第六章 理想流体动力学
实际流体都有粘性, 在流体力学研究中, 为了简
化问题, 引进了理想流体这一假设的流体模型, 理想
流体的粘度为 0。 在 实际分析中, 如果流体粘度很小,
且质点间的相对速度又不大时, 粘性应力是很小的,
把这类流体看成是理想流体 。 理想流体一般不存在热
传导和扩散效应 。
理想流体除了对研究流体运动规律具有理论意义,
而且对解决某些工程实际问题具有指导意义 。 本章将
对理想流体运动作较为详细的探讨 。
第一节 平面势流
平面流动是指对任一时刻, 流场中各点的速度都
平行于某一固定平面的流动, 并且流场中物理量 （ 如
温度, 速度, 压力, 密度等 ） 在流动平面的垂直方向
上没有变化 。 即所有决定运动的函数仅与两个坐标及
时间有关 。
在实际流动中, 并不存在严格意义上的平面流动,
而只是一种近似 。 如果流动的物理量在某一个方向的
变化相对其他方向上的变化可以忽略, 而且在此方向
上的速度很小时, 就可简化为平面流动问题处理 。
（ 图 1）
后面讨论的都是平面势流, 势流 （ 有势流动 ） 就
是无旋流动, 其流场中每个流体微团不发生旋转, 角
速度
0??
图 1 绕 冀 型的 流动
第二节 速度势函数和
流函数
一 速度势函数
有势流动 （ 无旋流动 ） 流体微团角速度, 或
得到
所以
上式成立, 意味着在流动空间构成一个函数, 满足 全微
分的充分必要条件, 用 Φ(x,y,z,t)表示, 该函数的全微分
为,
(1)
0??
0???? kji zyx ????
0)(21 ??????? zvyv yzx? 0)(21 ??????? xvzv zxy? 0)(21 ??????? yvxv xyz?
z
v
y
v yz
?
??
?
?
x
v
z
v zx
?
??
?
?
y
v
x
v xy
?
??
?
?
dzvdyvdxvd zyx ????
定常流动，不考虑
t的影响,t是参变
量
全微分存在的充分必要条件,
若 u=f(x,y,z,t)的各偏导数都存在且
连续, 则有
dttudzzudyyudxxudu ????????????
Φ函数的全微分 （ 2）
比较 （ 1） 和 （ 2） 式, 得到
（ 3）
定义函数 Φ(x,y,z,t)称为 势函数,由 Φ可计算得到速度,
根据伯努利方程得到流场中压强的分布。
dzzdyydxxd ?????????????
xvx ??
??
yvy ??
??
zvz ??
??
速度势函数的特性
1 势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影
2 存在势函数的流动一定是无旋流动
3 等势面与流线正交
4 不可压缩流体中势函数是调和函数
特性 1
空间曲线 s上任取一点 M(x,y,z),M点处流体质点速度分
量为 vx,vy,vz,取速度势函数的方向导数
其中：,,
而,,
则
速度的分量 vx,vy,vz分别在曲线 s的切线上的投影之和
等于速度矢量本身的投影 vs。
速度势函数沿任意方向取偏导数的值等于该方向上的速
度分量 。
ds
dz
zds
dy
yds
dx
xs ?
???
?
???
?
???
?
??
xvx ??
?? yvy ????
zvz ??
??
),cos( xsdsdx ? ),cos( ysdsdy ? ),cos( zsdsdz ?
szyx vzsvysvxsvs ?????
?? ),c o s (),c o s (),c o s (
特性 2
设对某一流动, 存在势函数 Φ(x,y,z,t), 流动的角
速度分量
类似的推出
可见, 流场存在速度势函数则流动无旋, 因此流动无旋
的充分必要条件势流场有速度势函数存在 。
0)]()([21)(21 ??????????????????? yzzyzvyv yzx?
0?? zy ??
特性 3
等势面,在任意瞬时 t0,速度势函数取同一值的点构
成流动空间一个连续曲面, Φ(x,y,z,t0)=常数 。
在等势面上取一点 O,并在该面上过 O任取一微元矢
量, 求 与点 O处速度 的标量积 。
因为 Φ(x,y,z,t0)=C, 所以 dΦ=0
得到
这说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的,
又因为速度矢量与流线方向一致，推出流线与等势面垂
直。
kdzjdyidxLd ??? Ld v
??
?
??
?
?
??
?
?
??
????
???????
d
dz
z
dy
y
dx
x
dzvdyvdxv
)kdzjdyidx()kvjviv(Ldv
zyx
zyx
0?? Ldv
特性 4
不可压缩流体的连续性方程为
对于有势流动,,
即, 满足 Laplace方程 。 而满足 Laplace方程的函数
就叫做调和函数
0????????? zvyvxv zyx
xvx ??
??
yvy ??
??
zvz ??
??
0222222 ?? ???? ???? ?? zyx
02 ???
二 流函数
在平面流动中, 不可压缩流动的连续性方程为
或写成 （ 4）
（ 4） 是 –vydx+vxdy 成为某一函数 Ψ（ x,y,t） 全微分
的充分必要条件, 即
（ 5）
Ψ的全微分为
（ 6）
比较 （ 5） 和 （ 6）, 得到
,
符合上式条件的函数 Ψ（ x,y,t） 叫做二维不可压缩流
场的流函数。
0?????? yvxv yx )v(yxv yx ??????
dyvdxvd xy ???? )(
dyydxxd ?????????
yvx ???
??
xvy ??
??
流函数的特性
1,沿同一流线流函数值为常数
2,平面流动中通过两条流线间单位厚度的流量等于两条
流线上的流函数的差值
3,在有势流动中流函数也是一调和函数
特性 1
s为坐标系 XOY的任意一条流线,
在 s上任取一点作速度矢量, 与
流线相切, 该点的微元流线段在
x,y轴上的投影为 dx,dy,速度
在 x,y轴上的投影为 vx,vy
或
由, 得到
在流线 s上, Ψ的增量 dΨ为 0,说明沿流线 Ψ（ x,y,t） 为常数,
而流函数的等值线, 即 Ψ（ x,y,t） =C就是流线 。 因此, 找到流函
数后, 可以知道流场中各点速度, 还可以画出流线 。
y
x
v
v
dy
dx? 0??? dyvdxv
xy
yvx ???
??
xvy ??
?? 0???
?
???
?
?? ddy
ydxx
特性 2
设 Ψ1,Ψ2是两条相邻流线, 作其间一曲线 AB,求通
过 AB两点间单位厚度的流量 。 (见下图 ）
在 AB上作微元线段,过微元线段处的速度为,
,单位厚度的流量 dq应为通过 dx的流量 vydx和通
过 dy的流量 vxdy之和,
（ vy<0 ）
沿 AB线段积分,
由于沿流线流函数为常数, 因此
jdyidxsd ??
jvivv yx ??
???????????? ddxxdyydxvdyvdq yx
?? ??????? BA ABBA ddqq
12 ????q
特性 3
对平面势流 有
将, 代入上式得到
即,满足 Laplace方程。所以在平面势流中流函
数也是调和函数。
0)(21 ??????? zvyv yzx?
z
v
y
v yz
?
??
?
?
yvx ???
??
xvy ??
?? 022 ?
?
???
?
??
yx
02 ???
s
三 流函数和势函数的关系
在平面势流中有
,
,
交叉相乘得
说明等势线族 Φ(x,y,z,t)=C1与流函数族 Ψ(x,y,z,t)=C2
相互正交 。
在平面势流中，流线族和等势线族组成正交网格，称
为 流网 。
xvx ?
???
yvy ?
???
yvx ?
???
xvy ?????
0?????????????? yyxx
极坐标 (r,θ)中, 径向的微元线段是 dr,圆周的微元线
段是 rdθ,速度势函数 Φ(r,θ,t)与 vr,vθ的关系是
,
速度流函数 Ψ(r,θ,t)与 vr,vθ的关系是,
速度势函数和流函数的关系是
,
rvr ??
??
?? vr ??
??
rvr ??
??
??vr ??
???
rvrr ??
???
?
??
? ?? vrr ??
????
?
??
例 1
有一个速度大小为 v( 定值 ),沿 x 轴方向的均匀流动，求
它的速度势函数。
解,首先判断流动是否有势
0)(
2
1
?
?
?
?
?
?
?
z
v
y
v
y
z
x
?
0)(
2
1
?
?
?
?
?
?
?
x
v
z
v
zx
y
?
0)(
2
1
?
?
?
?
?
?
?
y
v
x
v
x
y
z
?
流动无旋，为有势流动。
由 dzvdyvdxvd
zyx
???? 得到
v d xd ??
积分得
Cvx ???
因常数 C 对 Φ 所代表的流场无影响，令 C=0,
最后速度势函数为
vx??
例 2
平面不可压缩流体速度势函数 )3(
22
yxax ???, a < 0,试确定
流速及流函数，并求通过连接 A ( 0,0 ) 和 B ( 1,1 ) 两点的连
线的直线段的流体流量。
解,因
)33(
22
yxa
yx
v
x
??
?
??
?
?
??
?
a x y
xy
v
y
6??
?
??
??
?
??
?
dyyxaa x y d xdyvdxvdy
y
dx
x
d
xy
)33(6
22
??????
?
??
?
?
??
??
积分
Cayyax
dyyxaa x y d xdyvdxvdy
y
dx
x
d
xy
???
??????
?
??
?
?
??
????
????
32
22
3
)33(6
流函数为
32
3 ayyax ???
在点 A(0,0),
0??
A,在点 B(1,1),
a
B
2??
过连接 A ( 0,0 ) 和 B ( 1,1 ) 两点的连线的直线段的流体流量
为
a
BA
2?????
例 3
某定常平面流动
axv
x
?
，
ayv
y
??
,a 为常数。求这一流动的流函数
和势函数，并绘制流网。
解,首先检验流动是否存在，即是否满足平面流动的连续性方
程
0???
?
?
?
?
?
aa
y
v
x
v
y
x
可见满足连续性方程，存在流函数。求流函数,
a x d ya y d xdyvdxvdy
y
dx
x
d
xy
?????
?
??
?
?
??
??
积分
Ca x y
a x d ya y d xdyvdxvdy
y
dx
x
d
xy
??
?????
?
??
?
?
??
????
????
令 0??,得到流线方程
Cxy ?
再求速度势函数，先判断流动是否有势
0)(
2
1
?
?
?
?
?
?
?
z
v
y
v
y
z
x
?
可见，流动无旋，存在势函数。
Cyx
a
a y d ya x d xdyvdxvdy
y
dx
x
d
yx
???
????
?
??
?
?
??
????
????
)(
2
22
令 0??,得到流线方程
Cyx ??
22
最后画流网
流线是一族以 x轴和 y轴为渐近线的双曲线, 等势线是以
直角平分线为渐近线的双曲线族 。
将 x轴看成是固壁, 并且只观察上半平面, 则流动沿 y轴
垂直的自上而下流向固壁, 然后在原点处分开, 流向两
侧 。
第三节 复势与复速度
对于不可压缩理想流体的平面无旋运动, 同时存在速
度势函数 Φ 和流函数 Ψ, 它们同为调和函数, 满足 L a p l a c e
方程, 即
0
2
2
2
2
?
?
??
?
?
??
yx
0
2
2
2
2
?
?
??
?
?
??
yx
同时速度势函数 Φ 和流函数 Ψ 还存在关系
yx
v
x
?
??
?
?
??
?
xy
v
y
?
??
??
?
??
?
推出速度势函数 Φ 和流函数 Ψ 是互为共轭的调和函数 。
把平面势流的 速度势函数 Φ 作为某一复变函数的实
部, 把 流 函 数 Ψ 作为虚部, 构 成 的 复 变 函 数 为
)()( zfizW ?????
( z = x + i y ), W(z) 叫做平面势流的 复势 。
若已知一平面势流的复势, 可求出流场中任意点的
速度 。 将复势对复变量求导
Vivv
y
i
yx
i
x
zf
dz
dW
yx
???
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?? )(
'
V 称为平面势流的 复速度, 实部是流速在 x 轴上的分量,
虚部是流速在 y 轴分量的负值 。 复速度的模 等于流体速
度的绝对值, 即
vvv
dz
dW
V
yx
?????
22
)(
根据复数的表示方法，复速度也可以表示为
?
??
i
evivV
?
??? )si n( co s
W 的共轭复变数为
)()( zfiyxfiW ???????
，则其复速度
为
yx
ivv
x
i
x
zd
Wd
??
?
??
?
?
??
?
，与前者关于实轴对称。
2
22
))(( vvvivvivv
zd
Wd
dz
dW
yxyxyx
???????
可以根据共轭复变数的运算方法求出流场中某一点的速
度 v 来。
?
??
ire
ir
iyxz
?
??
??
)s in(c o s
图 1 复速度的几何表示
例题
平面不可压缩流体流函数 )l n (
22
yx ???,试确定该流动的
复势函数 W （ z ）
解：首先通过流函数Ψ求速度势函数Φ
22
2
yx
y
y
v
x
?
?
?
??
?
22
2
yx
x
x
v
y
?
??
?
??
??
???
???
?
?
?
?????? )l n ()(
22
22
2222
yxxydy
yx
x
dx
yx
y
dyvdxvd
yx
流动的复势函数为
)l n ()l n ()()(
2222
yxiyxxyizW ?????????
第四节 几种基本的
平面势流
一 均匀流
二 点源和点汇
三 点涡
一 均匀流
定义, 流体作等速直线运动, 流体中各点速度的大小
和方向都相同的流动称为均匀流 。
设均匀流的速度为 ?
v
,与 x 轴平行, 那么
?
?
?
??
?
?
??
? v
yx
v
x
0?
?
??
??
?
??
?
xy
v
y
求速度势函数, ? ??
????????
??
cxvdxvdyvdxvd
yx
令 c=0,
xv
?
??
求流函数 ? ??
?????????
??
cyvdyvdyvdxvd
xy
令 c=0,
yv
?
??
均匀流的 等势线是一族平行于 y 轴的直线, 流线为一
族平行于 x 轴的直线,如取
?????
,则其流网是正方形网格,
均匀流的复势为
zviyxvyivxviW
????
????????? )(
图 2 均匀流示意图
二 点源和点汇
点源：流体从某点向四周呈直线均匀径向流出的流
动,这个点称为 源点 。
点汇：流体从四周往某点呈直线均匀径向流入的流
动,这个点称为 汇点 。
设源点或汇点位于坐标原点，从源点流出或向汇点
流入的流体速度只有径向速度 r
v
，而无切向速度
?
v
,
通过半径为 r 的单位长度圆柱面流出或流入的流量为
qrr v
r
??? 12 ?
得到
r
q
v
r
?2
??
注,q 是点源或点汇的强度，对于点源,r
v
与
r
同向，
q 前取正号；对于点汇，
r
v
与
r
异向,q 前取负号。
求点源或点汇的速度势函数和流函数
r
q
rr
v
r
?? 2
??
?
??
?
?
??
?
0?
?
??
??
?
??
?
rr
v
?
?
dr
r
q
drvdrvd
r
?
?
?
2
?????
?
?
?
?
d
q
drvdrvd
r
2
??????
对上面两式积分，并令积分常数等于零，得到,
r
q
ln
2 ?
???
?
?2
q
???
等势线是半径不同的圆，流线是通过原点极角不同的射
线。
注：当 r = 0 时，速度势函数和速度
r
v
无穷大，源点和汇
点是流动的奇点，因此，速度势函数和速度
r
v
只有在源
点或汇点以外才有意义。
图 3a 点源 图 3b 点汇
?
?
irln
)rel n (
)iyxl n (zln
i
??
?
??
点源和点汇的复势,
)(
2
)( l n
22
ln
2
?
?
?
???
i
re
q
ir
qq
ir
q
iW ????????????
或
z
q
W ln
2 ?
??
若源点和汇点的位置不在原点，而在 0
z
点，其复势应
为
)l n (
2
0
zz
q
W ???
?
三 点涡
定义：流体质点沿着同心圆的轨迹运动, 且其速度
大小与向径 r成反比的流动 。 又被称为 自由涡 。
将坐标原点置于点涡处, 设点涡的强度为, 则任一
半径 r处流体的速度可由 stokes定理得到,那么
而
求点涡的速度势函数和流函数
对上面两式积分, 并令积分常数等于零, 得到,
等势线是 的线, 流线是以坐标原点为圆心的同心
圆 。 点涡的复势是
或
常数??? ??rv2
rv ?? 2
?? 0?
rv
0????????? ?rrv r rrrv ??? 2???????????
???? drdrvdrvd r 2????? drrdrvdrvd r ??? 2 ???????
??2??? rln2?????
常数??
)(2)( l n2ln22 ??????? ireiiririiW ?????????????
ziW ln2???
图 4 点涡示意图
第五节 势流的叠加
势流叠加原理
有两个流动, 它们的速度分布函数, 速度势函数, 流函
数, 复势函数分别为, Φ1, Ψ 1, W1和, Φ2,
Ψ 2, W2, 由于和都满足线性 Laplace方程, 可以将和分
别进行叠加 。 将两流动合起来的复合流动, 其相应量分
别为, Φ, Ψ, W,存在以下关系,
因此
1v 2v
v
21 ?????
21 ?????
21 WWW ??
xxx vvxxxv 21
21 ??
?
???
?
???
?
???
yyy vvyyyv 21
21 ??
?
???
?
???
?
???
21 vvv ??
流动变成 n个, 同样将 n个流动叠加, 复合流动的相应量
定义：叠加多个流动时, 所得合成流动的复势即为分流
动的复势的代数和, 此即 势流的叠加原理 。
n??????? ?21
n??????? ?21
nWWWW ???? 21
nvvvv ???? 21
一 螺旋流 — 点汇（源） +点涡
流动形式为流体自外沿圆周切向进入, 又从中间不断
流出 。
点汇的复势为
点涡的复势为
将两者叠加后得到的新流动的复势为
得到新流动的速度势函数和流函数的表达式为
令上式等于常数, 可以得到
等势线方程
流线方程
zqW ln2???点汇
ziW ln2???点涡
)( l n2ln2ln2ln2 ????? iriqziqzizqWWW ??????????????? 点涡点汇
)ln(21 ?? ????? rq )ln(21 rq ????? ??
?qeCr ??
1
???? qeCr
1
等势线和流线为相互正
交的对数螺旋线簇，称
为螺旋流。
点汇 +点涡 → 阴螺旋流
点源 +点涡 → 阳螺旋流
图 5 螺旋流示意图
二 偶极子流 — 点源 +点汇
将源点设于 A点 （ -a,0）, 汇点于 B点 （ a,0）, 强度
都为 q,
点源的复势为
点汇的复势为
将点源和点汇叠加后的新流动的复势为
若源点和汇点无限接近, 即,如果强度不变时, 汇点
将源中流出的流体全部吸掉而不发生任何流动 。
)ln (2 azqW ?? ?点源
)ln (2 azqW ??? ?点汇
)]ln (2)[ ln (2 azqazqWWW ?????? ??点源点汇
02 ?a
若在 2a逐渐缩小时, 强度 q逐渐增强, 当 2a减小
到零时, q应增加到无穷大, 以使 保持一个有限
值, 即, 在这一极限状态下的流动称为偶
极子流, M是偶极矩, 方向从点源到点汇 。
偶极子流的复势为
或
新流动的速度势函数和流函数分别为
Maq?2
)()2(lim 02 常数Maq
q a
?
???
z
M
z
dz
dM
a
azazaq
azaz
q
W
q
a
q
a
??
??
2
)( l n
2
]
2
)l n ()l n (
[
2
2
lim)]l n ()[ l n (
2
lim
0202
??
???
?????
??
?
??
?
)s in( c o s2 12 1 ???? ? irMreMW i ???
?? cos2 rM?? ?? sin2 rM???
求等势线方程和流线方程
1,等势线方程
由于, 有
得到
整理后 等势线方程为
表示一族圆心在 x轴上, 并与 y轴在原点相切的圆
2,流线方程
由于, 有
得到
整理后得流线方程为
表示一族圆心在 y轴上, 并与 y轴在原点处相切的圆 。
CrM ??? ?? c o s2
r
x??cos C
yx
xM
r
Mx ?
???? 222 22 ??
1
22 2
1
Cyx
x ?
?
21221 ) CyCx ???（
CrM ???? ?? s in2
r
y??sin C
yx
yM
r
My ?
?????? 222 22 ??
2
22 2
1
Cyx
y ?
?
22222 )( CCyx ???
图 6 偶极子流示意图
第六节 圆柱体绕流
设有一速度为 的均匀流, 从与圆柱体垂直的方向
绕过一半径为 r0的无限长圆柱体, 这样的流动看成是平
面流动 。
均匀流绕过圆柱体时, 由于受到圆柱的阻挡, 绕过
柱体附近的流体质点受到扰动, 偏离原来的直线路径,
而离柱体越远, 扰动越小, 在无穷远的地方, 完全不受
扰动, 作均匀流动 。
圆柱体绕流可以分为两种情况 。
一 圆柱体无环量绕流
二 圆柱体有环量绕流
?v
图 7 绕无穷长圆柱的流动
一 圆柱体无环量绕流
由均匀流和偶极子流叠加而成的平面流动 。
1,势函数和流函数
均匀流和偶极子流的复势分别为
根据势流叠加原理, 均匀流和偶极子流叠加形成的新流
动的复势为
那么速度势函数和流函数分别为
(1)
)s in( c o s)(1 ??? irvreviyxvzvW i ?????? ????
)s in( c o s2222 ????? ? irMerMzMW i ???? ?
?
?
?
?
??
?
??
s in)
2
(c os)
2
(
)s in( c os
2
)s in( c os
22
21
r
r
M
vir
r
M
v
i
r
M
irvWW
????
?????
??
?
?? c o s2 2 rrMv ?????? ??? ? ?? s in2 2 rrMv ?????? ??? ?
代入
得到直角坐标下的速度势函数和流函数
（ 2）
令, 即
得到零流线方程为
零流线是一个以坐标原点为圆心, 半径 的圆周
和 x轴, 零流线到 A处分成两股, 沿上下两个半圆周流到
B点, 又重新汇合 。
将 代入方程 （ 1） 中, 那么均匀流绕过圆柱体无
环量绕流的势函数和流函数可以写成
（ ） （ 3）
222 yx
xMxv
???? ? ? 222 yx yMyv ???? ? ?
222 yxr ??
r
x??cos
r
y??sin
0?? 0
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图 8 均匀流绕过圆柱体无环量的流动
12,速度分布
流场中任意一点 P（ x,y） 的速度分量为
（ 4）
在 或 处,,, 这说明在无穷远处流动变成
均匀流 。
在极坐标系中, 速度分量为
沿包围圆柱体的圆形周线的速度环量为
均匀流绕过圆柱体的平面流动的速度环量等于零, 故称为圆柱体无
环量绕流 。
当时, 在圆柱面上, 速度分布为
（ 5）
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0
vv
vr
说明, 流体沿圆柱表面只有切向速度, 没有径向速度,
符合流体既不穿入又不脱离圆柱面的实际情况 。 在圆
柱面上速度是按照正弦曲线分布的, 在 （ B点 ） 和
（ A点 ） 处,, A,B二点是分流点, 也称
为驻点 。 在 处, 达到最大值,, 即等于
无穷远处来流速度的 2倍 。
0??
?180?? 0??v
?90??? ?v
?? vv 2max?
3,压力分布
圆柱面上任意点的压力, 可以由 Bernoulli 方程计算
将圆柱表面的速度分布 (5)代入上式得到
(6)
如采用压力系数来表示, 根据 Bernoulli方程定义
将ｐ代入上式, 得到
用Ｃ ｐ 表示流体作用于物体表面上的压力是无量纲量, 与
圆柱体半径, 均匀流速度无关, 只与表面位置有关 。
22
22
?? ??? vpvp
??
)s in41(21 22 ?? ??? ?? vpp
2
2
1
2
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v
v
v
ppC
p
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?2sin41 ??pC
图 9 压强系数沿圆柱面的分布
4,合力
从压力分布看出, 在圆柱面上压力对称于ｘ轴, ｙ轴,
那么柱面上合力等于０ 。 流体作用在圆柱体上的总压力
分解成ｘ, ｙ方向上的分力Ｆ ｘ, Ｆ ｙ, 分别为与来流平
行和垂直的作用力, 称为流体作用在柱体上的阻力Ｄ和
升力Ｌ 。 有
（ ７ ）
理想流体的均匀流绕过圆柱体的无环量绕流中, 圆柱体
不受阻力和升力作用 。 事实上, 实际流体由于粘性作用,
绕过圆柱产生摩擦力, 而且在圆柱绕流后面部分形成脱
流和尾迹, 流动图形和理想流体绕流截然不同 。 就是说,
在实际流体绕流圆柱体中, 会产生阻力 。
??
?
??
??
0
0
y
x
FL
FD
二 圆柱体有环量绕流
在前面无环量绕流基础上, 让圆柱体以等角速度绕其轴心旋转, 形
成有环量绕流 。
1,势函数和流函数
设定圆柱顺时针旋转 。 有环量绕流是由均匀流, 偶极子流, 点涡叠
加而成, 其复势分别为
(8)
叠加后的复势为
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其速度势函数和流函数分别为
(9)
2,速度分布
流场中任一点 P(r,θ)处的速度为
(10)
当时,, 即 的圆周是一条流线, 圆柱
面上速度分布为
(11)
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这说明流体与圆柱体没有分离现象, 只有沿着圆周切
线方向的速度 。 当时,,,
说 明 在 远 离 圆 柱 体 处 流 体 为 均 匀 流 。
当点涡的强度 时, 在圆柱体的上部环流的速度方
向与均匀流的速度方向相同, 而在下部则相反 。 叠加
的结果在上部速度增高, 而在下部速度降低, 这样就
破坏了流线关于 x轴的对称性, 使驻点 A和 B离开了 x轴,
向下移动 。 为了确定驻点的位置, 令 (11)中,
得到驻点的位置角为
(12)
??r ?cos?? vvr ?sin??? vvr
0??
0??v
?
??
vr04sin ??
若, 则, 圆柱面上的两个驻点左右对称,
并位于第三和第四象限内, 且 A,B两驻点随 值的增加
而向下移动, 并互相靠拢 。
若, 则, 圆柱面上不存在驻点, 驻点脱离
圆柱面沿 y轴向下移到某一位置 。 令 (10)中的 和
, 得到两个位于 y轴上的驻点, 一个在圆柱体内,
另一个在圆柱体外 。 事实上, 只有一个在圆柱体外的自
由驻点 A,全流场由经过驻点 A的闭合流线划分为内, 外
两个区域, 外部区域是均匀流绕过圆柱体有环量的流动,
在闭合流线和圆柱面之间的内部区域自成闭合环流, 但
流线不是圆形的 。
如果叠加的点涡强度, 驻点的位置与上面讨论的情
况正好相差 180° 。 由此可见, 驻点的位置不简单取决于,
而取决于 。
??? vr04? 1sin ??
?
??? vr04? 1sin ??
0?rv
0??v
0??
? )4/(
0 ?? vr?
图 10 均匀流绕过圆柱体有环量的流动
3,压力分布
将圆柱面上的速度分布 (11)代入 Bernoulli方程,
得到
(13)
22
22
?? ??? vpvp
??
])2s i n2([21)(2121 2
0
2222
rvvpvvvpp r ????? ?
??????????
?????
4,合力
圆柱体上取一微元线段, 单位长度上圆柱体所受到的
力,
力沿 x和 y轴方向上的分量为
沿整个圆柱面进行积分得到
(14)
将圆柱面压强 (13)代入上式, 得到
说明圆柱有环量绕流的阻力为零 。
sd
1??? dsnpFd
?c o sp d sdF x ?? ?s inp d sdF y ??
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vpr
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（ 15）
这就是库塔 -儒可夫斯基升力公式。从上面的分析可以看
出理想流体有环量圆柱绕流时，作用于单位长度圆柱体
上的合力垂直于均匀来流，大小等于流体密度、来流速
度和速度环量三者的乘积。升力的方向由来流速度的方
向沿环量的反方向旋转 90° 确定。
?????
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2
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1
{
图 11 升力的方向
第七节 理想流体的
旋涡运动
流体质点的旋转角速度 的运动称
为有旋运动, 又称作漩涡运动 。
本节讨论的是漩涡运动的基本概念 。
0??
一 涡线、涡管和涡束
1,涡线
定义, 某一瞬时漩涡场中的一条曲线, 曲线上任意一点的
切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致 。
由定义推导出其微分方程, 设某一点上流体微团的瞬时
角速度为
取过该点涡线上的微元矢量为
根据定义, 这两个矢量方向一致,
矢量积为 0,即
得到 (1)
这就是涡线的微分方程 。
kji zyx ???? ???
kdzjdyidxsd ???
0?? sd?
zyx
dzdydx
??? ??
2,涡管
定义, 某一瞬时, 在漩涡场中任取
一封闭曲线 c(不是涡线 ),通过曲线
上每一点作涡线, 这些涡线形成封
闭的管形曲面 。
如果曲线 c构成的是微小截面, 那
么该涡管称为 微元涡管 。
横断涡管并与其中所有涡线垂直的
断面称为涡管断面, 在微小断面
上, 各点的旋转角速度相同 。
3.涡束
涡管内充满着作旋转运动的流体称为涡束,微元涡管中
的涡束称为 微元涡束 。
二 涡通量和速度环量
1,涡通量
定义, 在微元涡管中, 二倍角速度与涡管断面面积 dA的
乘积称为微元涡管的涡通量 (旋涡强度 )dJ
(2)
对任一微元面积 dA而言, 有
对有限面积, 则通过这一面积的涡通量应为
(3)
dAdJ ?2?
dAAddJ n?? 22 ???
??? A ndAJ ?2
2.速度环量
定义, 某一瞬时在流场中取任意闭曲线, 在线上取一微
元线段, 速度 在 切线上的分量沿闭曲线 的线积分,
即为沿该闭合曲线的速度环量 。
(4)
表示速度矢量与该点切线方向的夹角 。
将 (4)写成标量积的形式, 为
(5)
速度环量是标量, 有正负号, 规定沿
曲线逆时针绕行的方向为正方向,
沿曲线顺时针绕行的方向为负方向 。
速度环量是旋涡强度的量度, 通常用来描述漩涡场 。
l
ld ldv l
? ????? l ll dlvldv ?c o s
? ? ?????? l l zyxl dzvdyvdxvldv )(
?
第八节 理想流体旋涡运动
的基本定理
一 斯托克斯 (Stokes)定理
当封闭周线内有涡束时, 沿封闭周线的速度环量等于
该封闭周线内所有涡通量之和, 这就是斯托克斯定理 。
证明, 先证明微元周线的斯托克斯定理, 取一微元矩
形封闭周线, 边长分别为 dx,dy,沿此封闭曲线的速度
环量等于沿着各边的速度环量之和, 绕周线的方向为逆
时针,
设 A点的坐标为 （ ｘ, ｙ ）, 速度分量为ｖ ｘ, ｖ ｙ, 那
么, Ｂ点的坐标为 （ ｘ＋ｄｘ, ｙ ）, 速度分量为
DACDBCAB ddddd ?????????
dxxvv xx ??? dxxvv yy ???
Ｃ点的坐标为 （ ｘ＋ｄｘ, ｙ＋ｄｙ ）, 速度分量为
,,
Ｄ点的坐标为 （ ｘ, ｙ＋ｄｙ ）, 速度分量为
,,
求各边速度环量时, 取各边中点的速度乘以该边的长度,
可得
对于微元封闭周线斯托克斯定理得证 。
dyyvdxxvv xxx ?????? dyy
vdx
x
vv yy
y ?
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dyyvv xx ??? dyyvv yy ???
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y
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2
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)]()[(
2
1
)]([
2
1
对于有限大封闭周线所包围的单连通区域内有许多微元
涡束的情况, 可以用两组互相垂直的直线将该区域划分
为无数个微元矩形, 在速度环量总和 的计算中发现,
内周线各微元线段的切向速度线积分都要计算二次, 而
二次所取的方向相反, 所以这些线段上的切向速度线积
分互相抵消, 剩下的只有沿外封闭周线Ｋ各线段的切向
速度线积分的总和 。 各微元矩形的涡通量的总和
是通过封闭周线Ｋ所包围的单连通区域的涡通量,
有
这就是平面上的有限单连通区域的斯托克斯定理的表达
式 。 推广到任意空间曲面, 斯托克斯定理都成立 。
而对于复连通区域可作一些变换, 同样可以证实斯托克
斯定理成立 。
??id
??Kd
?dJ ??A ndA?2
??? ???? A nKK dAsdv ?2
例题
证明均匀流的速度环量等于零 。
证：流体以等速度ｖ ０ 水平方向流动, 先求沿图所示的矩
形封闭曲线的速度环量,
其次求沿图所示圆周线的速度环量
同样可证, 均匀流中沿任何其他封闭曲线的速度环量等
于零 。
000 004134231212341 ?????????????? bvbv
0)90c o s (c o sc o sc o s 20020020 00 ??????? ???? ??? ??????? drvdrvrdvdsv oKK
二 汤姆逊定理、亥姆霍兹旋涡定理
用来描述旋涡运动特性的两个定理, 适用条件为,
1,理想流体
2,正压流体 ( )
3,在有势质量力作用下
首先引出流体线的概念 。
流体线,指在流场中任意指定的一段线, 该线段
在运动过程中始终是由同样的流体质点所组成 。
? ?p???
1,汤姆逊 （ Thomson） 定理
正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何封闭流
体线的速度环量不随时间而变化, 即
证明：任选一封闭的流体线, 沿该封闭周线的速度环量
（ 1）
等式右边第一项写成
0??dtd
? ???? dzvdyvdxv zyx
?
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???
???
???
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)(
)]()()([
dz
dt
dv
dy
dt
dv
dx
dt
dv
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dt
d
vdy
dt
d
vdx
dt
d
v
dzvdyvdxv
dt
d
dt
d
zyx
zyx
zyx
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zyx
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v
d
v
d
v
d
dz
dt
d
vdy
dt
d
vdx
dt
d
v
等式右边第二项, 由欧拉运动微分方程
那么得到
方程 （ 1） 可以写成
这是因为, v,U,p都是 x,y,z和 t的单值连续函数, 沿封
闭周线的积分等于零 。
得出结论：对于理想的正压流体, 在有势的质量力作用
下, 沿任何封闭的流体线的环量永远不会改变 。 又由斯
托克斯定理知, 在流场中已有的旋涡将永远不会消失,
即 理想流体中, 须旋涡不生不灭 。
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dz
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zyx
zyx
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0)2(])2([ 22 ???????? ?? pUvddpdUvddtd
2,亥姆霍兹 （ Helmholtz） 旋涡定理
有 3个基本定理, 这些基本定理说明了旋涡的
基本性质 。
(1) 亥姆霍兹第一定理 在同一瞬间涡管各
截面上的涡通量都相同
由该定理得到：涡管 （ 涡线 ） 本身首尾相接,
形成一封闭的涡环或涡圈；涡管 （ 涡线 ） 两端
可以终止于所研究流体的边壁上 （ 固体壁面或
自由面 ） 。
(2) 亥姆霍兹第二定理 （ 涡管守恒定理 ）
正压性的理想流体在有势的质量力作用下, 涡管永远
保持为由相同流体质点组成的涡管 。
(3) 亥姆霍兹第三定理 （ 涡管强度守恒定理 ）
在有势的质量力作用下, 正压理想流体中任何涡管的
强度不随时间而变化, 永远保持定值 。
在实际流体的流场中，开始并不存在旋涡，只是流体
绕过物体或流体流经特变的边界时才产生旋涡。这表
明，旋涡既能在流体中产生也会在流体中消失。粘性
是旋涡产生和消失的根本原因。
实际流体都有粘性, 在流体力学研究中, 为了简
化问题, 引进了理想流体这一假设的流体模型, 理想
流体的粘度为 0。 在 实际分析中, 如果流体粘度很小,
且质点间的相对速度又不大时, 粘性应力是很小的,
把这类流体看成是理想流体 。 理想流体一般不存在热
传导和扩散效应 。
理想流体除了对研究流体运动规律具有理论意义,
而且对解决某些工程实际问题具有指导意义 。 本章将
对理想流体运动作较为详细的探讨 。
第一节 平面势流
平面流动是指对任一时刻, 流场中各点的速度都
平行于某一固定平面的流动, 并且流场中物理量 （ 如
温度, 速度, 压力, 密度等 ） 在流动平面的垂直方向
上没有变化 。 即所有决定运动的函数仅与两个坐标及
时间有关 。
在实际流动中, 并不存在严格意义上的平面流动,
而只是一种近似 。 如果流动的物理量在某一个方向的
变化相对其他方向上的变化可以忽略, 而且在此方向
上的速度很小时, 就可简化为平面流动问题处理 。
（ 图 1）
后面讨论的都是平面势流, 势流 （ 有势流动 ） 就
是无旋流动, 其流场中每个流体微团不发生旋转, 角
速度
0??
图 1 绕 冀 型的 流动
第二节 速度势函数和
流函数
一 速度势函数
有势流动 （ 无旋流动 ） 流体微团角速度, 或
得到
所以
上式成立, 意味着在流动空间构成一个函数, 满足 全微
分的充分必要条件, 用 Φ(x,y,z,t)表示, 该函数的全微分
为,
(1)
0??
0???? kji zyx ????
0)(21 ??????? zvyv yzx? 0)(21 ??????? xvzv zxy? 0)(21 ??????? yvxv xyz?
z
v
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z
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y
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x
v xy
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??
?
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dzvdyvdxvd zyx ????
定常流动，不考虑
t的影响,t是参变
量
全微分存在的充分必要条件,
若 u=f(x,y,z,t)的各偏导数都存在且
连续, 则有
dttudzzudyyudxxudu ????????????
Φ函数的全微分 （ 2）
比较 （ 1） 和 （ 2） 式, 得到
（ 3）
定义函数 Φ(x,y,z,t)称为 势函数,由 Φ可计算得到速度,
根据伯努利方程得到流场中压强的分布。
dzzdyydxxd ?????????????
xvx ??
??
yvy ??
??
zvz ??
??
速度势函数的特性
1 势函数的方向导数等于速度在该方向上的投影
2 存在势函数的流动一定是无旋流动
3 等势面与流线正交
4 不可压缩流体中势函数是调和函数
特性 1
空间曲线 s上任取一点 M(x,y,z),M点处流体质点速度分
量为 vx,vy,vz,取速度势函数的方向导数
其中：,,
而,,
则
速度的分量 vx,vy,vz分别在曲线 s的切线上的投影之和
等于速度矢量本身的投影 vs。
速度势函数沿任意方向取偏导数的值等于该方向上的速
度分量 。
ds
dz
zds
dy
yds
dx
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xvx ??
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),cos( xsdsdx ? ),cos( ysdsdy ? ),cos( zsdsdz ?
szyx vzsvysvxsvs ?????
?? ),c o s (),c o s (),c o s (
特性 2
设对某一流动, 存在势函数 Φ(x,y,z,t), 流动的角
速度分量
类似的推出
可见, 流场存在速度势函数则流动无旋, 因此流动无旋
的充分必要条件势流场有速度势函数存在 。
0)]()([21)(21 ??????????????????? yzzyzvyv yzx?
0?? zy ??
特性 3
等势面,在任意瞬时 t0,速度势函数取同一值的点构
成流动空间一个连续曲面, Φ(x,y,z,t0)=常数 。
在等势面上取一点 O,并在该面上过 O任取一微元矢
量, 求 与点 O处速度 的标量积 。
因为 Φ(x,y,z,t0)=C, 所以 dΦ=0
得到
这说明一点的速度矢量与过该点的等势面是垂直的,
又因为速度矢量与流线方向一致，推出流线与等势面垂
直。
kdzjdyidxLd ??? Ld v
??
?
??
?
?
??
?
?
??
????
???????
d
dz
z
dy
y
dx
x
dzvdyvdxv
)kdzjdyidx()kvjviv(Ldv
zyx
zyx
0?? Ldv
特性 4
不可压缩流体的连续性方程为
对于有势流动,,
即, 满足 Laplace方程 。 而满足 Laplace方程的函数
就叫做调和函数
0????????? zvyvxv zyx
xvx ??
??
yvy ??
??
zvz ??
??
0222222 ?? ???? ???? ?? zyx
02 ???
二 流函数
在平面流动中, 不可压缩流动的连续性方程为
或写成 （ 4）
（ 4） 是 –vydx+vxdy 成为某一函数 Ψ（ x,y,t） 全微分
的充分必要条件, 即
（ 5）
Ψ的全微分为
（ 6）
比较 （ 5） 和 （ 6）, 得到
,
符合上式条件的函数 Ψ（ x,y,t） 叫做二维不可压缩流
场的流函数。
0?????? yvxv yx )v(yxv yx ??????
dyvdxvd xy ???? )(
dyydxxd ?????????
yvx ???
??
xvy ??
??
流函数的特性
1,沿同一流线流函数值为常数
2,平面流动中通过两条流线间单位厚度的流量等于两条
流线上的流函数的差值
3,在有势流动中流函数也是一调和函数
特性 1
s为坐标系 XOY的任意一条流线,
在 s上任取一点作速度矢量, 与
流线相切, 该点的微元流线段在
x,y轴上的投影为 dx,dy,速度
在 x,y轴上的投影为 vx,vy
或
由, 得到
在流线 s上, Ψ的增量 dΨ为 0,说明沿流线 Ψ（ x,y,t） 为常数,
而流函数的等值线, 即 Ψ（ x,y,t） =C就是流线 。 因此, 找到流函
数后, 可以知道流场中各点速度, 还可以画出流线 。
y
x
v
v
dy
dx? 0??? dyvdxv
xy
yvx ???
??
xvy ??
?? 0???
?
???
?
?? ddy
ydxx
特性 2
设 Ψ1,Ψ2是两条相邻流线, 作其间一曲线 AB,求通
过 AB两点间单位厚度的流量 。 (见下图 ）
在 AB上作微元线段,过微元线段处的速度为,
,单位厚度的流量 dq应为通过 dx的流量 vydx和通
过 dy的流量 vxdy之和,
（ vy<0 ）
沿 AB线段积分,
由于沿流线流函数为常数, 因此
jdyidxsd ??
jvivv yx ??
???????????? ddxxdyydxvdyvdq yx
?? ??????? BA ABBA ddqq
12 ????q
特性 3
对平面势流 有
将, 代入上式得到
即,满足 Laplace方程。所以在平面势流中流函
数也是调和函数。
0)(21 ??????? zvyv yzx?
z
v
y
v yz
?
??
?
?
yvx ???
??
xvy ??
?? 022 ?
?
???
?
??
yx
02 ???
s
三 流函数和势函数的关系
在平面势流中有
,
,
交叉相乘得
说明等势线族 Φ(x,y,z,t)=C1与流函数族 Ψ(x,y,z,t)=C2
相互正交 。
在平面势流中，流线族和等势线族组成正交网格，称
为 流网 。
xvx ?
???
yvy ?
???
yvx ?
???
xvy ?????
0?????????????? yyxx
极坐标 (r,θ)中, 径向的微元线段是 dr,圆周的微元线
段是 rdθ,速度势函数 Φ(r,θ,t)与 vr,vθ的关系是
,
速度流函数 Ψ(r,θ,t)与 vr,vθ的关系是,
速度势函数和流函数的关系是
,
rvr ??
??
?? vr ??
??
rvr ??
??
??vr ??
???
rvrr ??
???
?
??
? ?? vrr ??
????
?
??
例 1
有一个速度大小为 v( 定值 ),沿 x 轴方向的均匀流动，求
它的速度势函数。
解,首先判断流动是否有势
0)(
2
1
?
?
?
?
?
?
?
z
v
y
v
y
z
x
?
0)(
2
1
?
?
?
?
?
?
?
x
v
z
v
zx
y
?
0)(
2
1
?
?
?
?
?
?
?
y
v
x
v
x
y
z
?
流动无旋，为有势流动。
由 dzvdyvdxvd
zyx
???? 得到
v d xd ??
积分得
Cvx ???
因常数 C 对 Φ 所代表的流场无影响，令 C=0,
最后速度势函数为
vx??
例 2
平面不可压缩流体速度势函数 )3(
22
yxax ???, a < 0,试确定
流速及流函数，并求通过连接 A ( 0,0 ) 和 B ( 1,1 ) 两点的连
线的直线段的流体流量。
解,因
)33(
22
yxa
yx
v
x
??
?
??
?
?
??
?
a x y
xy
v
y
6??
?
??
??
?
??
?
dyyxaa x y d xdyvdxvdy
y
dx
x
d
xy
)33(6
22
??????
?
??
?
?
??
??
积分
Cayyax
dyyxaa x y d xdyvdxvdy
y
dx
x
d
xy
???
??????
?
??
?
?
??
????
????
32
22
3
)33(6
流函数为
32
3 ayyax ???
在点 A(0,0),
0??
A,在点 B(1,1),
a
B
2??
过连接 A ( 0,0 ) 和 B ( 1,1 ) 两点的连线的直线段的流体流量
为
a
BA
2?????
例 3
某定常平面流动
axv
x
?
，
ayv
y
??
,a 为常数。求这一流动的流函数
和势函数，并绘制流网。
解,首先检验流动是否存在，即是否满足平面流动的连续性方
程
0???
?
?
?
?
?
aa
y
v
x
v
y
x
可见满足连续性方程，存在流函数。求流函数,
a x d ya y d xdyvdxvdy
y
dx
x
d
xy
?????
?
??
?
?
??
??
积分
Ca x y
a x d ya y d xdyvdxvdy
y
dx
x
d
xy
??
?????
?
??
?
?
??
????
????
令 0??,得到流线方程
Cxy ?
再求速度势函数，先判断流动是否有势
0)(
2
1
?
?
?
?
?
?
?
z
v
y
v
y
z
x
?
可见，流动无旋，存在势函数。
Cyx
a
a y d ya x d xdyvdxvdy
y
dx
x
d
yx
???
????
?
??
?
?
??
????
????
)(
2
22
令 0??,得到流线方程
Cyx ??
22
最后画流网
流线是一族以 x轴和 y轴为渐近线的双曲线, 等势线是以
直角平分线为渐近线的双曲线族 。
将 x轴看成是固壁, 并且只观察上半平面, 则流动沿 y轴
垂直的自上而下流向固壁, 然后在原点处分开, 流向两
侧 。
第三节 复势与复速度
对于不可压缩理想流体的平面无旋运动, 同时存在速
度势函数 Φ 和流函数 Ψ, 它们同为调和函数, 满足 L a p l a c e
方程, 即
0
2
2
2
2
?
?
??
?
?
??
yx
0
2
2
2
2
?
?
??
?
?
??
yx
同时速度势函数 Φ 和流函数 Ψ 还存在关系
yx
v
x
?
??
?
?
??
?
xy
v
y
?
??
??
?
??
?
推出速度势函数 Φ 和流函数 Ψ 是互为共轭的调和函数 。
把平面势流的 速度势函数 Φ 作为某一复变函数的实
部, 把 流 函 数 Ψ 作为虚部, 构 成 的 复 变 函 数 为
)()( zfizW ?????
( z = x + i y ), W(z) 叫做平面势流的 复势 。
若已知一平面势流的复势, 可求出流场中任意点的
速度 。 将复势对复变量求导
Vivv
y
i
yx
i
x
zf
dz
dW
yx
???
?
??
?
?
??
?
?
??
?
?
??
?? )(
'
V 称为平面势流的 复速度, 实部是流速在 x 轴上的分量,
虚部是流速在 y 轴分量的负值 。 复速度的模 等于流体速
度的绝对值, 即
vvv
dz
dW
V
yx
?????
22
)(
根据复数的表示方法，复速度也可以表示为
?
??
i
evivV
?
??? )si n( co s
W 的共轭复变数为
)()( zfiyxfiW ???????
，则其复速度
为
yx
ivv
x
i
x
zd
Wd
??
?
??
?
?
??
?
，与前者关于实轴对称。
2
22
))(( vvvivvivv
zd
Wd
dz
dW
yxyxyx
???????
可以根据共轭复变数的运算方法求出流场中某一点的速
度 v 来。
?
??
ire
ir
iyxz
?
??
??
)s in(c o s
图 1 复速度的几何表示
例题
平面不可压缩流体流函数 )l n (
22
yx ???,试确定该流动的
复势函数 W （ z ）
解：首先通过流函数Ψ求速度势函数Φ
22
2
yx
y
y
v
x
?
?
?
??
?
22
2
yx
x
x
v
y
?
??
?
??
??
???
???
?
?
?
?????? )l n ()(
22
22
2222
yxxydy
yx
x
dx
yx
y
dyvdxvd
yx
流动的复势函数为
)l n ()l n ()()(
2222
yxiyxxyizW ?????????
第四节 几种基本的
平面势流
一 均匀流
二 点源和点汇
三 点涡
一 均匀流
定义, 流体作等速直线运动, 流体中各点速度的大小
和方向都相同的流动称为均匀流 。
设均匀流的速度为 ?
v
,与 x 轴平行, 那么
?
?
?
??
?
?
??
? v
yx
v
x
0?
?
??
??
?
??
?
xy
v
y
求速度势函数, ? ??
????????
??
cxvdxvdyvdxvd
yx
令 c=0,
xv
?
??
求流函数 ? ??
?????????
??
cyvdyvdyvdxvd
xy
令 c=0,
yv
?
??
均匀流的 等势线是一族平行于 y 轴的直线, 流线为一
族平行于 x 轴的直线,如取
?????
,则其流网是正方形网格,
均匀流的复势为
zviyxvyivxviW
????
????????? )(
图 2 均匀流示意图
二 点源和点汇
点源：流体从某点向四周呈直线均匀径向流出的流
动,这个点称为 源点 。
点汇：流体从四周往某点呈直线均匀径向流入的流
动,这个点称为 汇点 。
设源点或汇点位于坐标原点，从源点流出或向汇点
流入的流体速度只有径向速度 r
v
，而无切向速度
?
v
,
通过半径为 r 的单位长度圆柱面流出或流入的流量为
qrr v
r
??? 12 ?
得到
r
q
v
r
?2
??
注,q 是点源或点汇的强度，对于点源,r
v
与
r
同向，
q 前取正号；对于点汇，
r
v
与
r
异向,q 前取负号。
求点源或点汇的速度势函数和流函数
r
q
rr
v
r
?? 2
??
?
??
?
?
??
?
0?
?
??
??
?
??
?
rr
v
?
?
dr
r
q
drvdrvd
r
?
?
?
2
?????
?
?
?
?
d
q
drvdrvd
r
2
??????
对上面两式积分，并令积分常数等于零，得到,
r
q
ln
2 ?
???
?
?2
q
???
等势线是半径不同的圆，流线是通过原点极角不同的射
线。
注：当 r = 0 时，速度势函数和速度
r
v
无穷大，源点和汇
点是流动的奇点，因此，速度势函数和速度
r
v
只有在源
点或汇点以外才有意义。
图 3a 点源 图 3b 点汇
?
?
irln
)rel n (
)iyxl n (zln
i
??
?
??
点源和点汇的复势,
)(
2
)( l n
22
ln
2
?
?
?
???
i
re
q
ir
ir
q
iW ????????????
或
z
q
W ln
2 ?
??
若源点和汇点的位置不在原点，而在 0
z
点，其复势应
为
)l n (
2
0
zz
q
W ???
?
三 点涡
定义：流体质点沿着同心圆的轨迹运动, 且其速度
大小与向径 r成反比的流动 。 又被称为 自由涡 。
将坐标原点置于点涡处, 设点涡的强度为, 则任一
半径 r处流体的速度可由 stokes定理得到,那么
而
求点涡的速度势函数和流函数
对上面两式积分, 并令积分常数等于零, 得到,
等势线是 的线, 流线是以坐标原点为圆心的同心
圆 。 点涡的复势是
或
常数??? ??rv2
rv ?? 2
?? 0?
rv
0????????? ?rrv r rrrv ??? 2???????????
???? drdrvdrvd r 2????? drrdrvdrvd r ??? 2 ???????
??2??? rln2?????
常数??
)(2)( l n2ln22 ??????? ireiiririiW ?????????????
ziW ln2???
图 4 点涡示意图
第五节 势流的叠加
势流叠加原理
有两个流动, 它们的速度分布函数, 速度势函数, 流函
数, 复势函数分别为, Φ1, Ψ 1, W1和, Φ2,
Ψ 2, W2, 由于和都满足线性 Laplace方程, 可以将和分
别进行叠加 。 将两流动合起来的复合流动, 其相应量分
别为, Φ, Ψ, W,存在以下关系,
因此
1v 2v
v
21 ?????
21 ?????
21 WWW ??
xxx vvxxxv 21
21 ??
?
???
?
???
?
???
yyy vvyyyv 21
21 ??
?
???
?
???
?
???
21 vvv ??
流动变成 n个, 同样将 n个流动叠加, 复合流动的相应量
定义：叠加多个流动时, 所得合成流动的复势即为分流
动的复势的代数和, 此即 势流的叠加原理 。
n??????? ?21
n??????? ?21
nWWWW ???? 21
nvvvv ???? 21
一 螺旋流 — 点汇（源） +点涡
流动形式为流体自外沿圆周切向进入, 又从中间不断
流出 。
点汇的复势为
点涡的复势为
将两者叠加后得到的新流动的复势为
得到新流动的速度势函数和流函数的表达式为
令上式等于常数, 可以得到
等势线方程
流线方程
zqW ln2???点汇
ziW ln2???点涡
)( l n2ln2ln2ln2 ????? iriqziqzizqWWW ??????????????? 点涡点汇
)ln(21 ?? ????? rq )ln(21 rq ????? ??
?qeCr ??
1
???? qeCr
1
等势线和流线为相互正
交的对数螺旋线簇，称
为螺旋流。
点汇 +点涡 → 阴螺旋流
点源 +点涡 → 阳螺旋流
图 5 螺旋流示意图
二 偶极子流 — 点源 +点汇
将源点设于 A点 （ -a,0）, 汇点于 B点 （ a,0）, 强度
都为 q,
点源的复势为
点汇的复势为
将点源和点汇叠加后的新流动的复势为
若源点和汇点无限接近, 即,如果强度不变时, 汇点
将源中流出的流体全部吸掉而不发生任何流动 。
)ln (2 azqW ?? ?点源
)ln (2 azqW ??? ?点汇
)]ln (2)[ ln (2 azqazqWWW ?????? ??点源点汇
02 ?a
若在 2a逐渐缩小时, 强度 q逐渐增强, 当 2a减小
到零时, q应增加到无穷大, 以使 保持一个有限
值, 即, 在这一极限状态下的流动称为偶
极子流, M是偶极矩, 方向从点源到点汇 。
偶极子流的复势为
或
新流动的速度势函数和流函数分别为
Maq?2
)()2(lim 02 常数Maq
q a
?
???
z
M
z
dz
dM
a
azazaq
azaz
q
W
q
a
q
a
??
??
2
)( l n
2
]
2
)l n ()l n (
[
2
2
lim)]l n ()[ l n (
2
lim
0202
??
???
?????
??
?
??
?
)s in( c o s2 12 1 ???? ? irMreMW i ???
?? cos2 rM?? ?? sin2 rM???
求等势线方程和流线方程
1,等势线方程
由于, 有
得到
整理后 等势线方程为
表示一族圆心在 x轴上, 并与 y轴在原点相切的圆
2,流线方程
由于, 有
得到
整理后得流线方程为
表示一族圆心在 y轴上, 并与 y轴在原点处相切的圆 。
CrM ??? ?? c o s2
r
x??cos C
yx
xM
r
Mx ?
???? 222 22 ??
1
22 2
1
Cyx
x ?
?
21221 ) CyCx ???（
CrM ???? ?? s in2
r
y??sin C
yx
yM
r
My ?
?????? 222 22 ??
2
22 2
1
Cyx
y ?
?
22222 )( CCyx ???
图 6 偶极子流示意图
第六节 圆柱体绕流
设有一速度为 的均匀流, 从与圆柱体垂直的方向
绕过一半径为 r0的无限长圆柱体, 这样的流动看成是平
面流动 。
均匀流绕过圆柱体时, 由于受到圆柱的阻挡, 绕过
柱体附近的流体质点受到扰动, 偏离原来的直线路径,
而离柱体越远, 扰动越小, 在无穷远的地方, 完全不受
扰动, 作均匀流动 。
圆柱体绕流可以分为两种情况 。
一 圆柱体无环量绕流
二 圆柱体有环量绕流
?v
图 7 绕无穷长圆柱的流动
一 圆柱体无环量绕流
由均匀流和偶极子流叠加而成的平面流动 。
1,势函数和流函数
均匀流和偶极子流的复势分别为
根据势流叠加原理, 均匀流和偶极子流叠加形成的新流
动的复势为
那么速度势函数和流函数分别为
(1)
)s in( c o s)(1 ??? irvreviyxvzvW i ?????? ????
)s in( c o s2222 ????? ? irMerMzMW i ???? ?
?
?
?
?
??
?
??
s in)
2
(c os)
2
(
)s in( c os
2
)s in( c os
22
21
r
r
M
vir
r
M
v
i
r
M
irvWW
????
?????
??
?
?? c o s2 2 rrMv ?????? ??? ? ?? s in2 2 rrMv ?????? ??? ?
代入
得到直角坐标下的速度势函数和流函数
（ 2）
令, 即
得到零流线方程为
零流线是一个以坐标原点为圆心, 半径 的圆周
和 x轴, 零流线到 A处分成两股, 沿上下两个半圆周流到
B点, 又重新汇合 。
将 代入方程 （ 1） 中, 那么均匀流绕过圆柱体无
环量绕流的势函数和流函数可以写成
（ ） （ 3）
222 yx
xMxv
???? ? ? 222 yx yMyv ???? ? ?
222 yxr ??
r
x??cos
r
y??sin
0?? 0
2 22 ???? yx
yMyv
?
??
?
?
?
??
?
?v
Myx
y
?2
0
22
2
1
0 )2/( ?? vMr ?
202 rvM ?? ?
?
?
?
??
?
?
???
???
?
?
?
?
s in)1(
c os)1(
2
2
0
2
2
0
r
r
r
v
r
r
r
v
0rr?
图 8 均匀流绕过圆柱体无环量的流动
12,速度分布
流场中任意一点 P（ x,y） 的速度分量为
（ 4）
在 或 处,,, 这说明在无穷远处流动变成
均匀流 。
在极坐标系中, 速度分量为
沿包围圆柱体的圆形周线的速度环量为
均匀流绕过圆柱体的平面流动的速度环量等于零, 故称为圆柱体无
环量绕流 。
当时, 在圆柱面上, 速度分布为
（ 5）
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
?
?
??
?
??
?
?
?
]
)(
2
]
)(
)(
1[
222
2
0
222
222
0
yx
x y r
v
y
v
yx
yxr
v
x
v
y
x
??x ??y ??vvx 0?yv
?
?
?
??
?
?
???
?
??
?
??
?
??
?
?
?
?
?
?
? s in)1(
1
c os)1(
2
2
0
2
2
0
r
r
v
r
v
r
r
v
r
v r
?? ?????? 0s in)1( 220 ???? drrrvdsv
??
?
??
?
? ?? sin2
0
vv
vr
说明, 流体沿圆柱表面只有切向速度, 没有径向速度,
符合流体既不穿入又不脱离圆柱面的实际情况 。 在圆
柱面上速度是按照正弦曲线分布的, 在 （ B点 ） 和
（ A点 ） 处,, A,B二点是分流点, 也称
为驻点 。 在 处, 达到最大值,, 即等于
无穷远处来流速度的 2倍 。
0??
?180?? 0??v
?90??? ?v
?? vv 2max?
3,压力分布
圆柱面上任意点的压力, 可以由 Bernoulli 方程计算
将圆柱表面的速度分布 (5)代入上式得到
(6)
如采用压力系数来表示, 根据 Bernoulli方程定义
将ｐ代入上式, 得到
用Ｃ ｐ 表示流体作用于物体表面上的压力是无量纲量, 与
圆柱体半径, 均匀流速度无关, 只与表面位置有关 。
22
22
?? ??? vpvp
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)s in41(21 22 ?? ??? ?? vpp
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2
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v
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p
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图 9 压强系数沿圆柱面的分布
4,合力
从压力分布看出, 在圆柱面上压力对称于ｘ轴, ｙ轴,
那么柱面上合力等于０ 。 流体作用在圆柱体上的总压力
分解成ｘ, ｙ方向上的分力Ｆ ｘ, Ｆ ｙ, 分别为与来流平
行和垂直的作用力, 称为流体作用在柱体上的阻力Ｄ和
升力Ｌ 。 有
（ ７ ）
理想流体的均匀流绕过圆柱体的无环量绕流中, 圆柱体
不受阻力和升力作用 。 事实上, 实际流体由于粘性作用,
绕过圆柱产生摩擦力, 而且在圆柱绕流后面部分形成脱
流和尾迹, 流动图形和理想流体绕流截然不同 。 就是说,
在实际流体绕流圆柱体中, 会产生阻力 。
??
?
??
??
0
0
y
x
FL
FD
二 圆柱体有环量绕流
在前面无环量绕流基础上, 让圆柱体以等角速度绕其轴心旋转, 形
成有环量绕流 。
1,势函数和流函数
设定圆柱顺时针旋转 。 有环量绕流是由均匀流, 偶极子流, 点涡叠
加而成, 其复势分别为
(8)
叠加后的复势为
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其速度势函数和流函数分别为
(9)
2,速度分布
流场中任一点 P(r,θ)处的速度为
(10)
当时,, 即 的圆周是一条流线, 圆柱
面上速度分布为
(11)
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这说明流体与圆柱体没有分离现象, 只有沿着圆周切
线方向的速度 。 当时,,,
说 明 在 远 离 圆 柱 体 处 流 体 为 均 匀 流 。
当点涡的强度 时, 在圆柱体的上部环流的速度方
向与均匀流的速度方向相同, 而在下部则相反 。 叠加
的结果在上部速度增高, 而在下部速度降低, 这样就
破坏了流线关于 x轴的对称性, 使驻点 A和 B离开了 x轴,
向下移动 。 为了确定驻点的位置, 令 (11)中,
得到驻点的位置角为
(12)
??r ?cos?? vvr ?sin??? vvr
0??
0??v
?
??
vr04sin ??
若, 则, 圆柱面上的两个驻点左右对称,
并位于第三和第四象限内, 且 A,B两驻点随 值的增加
而向下移动, 并互相靠拢 。
若, 则, 圆柱面上不存在驻点, 驻点脱离
圆柱面沿 y轴向下移到某一位置 。 令 (10)中的 和
, 得到两个位于 y轴上的驻点, 一个在圆柱体内,
另一个在圆柱体外 。 事实上, 只有一个在圆柱体外的自
由驻点 A,全流场由经过驻点 A的闭合流线划分为内, 外
两个区域, 外部区域是均匀流绕过圆柱体有环量的流动,
在闭合流线和圆柱面之间的内部区域自成闭合环流, 但
流线不是圆形的 。
如果叠加的点涡强度, 驻点的位置与上面讨论的情
况正好相差 180° 。 由此可见, 驻点的位置不简单取决于,
而取决于 。
??? vr04? 1sin ??
?
??? vr04? 1sin ??
0?rv
0??v
0??
? )4/(
0 ?? vr?
图 10 均匀流绕过圆柱体有环量的流动
3,压力分布
将圆柱面上的速度分布 (11)代入 Bernoulli方程,
得到
(13)
22
22
?? ??? vpvp
??
])2s i n2([21)(2121 2
0
2222
rvvpvvvpp r ????? ?
??????????
?????
4,合力
圆柱体上取一微元线段, 单位长度上圆柱体所受到的
力,
力沿 x和 y轴方向上的分量为
沿整个圆柱面进行积分得到
(14)
将圆柱面压强 (13)代入上式, 得到
说明圆柱有环量绕流的阻力为零 。
sd
1??? dsnpFd
?c o sp d sdF x ?? ?s inp d sdF y ??
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2
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vpr
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（ 15）
这就是库塔 -儒可夫斯基升力公式。从上面的分析可以看
出理想流体有环量圆柱绕流时，作用于单位长度圆柱体
上的合力垂直于均匀来流，大小等于流体密度、来流速
度和速度环量三者的乘积。升力的方向由来流速度的方
向沿环量的反方向旋转 90° 确定。
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图 11 升力的方向
第七节 理想流体的
旋涡运动
流体质点的旋转角速度 的运动称
为有旋运动, 又称作漩涡运动 。
本节讨论的是漩涡运动的基本概念 。
0??
一 涡线、涡管和涡束
1,涡线
定义, 某一瞬时漩涡场中的一条曲线, 曲线上任意一点的
切线方向与该点流体微团的旋转角速度一致 。
由定义推导出其微分方程, 设某一点上流体微团的瞬时
角速度为
取过该点涡线上的微元矢量为
根据定义, 这两个矢量方向一致,
矢量积为 0,即
得到 (1)
这就是涡线的微分方程 。
kji zyx ???? ???
kdzjdyidxsd ???
0?? sd?
zyx
dzdydx
??? ??
2,涡管
定义, 某一瞬时, 在漩涡场中任取
一封闭曲线 c(不是涡线 ),通过曲线
上每一点作涡线, 这些涡线形成封
闭的管形曲面 。
如果曲线 c构成的是微小截面, 那
么该涡管称为 微元涡管 。
横断涡管并与其中所有涡线垂直的
断面称为涡管断面, 在微小断面
上, 各点的旋转角速度相同 。
3.涡束
涡管内充满着作旋转运动的流体称为涡束,微元涡管中
的涡束称为 微元涡束 。
二 涡通量和速度环量
1,涡通量
定义, 在微元涡管中, 二倍角速度与涡管断面面积 dA的
乘积称为微元涡管的涡通量 (旋涡强度 )dJ
(2)
对任一微元面积 dA而言, 有
对有限面积, 则通过这一面积的涡通量应为
(3)
dAdJ ?2?
dAAddJ n?? 22 ???
??? A ndAJ ?2
2.速度环量
定义, 某一瞬时在流场中取任意闭曲线, 在线上取一微
元线段, 速度 在 切线上的分量沿闭曲线 的线积分,
即为沿该闭合曲线的速度环量 。
(4)
表示速度矢量与该点切线方向的夹角 。
将 (4)写成标量积的形式, 为
(5)
速度环量是标量, 有正负号, 规定沿
曲线逆时针绕行的方向为正方向,
沿曲线顺时针绕行的方向为负方向 。
速度环量是旋涡强度的量度, 通常用来描述漩涡场 。
l
ld ldv l
? ????? l ll dlvldv ?c o s
? ? ?????? l l zyxl dzvdyvdxvldv )(
?
第八节 理想流体旋涡运动
的基本定理
一 斯托克斯 (Stokes)定理
当封闭周线内有涡束时, 沿封闭周线的速度环量等于
该封闭周线内所有涡通量之和, 这就是斯托克斯定理 。
证明, 先证明微元周线的斯托克斯定理, 取一微元矩
形封闭周线, 边长分别为 dx,dy,沿此封闭曲线的速度
环量等于沿着各边的速度环量之和, 绕周线的方向为逆
时针,
设 A点的坐标为 （ ｘ, ｙ ）, 速度分量为ｖ ｘ, ｖ ｙ, 那
么, Ｂ点的坐标为 （ ｘ＋ｄｘ, ｙ ）, 速度分量为
DACDBCAB ddddd ?????????
dxxvv xx ??? dxxvv yy ???
Ｃ点的坐标为 （ ｘ＋ｄｘ, ｙ＋ｄｙ ）, 速度分量为
,,
Ｄ点的坐标为 （ ｘ, ｙ＋ｄｙ ）, 速度分量为
,,
求各边速度环量时, 取各边中点的速度乘以该边的长度,
可得
对于微元封闭周线斯托克斯定理得证 。
dyyvdxxvv xxx ?????? dyy
vdx
x
vv yy
y ?
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dyyvv xx ??? dyyvv yy ???
dJdAdx dy
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v
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y
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y
v
dx
x
v
v
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y
v
dx
x
v
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x
v
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x
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z
xy
y
y
y
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x
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y
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])[(
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2
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)]()[(
2
1
)]([
2
1
对于有限大封闭周线所包围的单连通区域内有许多微元
涡束的情况, 可以用两组互相垂直的直线将该区域划分
为无数个微元矩形, 在速度环量总和 的计算中发现,
内周线各微元线段的切向速度线积分都要计算二次, 而
二次所取的方向相反, 所以这些线段上的切向速度线积
分互相抵消, 剩下的只有沿外封闭周线Ｋ各线段的切向
速度线积分的总和 。 各微元矩形的涡通量的总和
是通过封闭周线Ｋ所包围的单连通区域的涡通量,
有
这就是平面上的有限单连通区域的斯托克斯定理的表达
式 。 推广到任意空间曲面, 斯托克斯定理都成立 。
而对于复连通区域可作一些变换, 同样可以证实斯托克
斯定理成立 。
??id
??Kd
?dJ ??A ndA?2
??? ???? A nKK dAsdv ?2
例题
证明均匀流的速度环量等于零 。
证：流体以等速度ｖ ０ 水平方向流动, 先求沿图所示的矩
形封闭曲线的速度环量,
其次求沿图所示圆周线的速度环量
同样可证, 均匀流中沿任何其他封闭曲线的速度环量等
于零 。
000 004134231212341 ?????????????? bvbv
0)90c o s (c o sc o sc o s 20020020 00 ??????? ???? ??? ??????? drvdrvrdvdsv oKK
二 汤姆逊定理、亥姆霍兹旋涡定理
用来描述旋涡运动特性的两个定理, 适用条件为,
1,理想流体
2,正压流体 ( )
3,在有势质量力作用下
首先引出流体线的概念 。
流体线,指在流场中任意指定的一段线, 该线段
在运动过程中始终是由同样的流体质点所组成 。
? ?p???
1,汤姆逊 （ Thomson） 定理
正压性的理想流体在有势的质量力作用下沿任何封闭流
体线的速度环量不随时间而变化, 即
证明：任选一封闭的流体线, 沿该封闭周线的速度环量
（ 1）
等式右边第一项写成
0??dtd
? ???? dzvdyvdxv zyx
?
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???
???
???
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)(
)]()()([
dz
dt
dv
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dt
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dt
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v
dzvdyvdxv
dt
d
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d
zyx
zyx
zyx
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dt
d
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dt
d
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dt
d
v
等式右边第二项, 由欧拉运动微分方程
那么得到
方程 （ 1） 可以写成
这是因为, v,U,p都是 x,y,z和 t的单值连续函数, 沿封
闭周线的积分等于零 。
得出结论：对于理想的正压流体, 在有势的质量力作用
下, 沿任何封闭的流体线的环量永远不会改变 。 又由斯
托克斯定理知, 在流场中已有的旋涡将永远不会消失,
即 理想流体中, 须旋涡不生不灭 。
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zyx
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0)2(])2([ 22 ???????? ?? pUvddpdUvddtd
2,亥姆霍兹 （ Helmholtz） 旋涡定理
有 3个基本定理, 这些基本定理说明了旋涡的
基本性质 。
(1) 亥姆霍兹第一定理 在同一瞬间涡管各
截面上的涡通量都相同
由该定理得到：涡管 （ 涡线 ） 本身首尾相接,
形成一封闭的涡环或涡圈；涡管 （ 涡线 ） 两端
可以终止于所研究流体的边壁上 （ 固体壁面或
自由面 ） 。
(2) 亥姆霍兹第二定理 （ 涡管守恒定理 ）
正压性的理想流体在有势的质量力作用下, 涡管永远
保持为由相同流体质点组成的涡管 。
(3) 亥姆霍兹第三定理 （ 涡管强度守恒定理 ）
在有势的质量力作用下, 正压理想流体中任何涡管的
强度不随时间而变化, 永远保持定值 。
在实际流体的流场中，开始并不存在旋涡，只是流体
绕过物体或流体流经特变的边界时才产生旋涡。这表
明，旋涡既能在流体中产生也会在流体中消失。粘性
是旋涡产生和消失的根本原因。
