2012-3-21 1
第二章 流体静力学
§ 2.1 流体静压强及其特性
§ 2.2 流体平衡微分方程
§ 2.3 流体静力学基本方程
§ 2.4 静止液体作用于壁面的总压力
§ 2.5 液体的相对平衡
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§ 2.1 流体静压强及其特性
流体静力学的主要任务,
根据诸作用力的平衡关系研究流体处于静止或相对
静止时的力学规律及其在工程技术上的应用。
一,流体静压强的概念
静止流体作用在与之接触的表面上的压强。
二,流体静压强的两个重要特性
1、流体静压强的方向沿作用面的内法线方向。
2、静止流体中任一点处的静压强大小与其作用面的方位
无关。
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§ 2.2 流体平衡微分方程
在静止流体中任取一微元六面体, 其边长分别为 dx，
dy,dz,坐标的选取如下图 。
分析 x方向的受力平衡情况：作用于微元体上的质量
力在 x方向的投影为, 设六面体形心处的静压
强为 p,则作用在左面 ABCD上的总压力为
作用在右面 EFGH上的总压力为
d y d zdx
x
pp
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2
1
d y d zdx
x
pp
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???
2
1
dx dydzf x?
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因此作用在该微元体 x方向的表面力为,
建立 x方向受力平衡关系式
上式除以微元体质量,得,
同理从 y,z方向建立受力平衡关系式有,
（ 1）
dx dy dz
x
p
?
??
0?
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?? d x d y d z
x
pd x d y d zf
x ?
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y
x
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?dxdydz? 0
1 ?
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??
x
pf
x ?
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上式即为静止流体平衡微分方程，也称欧拉平衡微
分方程。
将（ 1）中三个方程交叉求导得：（不可压缩均质
流体 ）
（ 2）
（ 2）式表明存在势函数 W（ x,y,z）满足,
c＝?
?
?
?
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y
Wf
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??,，
2012-3-21 6
将（ 1）式中三个方程分别乘以 dx,dy,dz再相加得,
所以,
（ 3）
这就是流体平衡压强分布规律的基本微分关系式。由
（ 3）式可以看出静止流体的一些特性,
等压面也是等势面。
等压面与质量力正交。
? ?dzfdyfdxfdz
z
pdy
y
pdx
x
p
zyx ????
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dW
dz
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dzfdyfdxfdp
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2012-3-21 7
§ 2.3 流体静力学基本方程
一, 质量力只有重力时静力学基本方程
在实际应用中, 作用在平衡流体上的质量力常常只
有重力, 以下就讨论重力场中静止流体的压强分布规律 。
对静止流体, 因,
由 （ 3） 式有
时, 将上式积分得,（ 4）
对于静止流体中任意两点, 有
（ 5）
（ 4） （ 5） 两式均为不可压缩流体静力学基本方程 。
gfff zyx ????,,00
dzg d zdp ?? ????
cpz ??＋c＝?
?? 2211 pzpz ＋＋ ?
2012-3-21 8
其中 和 均具有长度量纲, 表示某点所在的位置
距基准面的垂直高度称为位置水头, 称为压力水头,
称为测压管水头 。 由静力学基本方程
可以看出静止流体中各点位置水头和压力水头可以相互
转换, 但各点测压管水头相等并为一水平线, 如图 1,2
两点的测压管液位在同一位置高度 。
z
?pz＋
?p
?p z
cpz ＝＋ ?
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二、绝对压强、相对压强、真空值
绝对压强, 以绝对真空状态的压强为零点计量的压
强值 。
相对压强, 以当地大气压作为零点计量的压强值 。
真空值, 以当地大气压作为零点计量的小于大气压的
数值 。
从上面定义可知：绝对压强的数值只可能为正, 而相对
压强的数值则可正可负 。 如右
图, 三者的关系可表达为,
?
?
?
?
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????
??
??
rea b sav
aa b sre
reaa b s
pppp
ppp
ppp
vp
absp
rep
2012-3-21 10
§ 2.4 静止流体作用于壁面的总压力
在设计各种阀, 挡水闸, 堤坝, 容器和校核管道强度
时, 会遇到静止流体对固体壁面的总压力计算问题, 包
括平面壁和曲面壁的总压力计算 。
一, 作用于平面壁上的总压力
1,确定总压力的方向,
由流体静压强特性知：总压力方向垂直指向受压面 。
2,确定平面壁上所受的总压力大小,
如图, 一块任意形状的平板 ab斜放在液体中某一位
置, 首先选取直角坐标系 oxy,沿 ab取为 oy轴, oxy平面
与水面的交线取为 ox轴 。 为方便起见, 将 oxy坐标平面连
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同平板 绕坐标原点 o旋转 90o如下图所示 。 平板面积为 A，
形心为 C,作用点为 D（ 常称压力中心 ）, 平板斜置的倾
角为 α, 左侧受水压力, C点液下深度为 hc,D点液下深
度为 hD。 在平板上任取一微元面积 dA,dA中心在水下的
深度为 h,
2012-3-21 12
上述水深与坐标平面的坐标值间有如下关系,
设 dA上承受的压力为 p，则此微元面积上的总压力为
因平板上各点的水压力属平行力系，可以直接积分。
其中 是面积 A对 x轴的静面矩，应等于
所以上式为,（ 6）
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s in
s in
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CC
yh
yh
yh
dAyh d Ap d AdP ??? s i n???
?? ?? A y d AdPP ?? s in
ApAhAyP ccc ??? ??? s in
?A ydA Ayc ?
2012-3-21 13
（ 6） 式即为作用于平面壁上总压力大小计算公式 。
总压力大小等于平板形心处压强 PC与平面壁受压面积 A
的乘积 。
3,确定总压力的作用点,
假设受压面是轴对称面 （ 此轴与 oy轴平行 ）, 则总
压力的作用点必位于此对称轴上 。 所以, 这里只需确
定 yD的值即可确定总压力的作用点 。
由理论力学中的合力矩定理, 有,
其中 为受压面积对 ox轴的惯性矩, 用 表示 。
根据惯性矩平行移轴定理有,
? ? dAydAyyy d PyP AAD ??? ???? 2s i ns i n ????
dAyA? 2 xJ
AyJJ ccxx 2??＝
2012-3-21 14
其中 为该受压面对通过它的形心并与 x轴平行的轴
的惯性矩 。 于是有
即,（ 7）
因, 故, 即压力中心 D点一般在形
心 C点的下面 。
在工程实际中, 受压面多为以 y轴为对称轴的轴对
称面, yD算出后, 压力中心 D的位置就完全确定 。 若受
压面不是轴对称面, 则确定 yD后 尙 需确定 xD,可类似上
述 yD的推导来推出 xD。
cxJ?
Ay
AyJ
Ay
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Ay
J
P
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ccx
c
x
c
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Ay
Jyy
c
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cD
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0?? AyJ ccx cD yy ?
2012-3-21 15
例题,如图, 涵洞进口装有一圆形平板闸门, 闸门平面
与水平面成 60o,铰接于 B点并可绕 B点转动, 门的直径
d=1m,门的中心位于上游水面下 4m,门重 G=980N。 当门
后无水时, 求从 A处将门吊起所需的力 T。
解：闸门所受水的总压力
P=γhcAx=9.8 × 4× π × 0.5× 0.5× sin60o=26.66kN
?
2012-3-21 16
压力中心 D到 B的距离
B到 T的垂直距离
B到 G的垂直距离
根据理论力学平衡理论
? ?
m
H
d
Y
AY
J
YL
c
c
c
c
c
51.0
5.0
5.0
60s in
4
5.0
2
2
4
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mdy 25.060c o s
2
????
kN
x
GyPL
T
TxGyPLM A
9.27
0
?
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?
?????
2012-3-21 17
二,作用在曲面壁上的力
工程中承受流体压力作用的曲面常为二向曲面 。 因
此, 现以二向曲面为例求其总压力 。 如图, ab为承受液
体压力的圆柱曲面即二向曲面, 其面积为 A。 自由液面
通大气, 即自由液面相对压强为零 。 在曲面 ab上任取一
微元面积 dA,它的液下水深为 h,液体作用在微元面积
2012-3-21 18
dA上的总压力为 dP。
由于曲面壁上不同微元面积上的作用力的方向不同,
因此求总压力时不能直接在曲面壁上积分 。 常将 dP进
行分解, 再积分 。 将 dP分解为水平和垂直的两个分量
dPx,dPz,然后分别在整个面积 A上求积分, 得 Px,Pz。
一, 总压力的水平分力 Px
式中,Ax为面积 A在 yoz平面的投影, 为面积 Ax对
oy轴的静面矩, 所以
则 （ 8）
g h d AdP ??
???? ???? A xAAA xx hdAghdAgdPdPP ???? c o sc o s
?A xhdA
xcA x Ahh d A ＝?
xcx AghP ??
2012-3-21 19
（ 8）式即为流体作用在曲面壁上的总压力水平分
力公式。此式说明水平分力等于液体作用在曲面投影
面积 Ax上的总压力。
二、总压力的垂直分力 Pz
式中 Az为面积 A在自由液面 xoy平面或其延伸面上的投影
面积。 为以曲面 ab为底，投影面积 Az为顶以及曲
面周边各点向上投影的所有垂直母线所包围的一个空
间体积称为压力体积，以 V表示。
则 （ 9）
?A zhdA
???? ???? A zAAA zz hdAghdAgdPdPP ???? s i ns i n
gVPz ??
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上式说明作用在曲面上总压力的垂直分力等于压力体
的液重, 它的作用线通过压力体的重心 。 如果压力体
与受压面同侧称为实压力体, 垂直分力向下, 如下图 a
所示 。 如果压力体与受压面异侧称为虚压力体, 垂直
分力向上, 如下图 b所示 。
流体作用在曲面上的总压力
是水平分力与垂直分力的合力 。
大小为,
总压力与 x轴之间夹角的正切为,
z
x
P
Par ctg??
22
zx PPP ??
2012-3-21 21
例题,如图为一溢流坝上的弧形闸门。已知,R=8m，门
宽 b=4m,α=30 o，试求：作用在该弧形闸门上的静水总
压力。
O
?
解：闸门所受的水平分力为 Px，方向向右
即,
kN
RbR
AHP
xcx
8.940
s i ns i n
2
1
48.9
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????
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?
?
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????
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??
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闸门所受的垂直分力为 Pz，方向向上
闸门所受水的总压力
总压力的方向
? ?
kN
RRRR
R
b
VP
z
7.281
c o s4s i nc o s
2
1
360
30
8.9
2
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kNPPP zx 9 8 222 ???
??? 17a r c t a n
x
z
P
P?
2012-3-21 23
§ 2.5 液体的相对平衡
下面以流体平衡微分方程式为基础, 讨论质量力除
重力外, 还有牵连惯性力同时作用的液体平衡规律 。
在这种情况下, 液体相对于地球虽然是运动的, 但液
体质点之间, 质点与器壁之间都没有相对运动, 所以
这种运动称为相对平衡 。 现讨论以下两种相对平衡 。
一, 直线等加速器皿中液体的相对平衡
如后图, 盛有液体的容器在与水平面成 α 角的斜
面由上向下作匀加速直线运动, 加速度为 a。 当 α 为零
时, 显然液面为水平面 。 设 加速度为 a时液面 与 水 平面
成 β 角倾斜 。 设定 xoz坐标, 坐标原点取在自由液面的
2012-3-21 24
中点。相对于此运动坐标系来说，单位质量液体所受的
质量力有两个：一是垂直向下的单位质量重力,另一
是与加速度反向的单位质量惯性力 。单位质量力的
三个坐标方向上的分量
由等压面方程
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x
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有
将上式积分可得匀加速直线运动时的等压面方程
这是一族平行平面，它们对水平面的倾角
显然, 自由表面还是等压面, 自由表面上的 z坐标用 zs
表示, 按自由表面的边界条件 x=0,z=0,定出积分常数
c=0,故自由表面方程应是
? ? 0s inc o s ??? dzgadxa ??
? ? 0s i nc o s ?????? cgazax ＋??
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c o s11
ag
atg
dx
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或
直线匀加速的相对平衡液体的压强分布规律依然可由等
压面微分方程
积分得出
积分常数可由边界条件 x=0,z=0处 p=p0得出
于是
为计压点在倾斜自由液面下的淹没深度。
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0
0
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????
?????
ss hzz ??
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例题,容器内盛有液体垂直向下作 a＝ 4.9035m/s2的加
速运动, 试求此时的自由表面方程和液体的压强分布规
律 。
解：自由表面方程由 得出
现, 说明自由表面依然是水平面 。
压强分布规律则由
可得出, 现由于, 并在
本情况中, 故
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0090c o s90 ??? sz，＝，＝?
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190s in9000 ?????,＝,?app
hhs ?
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2
1
2
1 ????
2012-3-21 28
二、等角速旋转器皿中液体的相对平衡
如图, 盛有液体的直立圆柱筒绕其中心轴以等角速
度 ω 旋转, 由于液体的粘性, 使筒内液体都以等角速度
ω 旋转, 此时液体的自由表面已由平面变为旋转抛物面 。
下面推导这种以等角速度旋转的相对平衡情况的等压面
方程和压强分布规律 。
取与筒一起等角速旋转的运动
坐标系, z轴垂直向上, 坐标原点
取在新自由表面旋转抛物面的顶点
上 。 此时流体所受的质量力亦是两
个：一是重力, 铅垂向下；另一是
离心惯性力, 与 r轴方向一致 。
2012-3-21 29
单位质量力在直角坐标轴上的三个分量
代入欧拉平衡微分方程综合式
积分得
?
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2
1
2
1
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由 x=0,y=0,z=0处 p=p0得 c=p0，代入上式整理得
这就是等角速旋转的直立容器中，液体相对平衡时压强
分布的一般表达式。
自由表面是一个等压面,p=p0=pa=0，并将新自由表
面的 z坐标用 zs表示，则自由表面方程为
设 p为任一常数 c1，可得各等压面方程为
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2
22
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可见，等压面族是一组以圆筒为中心轴为旋转轴的旋
转抛物面。
2
22
2
c
g
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?
第二章 流体静力学
§ 2.1 流体静压强及其特性
§ 2.2 流体平衡微分方程
§ 2.3 流体静力学基本方程
§ 2.4 静止液体作用于壁面的总压力
§ 2.5 液体的相对平衡
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§ 2.1 流体静压强及其特性
流体静力学的主要任务,
根据诸作用力的平衡关系研究流体处于静止或相对
静止时的力学规律及其在工程技术上的应用。
一,流体静压强的概念
静止流体作用在与之接触的表面上的压强。
二,流体静压强的两个重要特性
1、流体静压强的方向沿作用面的内法线方向。
2、静止流体中任一点处的静压强大小与其作用面的方位
无关。
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§ 2.2 流体平衡微分方程
在静止流体中任取一微元六面体, 其边长分别为 dx，
dy,dz,坐标的选取如下图 。
分析 x方向的受力平衡情况：作用于微元体上的质量
力在 x方向的投影为, 设六面体形心处的静压
强为 p,则作用在左面 ABCD上的总压力为
作用在右面 EFGH上的总压力为
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dx dydzf x?
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因此作用在该微元体 x方向的表面力为,
建立 x方向受力平衡关系式
上式除以微元体质量,得,
同理从 y,z方向建立受力平衡关系式有,
（ 1）
dx dy dz
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上式即为静止流体平衡微分方程，也称欧拉平衡微
分方程。
将（ 1）中三个方程交叉求导得：（不可压缩均质
流体 ）
（ 2）
（ 2）式表明存在势函数 W（ x,y,z）满足,
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将（ 1）式中三个方程分别乘以 dx,dy,dz再相加得,
所以,
（ 3）
这就是流体平衡压强分布规律的基本微分关系式。由
（ 3）式可以看出静止流体的一些特性,
等压面也是等势面。
等压面与质量力正交。
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§ 2.3 流体静力学基本方程
一, 质量力只有重力时静力学基本方程
在实际应用中, 作用在平衡流体上的质量力常常只
有重力, 以下就讨论重力场中静止流体的压强分布规律 。
对静止流体, 因,
由 （ 3） 式有
时, 将上式积分得,（ 4）
对于静止流体中任意两点, 有
（ 5）
（ 4） （ 5） 两式均为不可压缩流体静力学基本方程 。
gfff zyx ????,,00
dzg d zdp ?? ????
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其中 和 均具有长度量纲, 表示某点所在的位置
距基准面的垂直高度称为位置水头, 称为压力水头,
称为测压管水头 。 由静力学基本方程
可以看出静止流体中各点位置水头和压力水头可以相互
转换, 但各点测压管水头相等并为一水平线, 如图 1,2
两点的测压管液位在同一位置高度 。
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cpz ＝＋ ?
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二、绝对压强、相对压强、真空值
绝对压强, 以绝对真空状态的压强为零点计量的压
强值 。
相对压强, 以当地大气压作为零点计量的压强值 。
真空值, 以当地大气压作为零点计量的小于大气压的
数值 。
从上面定义可知：绝对压强的数值只可能为正, 而相对
压强的数值则可正可负 。 如右
图, 三者的关系可表达为,
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§ 2.4 静止流体作用于壁面的总压力
在设计各种阀, 挡水闸, 堤坝, 容器和校核管道强度
时, 会遇到静止流体对固体壁面的总压力计算问题, 包
括平面壁和曲面壁的总压力计算 。
一, 作用于平面壁上的总压力
1,确定总压力的方向,
由流体静压强特性知：总压力方向垂直指向受压面 。
2,确定平面壁上所受的总压力大小,
如图, 一块任意形状的平板 ab斜放在液体中某一位
置, 首先选取直角坐标系 oxy,沿 ab取为 oy轴, oxy平面
与水面的交线取为 ox轴 。 为方便起见, 将 oxy坐标平面连
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同平板 绕坐标原点 o旋转 90o如下图所示 。 平板面积为 A，
形心为 C,作用点为 D（ 常称压力中心 ）, 平板斜置的倾
角为 α, 左侧受水压力, C点液下深度为 hc,D点液下深
度为 hD。 在平板上任取一微元面积 dA,dA中心在水下的
深度为 h,
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上述水深与坐标平面的坐标值间有如下关系,
设 dA上承受的压力为 p，则此微元面积上的总压力为
因平板上各点的水压力属平行力系，可以直接积分。
其中 是面积 A对 x轴的静面矩，应等于
所以上式为,（ 6）
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
s in
s in
s in
DD
CC
yh
yh
yh
dAyh d Ap d AdP ??? s i n???
?? ?? A y d AdPP ?? s in
ApAhAyP ccc ??? ??? s in
?A ydA Ayc ?
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（ 6） 式即为作用于平面壁上总压力大小计算公式 。
总压力大小等于平板形心处压强 PC与平面壁受压面积 A
的乘积 。
3,确定总压力的作用点,
假设受压面是轴对称面 （ 此轴与 oy轴平行 ）, 则总
压力的作用点必位于此对称轴上 。 所以, 这里只需确
定 yD的值即可确定总压力的作用点 。
由理论力学中的合力矩定理, 有,
其中 为受压面积对 ox轴的惯性矩, 用 表示 。
根据惯性矩平行移轴定理有,
? ? dAydAyyy d PyP AAD ??? ???? 2s i ns i n ????
dAyA? 2 xJ
AyJJ ccxx 2??＝
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其中 为该受压面对通过它的形心并与 x轴平行的轴
的惯性矩 。 于是有
即,（ 7）
因, 故, 即压力中心 D点一般在形
心 C点的下面 。
在工程实际中, 受压面多为以 y轴为对称轴的轴对
称面, yD算出后, 压力中心 D的位置就完全确定 。 若受
压面不是轴对称面, 则确定 yD后 尙 需确定 xD,可类似上
述 yD的推导来推出 xD。
cxJ?
Ay
AyJ
Ay
J
Ay
J
P
Jy
c
ccx
c
x
c
xx
D
2
s i n
s i ns i n ????? ?
??
????
Ay
Jyy
c
cx
cD
???
0?? AyJ ccx cD yy ?
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例题,如图, 涵洞进口装有一圆形平板闸门, 闸门平面
与水平面成 60o,铰接于 B点并可绕 B点转动, 门的直径
d=1m,门的中心位于上游水面下 4m,门重 G=980N。 当门
后无水时, 求从 A处将门吊起所需的力 T。
解：闸门所受水的总压力
P=γhcAx=9.8 × 4× π × 0.5× 0.5× sin60o=26.66kN
?
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压力中心 D到 B的距离
B到 T的垂直距离
B到 G的垂直距离
根据理论力学平衡理论
? ?
m
H
d
Y
AY
J
YL
c
c
c
c
c
51.0
5.0
5.0
60s in
4
5.0
2
2
4
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
mdx 5.060c o s ????
mdy 25.060c o s
2
????
kN
x
GyPL
T
TxGyPLM A
9.27
0
?
?
?
?????
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二,作用在曲面壁上的力
工程中承受流体压力作用的曲面常为二向曲面 。 因
此, 现以二向曲面为例求其总压力 。 如图, ab为承受液
体压力的圆柱曲面即二向曲面, 其面积为 A。 自由液面
通大气, 即自由液面相对压强为零 。 在曲面 ab上任取一
微元面积 dA,它的液下水深为 h,液体作用在微元面积
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dA上的总压力为 dP。
由于曲面壁上不同微元面积上的作用力的方向不同,
因此求总压力时不能直接在曲面壁上积分 。 常将 dP进
行分解, 再积分 。 将 dP分解为水平和垂直的两个分量
dPx,dPz,然后分别在整个面积 A上求积分, 得 Px,Pz。
一, 总压力的水平分力 Px
式中,Ax为面积 A在 yoz平面的投影, 为面积 Ax对
oy轴的静面矩, 所以
则 （ 8）
g h d AdP ??
???? ???? A xAAA xx hdAghdAgdPdPP ???? c o sc o s
?A xhdA
xcA x Ahh d A ＝?
xcx AghP ??
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（ 8）式即为流体作用在曲面壁上的总压力水平分
力公式。此式说明水平分力等于液体作用在曲面投影
面积 Ax上的总压力。
二、总压力的垂直分力 Pz
式中 Az为面积 A在自由液面 xoy平面或其延伸面上的投影
面积。 为以曲面 ab为底，投影面积 Az为顶以及曲
面周边各点向上投影的所有垂直母线所包围的一个空
间体积称为压力体积，以 V表示。
则 （ 9）
?A zhdA
???? ???? A zAAA zz hdAghdAgdPdPP ???? s i ns i n
gVPz ??
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上式说明作用在曲面上总压力的垂直分力等于压力体
的液重, 它的作用线通过压力体的重心 。 如果压力体
与受压面同侧称为实压力体, 垂直分力向下, 如下图 a
所示 。 如果压力体与受压面异侧称为虚压力体, 垂直
分力向上, 如下图 b所示 。
流体作用在曲面上的总压力
是水平分力与垂直分力的合力 。
大小为,
总压力与 x轴之间夹角的正切为,
z
x
P
Par ctg??
22
zx PPP ??
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例题,如图为一溢流坝上的弧形闸门。已知,R=8m，门
宽 b=4m,α=30 o，试求：作用在该弧形闸门上的静水总
压力。
O
?
解：闸门所受的水平分力为 Px，方向向右
即,
kN
RbR
AHP
xcx
8.940
s i ns i n
2
1
48.9
?
????
?
?
?
?
?
????
?
??
?
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闸门所受的垂直分力为 Pz，方向向上
闸门所受水的总压力
总压力的方向
? ?
kN
RRRR
R
b
VP
z
7.281
c o s4s i nc o s
2
1
360
30
8.9
2
?
??
?
?
??
?
?
????????
?
???
?
???
?
?
kNPPP zx 9 8 222 ???
??? 17a r c t a n
x
z
P
P?
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§ 2.5 液体的相对平衡
下面以流体平衡微分方程式为基础, 讨论质量力除
重力外, 还有牵连惯性力同时作用的液体平衡规律 。
在这种情况下, 液体相对于地球虽然是运动的, 但液
体质点之间, 质点与器壁之间都没有相对运动, 所以
这种运动称为相对平衡 。 现讨论以下两种相对平衡 。
一, 直线等加速器皿中液体的相对平衡
如后图, 盛有液体的容器在与水平面成 α 角的斜
面由上向下作匀加速直线运动, 加速度为 a。 当 α 为零
时, 显然液面为水平面 。 设 加速度为 a时液面 与 水 平面
成 β 角倾斜 。 设定 xoz坐标, 坐标原点取在自由液面的
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中点。相对于此运动坐标系来说，单位质量液体所受的
质量力有两个：一是垂直向下的单位质量重力,另一
是与加速度反向的单位质量惯性力 。单位质量力的
三个坐标方向上的分量
由等压面方程
a??
?
?
?
?
?
??
?
?
gaf
f
af
z
y
x
?
?
s in
0
c os
g?
? ?dzfdyfdxf
dp
zyx ???
?
?
0
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有
将上式积分可得匀加速直线运动时的等压面方程
这是一族平行平面，它们对水平面的倾角
显然, 自由表面还是等压面, 自由表面上的 z坐标用 zs
表示, 按自由表面的边界条件 x=0,z=0,定出积分常数
c=0,故自由表面方程应是
? ? 0s inc o s ??? dzgadxa ??
? ? 0s i nc o s ?????? cgazax ＋??
?
??
s in
c o s11
ag
atg
dx
dztg
?
?? ??
? ? 0s i nc o s ???? gazax s ??
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或
直线匀加速的相对平衡液体的压强分布规律依然可由等
压面微分方程
积分得出
积分常数可由边界条件 x=0,z=0处 p=p0得出
于是
为计压点在倾斜自由液面下的淹没深度。
?
?
s in
c o s
ag
a
xz s
?
??
? ?? ?dzgadxadp ??? ??? s i nc o s
? ?? ? cgazaxp ????? ??? s i nc o s
0pc ?
? ?? ?
? ?? ?
? ?
s
s
hagp
zzagp
gazaxpp
??
??
???
s i n
s i n
s i nc o s
0
0
0
???
????
?????
ss hzz ??
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例题,容器内盛有液体垂直向下作 a＝ 4.9035m/s2的加
速运动, 试求此时的自由表面方程和液体的压强分布规
律 。
解：自由表面方程由 得出
现, 说明自由表面依然是水平面 。
压强分布规律则由
可得出, 现由于, 并在
本情况中, 故
?
?
s in
c o s
ag
axz
s ???
0090c o s90 ??? sz，＝，＝?
? ? shagpp ?? s i n0 ???
190s in9000 ?????,＝,?app
hhs ?
? ? hghhagp ???
2
1
2
1 ????
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二、等角速旋转器皿中液体的相对平衡
如图, 盛有液体的直立圆柱筒绕其中心轴以等角速
度 ω 旋转, 由于液体的粘性, 使筒内液体都以等角速度
ω 旋转, 此时液体的自由表面已由平面变为旋转抛物面 。
下面推导这种以等角速度旋转的相对平衡情况的等压面
方程和压强分布规律 。
取与筒一起等角速旋转的运动
坐标系, z轴垂直向上, 坐标原点
取在新自由表面旋转抛物面的顶点
上 。 此时流体所受的质量力亦是两
个：一是重力, 铅垂向下；另一是
离心惯性力, 与 r轴方向一致 。
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单位质量力在直角坐标轴上的三个分量
代入欧拉平衡微分方程综合式
积分得
?
?
?
?
?
??
?
?
gf
yf
xf
z
y
x
2
2
?
?
? ?g d zy d yx d xdp ??? 22 ???
? ? cgzr
cgzyxp
???
??
?
?
?
?
?
???
??
?
???
22
2222
2
2
1
2
1
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由 x=0,y=0,z=0处 p=p0得 c=p0，代入上式整理得
这就是等角速旋转的直立容器中，液体相对平衡时压强
分布的一般表达式。
自由表面是一个等压面,p=p0=pa=0，并将新自由表
面的 z坐标用 zs表示，则自由表面方程为
设 p为任一常数 c1，可得各等压面方程为
??
?
?
??
?
?
??? z
g
r
pp
2
22
0
?
?
g
r
z s
2
22?
?
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可见，等压面族是一组以圆筒为中心轴为旋转轴的旋
转抛物面。
2
22
2
c
g
r
z s ??
?
