i
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例 4 已知
试求矩阵 A,B的约当标准形。
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解 有已知条件可知，（ ?E?A）的初等因子为
(??3)2,(??3)2,(?+1)；（ ?E?B）的初等因子为
(?+3)4,(?+4)。所以
或
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或
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0013
J~B
或
例 5 求
的约当标准形。
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J~B
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014
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A
解
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44
100
001
2440
0)1(0
001
22
所以 ?E?A的初等因子是 ?+2,(??1)2，因此 A的约
当标准形为
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2
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010
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200
0
0
10
11
10
11
0
0
002
或
例 6 设
问,A是否与对角阵相似？如不与对角阵相似，求
可逆矩阵 P，使得 P?1AP为约当标准形 。
解
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122
020
021
A
)2()1(
122
020
021
AE
2
?????
??
??
???
???
A的特征值为 ?1 = ?2 = 1,?2 =2。二重特征值
?1=?2=1的特征向量只有一个，即 x1= (0,0,1)?
故 A不能与对角阵相似,
求 A的约当标准形可按例 3或例 1的解法,得
即存在可逆矩阵 P，使得 P?1AP = J。设
?
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200
010
011
J~A
? ?,,,P 321 ????
则 AP = PJ，
于是
其中,?1是对应于 ?1=1的特征向量，
即 ?1=X1=[0,0,1]?； ?3是 A的对应于 ?2=2的特征
向量，易得
?3=[2,1,?6]?； ?2不是 A的特征向量，但将 ?2
代入 A?2=?1+?2 即 (A?E)?2 = ?1。便可解得。
? ? ? ?,
200
010
011
,,,,A 321321
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???????
3321211 2A,A,A ???????????
因此取
就可使
由于特征向量 ?1,?2的取法可以不同，从而 ?2也可
不同，故 P不是唯一的。
由此例求 P的方法可知，如果 A的约当标准形由 S
个约当块组成，则 A有 S个线性无关的特征向量；反
之亦然。
,
601
100
2
2
10
],,[P 321
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?????
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???
200
010
011
JAPP 1
但是，读者必须注意，我们求得了 A的 S个线性无
关的特征向量，并不能立即写出它的 S个约当块。
例如,?i是 A的四重特征值,A属于 ?i的线性无关的
有两个,A的约当标准形中以 ?i为主对角元的约当
块必有两块，但它们可能有两种情况：
当然对于给定的 A，必是二者之一。
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i
i
i
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i
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0
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0
0
或
标准形简介
? 上一节定理 1说明,n阶矩阵 A与对角阵相似的
充要条件是 A有 n个线性无关的特征向量。本节
说明当只有 m (m<n)个线性无关的特征向量时,
A一定与由约当块组成的约当形矩阵相似。
一,约当块和约当形矩阵
定义 1 形如
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J
J
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其中：
叫做 约当形矩阵, Ji叫做 约当块 。
当 J1 = [?1],J2 = [?2],…, Js = [?s]都是一阶
约当块时,J为对角阵，所以对角阵为约当阵的特
例。
A和约当形矩阵相似，即存在可逆阵 P，使得
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Ji中的 ?i显然是 A的特征值，但当 i ? j时,?i和 ?j可
能相等。然而,P中的列向量却并非都是 A的特征向
量。
我们把与 A相似的约当标准型矩阵称为 A的约当标
准形。约当标准形的理论比较复杂，我们仅介绍这
个理论的要点（不作证明）和约当标准形的方法。
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J
J
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定义 2 如矩阵 A = (aij)的元素 aij是 ?的多项式，就称
A为 ?矩阵，记作 A(?)。
例如 A的特征矩阵 ?E ? A是一个 ?矩阵。
?矩阵也可以作初等变换，它的三种初等变换为：
1,矩阵的两行 (列 )对换位置。
2,矩阵的某行 (列 )乘以非零常数；
3,矩阵的某行 (列 )乘多项式 ?(?)加到另一行 (列 )；
定义 3 ?矩阵 A(?)经初等变换化为 B(?)，称 A(?)和
B(?)是相抵的，记作 A(?)≌ B(?)。
定理 1 任一个 n阶矩阵 A的特征矩阵 A(?) = ?E ? A都
相抵于一个对角形 ?矩阵，即
且
其中
)5( )(D
)(d
)(d
)(d
)AE()(A
n
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1,di(?)（ i =1,2,…, n）是首一多项式（即 ?的
最高次项系数为 1）；
2,di(?)|di+1(?)（即 di+1(?) =qi(?)di(?),qi(?)也
是 ?的多项式）（ i=1,2,…, n）
3,Ak(?)和 Dk(?)分别表示 A(?)和 D(?)中全部 k阶子
式的最高公因式
由定理的结论可知：
Dk(?) = d1(?)d2(?) … dk( ?),(7)
k=1,2,…, n，
D1(?) = D1(?)=A1(?) (8)
Ak(?) = Dk(?)=Dk-1(?)dk(?)=Ak-1(?)dk(?)
所以 dk(?)=Ak(?)/Ak?1(?),k=1,2,…,n,(9)
由此可见,d1(?),d2(?),…, dn(?)是由 A(?)=?E ?
A唯一确定的，它们称为 A??E的不变因子（简称为
A的不变因子）。由于 An(?) = |?E ? A |=Dn(?)是 ?
的 n次多项式，所以 n个不变因子的次数和等于 n
例 3 求三阶矩阵
的特征矩阵 J(?)=?E ? J的不变因子 。
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J
解 [方法 1] 根据 (8)式及 (9)式 dk(?)=Ak(?)/Ak-1(?)
求不变因子。
先把
的所有的一阶、二阶子式及三阶子式求出来，然后
容易求得它们的最高公因式分别为：
J1(?)=1,J2(?)=1,J3(?)=(??a)3，
于是得 J(?)的不变因子：
d1(?)=J1(?)=1,d2(?)=J2(?)/J1(?)，
d3(?)=J3(?)/J2(?)=(??a)3。
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[方法 2] 用初等变换，把 J(?)=?E ? J化成 (6.4.1)的
形式。
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故 J(?)=?E ? J的不变因子为 1,1,(?? a)3。
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由于 n次多项式在复数域上一定可以分成 n个一
次因式的乘积，因此 ??a的次数大于等于 1的不变因
子都可以分解为若干个一次因式幂的乘积，这些一
次因式的幂称为 A的初等因子。但是 A(?)的初等因
子中,同样的一次因子的幂可能重复出现。如例 7中
J(?)=?E?J的初等因子为 (??a)3。又如当
)10(
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定理 2 A～ B的充分必要条件是 ?E?A≌ ?E?B。
定理 3 A～ B的充分必要条件是 ?E?A和 ?E?B有
完全相同的初等因子。
定理 4 若 n阶矩阵 A的特征矩阵 ?E?A的初等因子
为
则 ?? ??????????
k
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1 nm,)(,,)(,)( 其中?
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其中
说明：
1,由于 ?E?A存在初等因子，且由 A唯一确定，又 A
的初等因子的次数和等于矩阵的阶数，因此由定
理 12可知，任一个 n阶矩阵在复数域上都与一个约
当标准形相似。
2,在约当标准形 J中改变约当块的排列次序，不影响
?E?J的初等因子。因此，如果不考虑约当块的排
列次序，矩阵 A的约当标准型 J是唯一的。
3,由定理 4可知,A与对角阵相似的充要条件是
?E?A的初等因子都是一次因式。
。k,,2,1i,
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试求矩阵 A,B的约当标准形。
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解 有已知条件可知，（ ?E?A）的初等因子为
(??3)2,(??3)2,(?+1)；（ ?E?B）的初等因子为
(?+3)4,(?+4)。所以
或
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J~A
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13
30
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J~A
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4
3000
1300
0130
0013
J~B
或
例 5 求
的约当标准形。
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1300
0130
0013
4
J~B
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284
014
013
A
解
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010
284
014
013
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)1)(2(
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100
001
2440
0)1(0
001
22
所以 ?E?A的初等因子是 ?+2,(??1)2，因此 A的约
当标准形为
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2
)1)(2(00
010
001
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200
0
0
10
11
10
11
0
0
002
或
例 6 设
问,A是否与对角阵相似？如不与对角阵相似，求
可逆矩阵 P，使得 P?1AP为约当标准形 。
解
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122
020
021
A
)2()1(
122
020
021
AE
2
?????
??
??
???
???
A的特征值为 ?1 = ?2 = 1,?2 =2。二重特征值
?1=?2=1的特征向量只有一个，即 x1= (0,0,1)?
故 A不能与对角阵相似,
求 A的约当标准形可按例 3或例 1的解法,得
即存在可逆矩阵 P，使得 P?1AP = J。设
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200
010
011
J~A
? ?,,,P 321 ????
则 AP = PJ，
于是
其中,?1是对应于 ?1=1的特征向量，
即 ?1=X1=[0,0,1]?； ?3是 A的对应于 ?2=2的特征
向量，易得
?3=[2,1,?6]?； ?2不是 A的特征向量，但将 ?2
代入 A?2=?1+?2 即 (A?E)?2 = ?1。便可解得。
? ? ? ?,
200
010
011
,,,,A 321321
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???????
3321211 2A,A,A ???????????
因此取
就可使
由于特征向量 ?1,?2的取法可以不同，从而 ?2也可
不同，故 P不是唯一的。
由此例求 P的方法可知，如果 A的约当标准形由 S
个约当块组成，则 A有 S个线性无关的特征向量；反
之亦然。
,
601
100
2
2
10
],,[P 321
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???
200
010
011
JAPP 1
但是，读者必须注意，我们求得了 A的 S个线性无
关的特征向量，并不能立即写出它的 S个约当块。
例如,?i是 A的四重特征值,A属于 ?i的线性无关的
有两个,A的约当标准形中以 ?i为主对角元的约当
块必有两块，但它们可能有两种情况：
当然对于给定的 A，必是二者之一。
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i
i
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i
i
i
i
00
10
01
0
1
0
0
或
