第五章 相似理论与
量纲分析
流体力学的研究方法中实验研究既
是理论分析的依据，同时也是检验理论
的准绳，具有很重要的作用。
本章将探讨其理论基础,
相似理论 量纲分析
第一节 相似理论
为使模型流动能表现出实型流动的
主要现象和特性，并从模型流动上预测
出实型流动的结果，就必须使两者在流
动上相似，即两个互为相似流动的对应
部位上对应物理量都有一定的比例关系。
具体来说，两相似流动应几何相似,
运动相似,动力相似 。 两流动相似应满足
的条件
一 几何相似（空间相似）
定义,两流动的 对应边长 成同一比例，
对应角相等。
引入尺度比例系数
进而，面积比例系数
体积比例系数
C
l
lk
p
m
l ??
2
l
p
m
A kA
Ak ??
3
l
p
m
V kV
Vk ??
模型流动用下标
m表示
原型流动用下标 p
表示
二 运动相似（时间相似）
定义：两流动的对应点上的流体 速度矢
成同一比例。
引入速度比例系数
由于
因此
运动相似建立在几何相似基础上，那么
运动相似只需确定时间比例系数 就可以
了。运动相似也就被称之为时间相似。
C
v
vk
p
m
v ??
mmm tlv /? ppp tlv /?
t
l
pp
mm
v k
k
tl
tlk ??
tk
p
m
t t
tk ?
运动学物理量的比例系数都可以表示为尺
度比例系数和时间比例系数的不同组合形
式。
如,kv=klkt-1
ka=klkt-2
k?=kt-1
k?=kl2kt-1
kq=kl3kt-1
?的单位是 m2/s
q的单位是 m3/t
三 动力相似（受力相似）
定义：两流动的对应部位上 同名力矢 成
同一比例。引入力比例系数
也可写成
力学物理量的比例系数可以表示为密度,
尺度、速度比例系数的不同组合形式，如,
力矩 M 压强 p
功率 N 动力粘度 ?
C
F
Fk
p
m
F ??
2223 ))((
vltllamF kkkkkkkkkk ?? ???
?
? ?
? ?
23
vl
p
m
M kkkFl
Flk
???
321
vltMN kkkkkk ???
?
2
v
A
F
p
m
p kkk
k
p
pk
????
vlkkkk ?? ?
综上所述，要使模型流动和原型流动相
似，需要两者 在时空相似的条件下受力相
似 。
动力相似（受力相似）用相似准则（相
似准数）的形式来表示，即：要使模型流
动和原型流动动力相似，需要这两个流动
在时空相似的条件下各相似准则都相等。
四 相似准则
描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，
两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，下面
是模型流动和原型流动不可压缩流动的运动微分方程
在 x方向上的分量形式,
(1)
(2)
所有的同类物理量均具有各自的同一比例系数，有
如下关系式,
xm=xpkl ym=ypkl zm=zpkl
vxm=vxpkv vym=vypkv vzm=vzpkv tm=tpkt
?m=?pk? ?m=?pk? pm=ppkp fm=fpkf
xmm
m
m
xm
m
xm
zm
m
xm
ym
m
xm
xm
m
xm v
x
pf
z
vv
y
vv
x
vv
t
v ??
?
???
?
??
?
??
?
??
?
? ?
?
1
xpp
p
p
xp
p
xp
zp
p
xp
yp
p
xp
xp
p
xp v
x
pf
z
vv
y
vv
x
vv
t
v ??
?
???
?
??
?
??
?
??
?
? ?
?
1
将上述关系式带进方程（ 1）中，这时的方程应该和方
程（ 2）相同，因此得到
（ 3）
从左到右分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力,质量力、压力和摩擦力，（ 3）式表示模型流动和原型流
动的力多边形相似。
用（ 3）中的位变惯性力项除全式，得到
（ 4）
（ 4）式表示模型流动和原型流动在满足动力相似时各比
例系数之间有一个约束，对各项进一步分析得到以下相
似准则
2
2
l
v
l
p
g
l
v
t
v
k
kk
kk
kk
k
k
k
k ?
?
????
vlv
p
v
gl
vt
l
kk
k
kk
k
k
kk
kk
k ?
?
???? 221
1 Strouhal 相似准数 Sr=l/vt
表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运动
随时间变化的情况
2 Froude 相似准数 Fr=v2/gl
表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所起
的影响程度
3 Euler 相似准数 Eu=p/?v2
表示压力和惯性力的比值
4 Renolds 相似准数 Re=vl/?= ?vl/?
表示惯性力和粘性力之比
5 Mach 相似准数 Ma=v/c
表示弹性力和惯性力之比,c为声速，反映了流动的
压缩程度
综上所述，动力相似可以用相似准数表示，若原
型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如
果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是所
有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就
能满足乙。如果所有的相似准数都相等，意味着各比
例系数均等于 1，这实际上意味着模型流动和原型流动
各对应参数均相等，模型流动和原型流动就成为了相
等流动。因此，要使两者达到完全的动力相似，实际
上办不到，我们寻求的是 主要动力相似 。
要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解
决的原型流动的性质来决定，如对于重力起支配作用
的流动，选用 Froude准数为主要相似准数（决定性相
似准数），满足 Frm=Frp,此外
管道流动，流体机械中的流动, Rem=Rep,Re数为决定
性相似准数
非定常流动,Srm=Srp,Sr数为决定性相似准数
可压缩流动,Mam=Map,Ma数为决定性相似准数
总之,根据流动的性质来选取决定性相似准数
决定性相似准数的定义,
对该性质的流动以该决定性相似准数来判断是否
满足了主要动力相似。
只要满足了决定性相似准数相等后，就满足
了主要动力相似，抓住了解决问题的实质。
（注意：对于 Eu准数而言，在其他相似准数作为
决定性相似准数满足相等时,Eu准数同时可
以满足）
五 模型设计与数据换算
1 模型流动设计
设计模型流动，要使之成为原型流动的相似流动，
原则上要满足几何相似、运动相似和主要动力相似。
具体设计时，首先要考虑该流动性质选择决定性相似
准数，此外还要考虑实验规模和实验室的条件以及实
验时所采用的流体是否与原型流动中的流体相同且是
否同一温度等因素。
2 数据换算
从模型流动实验中测定的各个数据不能直接用到
原型流动中去，需要用到数据换算。由模型流动中已
确定的一些比例系数以及物理量之间的关系来确定其
他一些比例系数，这样，原型流动中所要获得的数据
就等于模型流动中的相应数据除以对应的比例系数。
例 1 有一轿车，高 h=1.5m，在公路上行驶，设计时速
v=108km/h，拟通过风洞中模型实验来确定此轿车在公
路上以此速行驶时的空气阻力。已知该风洞系低速全尺
寸风洞 (kl=2/3)，并假定风洞试验段内气流温度与轿车
在公路上行驶时的温度相同，试求：风洞实验时，风洞
实验段内的气流速度应安排多大？
解,首先根据流动性质确定决定性相似准数,这里选取
Re作为决定性相似准数,Rem=Rep，即 kvkl/k?=1,
再根据决定型相似准数相等，确定几个比例系数的相互
约束关系,这里 k?=1，所以 kv=kl-1，由于 kl=lm/lp=2/3，
那么 kv=vm/vp=1/kl=3/2
最后得到风洞实验段内的气流速度应该是
vm=vpkv=108× 3/2=162km/h=45m/s
例 2 在例 1中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在
风洞实验段中的风速为 45m/s时，空气阻力为 1000N，
问：此轿车以 108km/h的速度在公路上行驶时，所受的
空气阻力有多大？
解：在设计模型时，定下
k?=1 kl=2/3 kv=3/2
在相同的流体和相同的温度时，流体密度比例系
数 k?=1，那么力比例系数
kF= k? kl2 kv2=1× (2/3)2× (3/2)2=1
因此，该轿车在公路上以 108km/h的速度行驶所遇
到的空气阻力
Fp=Fm/kF=1000/1=1000N
第二节 量纲分析
一 量纲分析的基本概念
二 量纲和谐性原理
三 布金汉（ Buckingham） ?定理
一 量纲分析的基本概念
1 量纲
是物理量的 单位种类,又称因次，如长度、宽度、高
度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位
来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲
（长度量纲），用 L表示。
2 基本量纲 导出量纲
基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学领域中有
三个基本量纲,长度量纲 L 时间量纲 T 质量量纲 M
导出量纲由基本量纲组合表示，如
加速度的量纲 [a]=LT-2 力的量纲 [F]=[ma]=MLT-2
任何物理量 B的量纲可写成
[B]=M?L?T?
用 [ ]表示物理量的
量纲，用（ ）表
示物理量的单位
3 基本量 导出量
一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本
量）和其他物理量（导出量），后者可由前者通过某种
关系到除，前者互为独立的物理量。 基本量个数取基本
量纲个数，所取定的基本量必须包括三个基本量纲在内,
这就是选取基本量的原则 。
如 ?,v, l可以构成一组基本量，包含了 L, M, T
这三个基本量纲，而 a, v, l就不能构成基本量，因为不
包含基本量纲 M
4 无量纲量
指该物理量的量纲为 1，用 L0M0T0表示，实际是一个
数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的
综合物理量，如前面讲过的相似准数
1[ R e ] 12
1
????
?
?
??
??
?
?
TL
LLTvl
?
1][ 1 ?
?
??
?
?
??
??
? TLT
L
vt
lSr
二 量纲和谐性原理
量纲和谐性原理 又被称为 量纲一致性原理，也叫量纲
齐次性原理,指一个物理现象或一个物理过程用一个物
理方程表示时，方程中每项的量纲应该是和谐的、一致
的、齐次的。
一个正确的物理方程，式中的每项的量纲应该一样,
以能量方程为例
方程左边各项的量纲从左到右依次为,
C
g
v
g
pz ???
2
2
?
L LLTML TML ???
??
23
21
LLTTL ??
?
2
22
三 布金汉（ Buckingham） ?定理
对于某个物理现象或过程，如果存在有 n个变量互为 函数关系,
f(a1,a2,…a n)=0
而这些变量含有 m个基本量纲，可把这 n个变量转换成为
有 (n-m)=i个无量纲量的函数关系式
F(?1,?2,… ?n-m)=0
这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程
中的变量数减少了 m个，更为概括集中表示物理过程或
物理现象的内在关系。
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流
动的压降 ?p与下列因素有关：管径 d、管长 l、管壁粗
糙度 ?,管内流体密度 ?、流体的动力粘度 ?,以及断
面平均流速 v有关。试用 ?定理推出压降 ?p的表达形式。
解,所求解问题的原隐函数关系式为
f(?p,d,l,?,?,?,v)=0
有量纲的物理量个数 n=7，此问题的基本量纲有 L,M,
T三个,m=3，按 ?定理，这 n个变量转换成有 n-m=4个
无量纲量的函数关系式
F(?1,?2,?3,?4)=0
从 7个物理量中选出基本物理量 3个，如取 ?,d,v，而
其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
?1=l??1v?1d?1 ?2=???2v?2d?2 ?3=???3v?3d?3 ?4= ?p??4v?4d?4
将上述表达式写成量纲形式
[?1]=L(ML-3)?1(LT-1)?1L?1=M0L0T （ 1）
[?2]=L(ML-3)?2(LT-1)?2L?2=M0L0T0 （ 2）
[?3]=ML-1T-1(ML-3)?3(LT-1)?3L?3=M0L0T0 （ 3）
[?4]=ML-1T-2 (ML-3)?4(LT-1)?4L?4=M0L0T0 (4）
求解方程（ 1） M,??1=0
T,?1=0
L,-3 ?1+ ?1+?1+1=0 → ?1= -1
所以 ?1=l/d
求解方程（ 2） M,??2=0
T,?2=0
L,1-3 ?2+ ?2+?2=0 → ?2= -1
所以 ?2= ? /d
求解方程（ 3） M,1+??3=0 → ?3= -1
T,-1-?3=0 → ?3= -1
L,-1-3 ?3+ ?3+?3=0 → ?3= -1
所以 ?3=?/?vd=1/Re
求解方程（ 4） M,?1+?4=0 → ?4= -1
T,-2-?4=0 → ?4= -2
L,-1-3 ?4+ ?4+?4=0 → ?4= 0
所以 ?4= ?p / ?v2
因此，所解问题用无量纲数表示的方程为
F(l/d,? /d,1/Re,?p / ?v2)=0
至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。由上式
可知 ?p / ?v2与其余三个无量纲数有关，那么
?p/?v2=F1(l/d,? /d,1/Re)= (l/d)F2(? /d,1/Re)
?p/?g= ?p/?= (l/d)(v2/2g)F2(? /d,1/Re)
令 ?= F2(? /d,1/Re)
?p/?= ?(l/d)(v2/2g)
这就是达西公式,?为沿程阻力系数，表示了等直圆管
中流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成
正比，与管径成反比。
从该例题看出，利用 ?定理，可以在仅知与物理过
程有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的
基本结构形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还带
有待定的系数，这个系数要通过实验来确定。而量纲分
析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。因此,
量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。
量纲分析
流体力学的研究方法中实验研究既
是理论分析的依据，同时也是检验理论
的准绳，具有很重要的作用。
本章将探讨其理论基础,
相似理论 量纲分析
第一节 相似理论
为使模型流动能表现出实型流动的
主要现象和特性，并从模型流动上预测
出实型流动的结果，就必须使两者在流
动上相似，即两个互为相似流动的对应
部位上对应物理量都有一定的比例关系。
具体来说，两相似流动应几何相似,
运动相似,动力相似 。 两流动相似应满足
的条件
一 几何相似（空间相似）
定义,两流动的 对应边长 成同一比例，
对应角相等。
引入尺度比例系数
进而，面积比例系数
体积比例系数
C
l
lk
p
m
l ??
2
l
p
m
A kA
Ak ??
3
l
p
m
V kV
Vk ??
模型流动用下标
m表示
原型流动用下标 p
表示
二 运动相似（时间相似）
定义：两流动的对应点上的流体 速度矢
成同一比例。
引入速度比例系数
由于
因此
运动相似建立在几何相似基础上，那么
运动相似只需确定时间比例系数 就可以
了。运动相似也就被称之为时间相似。
C
v
vk
p
m
v ??
mmm tlv /? ppp tlv /?
t
l
pp
mm
v k
k
tl
tlk ??
tk
p
m
t t
tk ?
运动学物理量的比例系数都可以表示为尺
度比例系数和时间比例系数的不同组合形
式。
如,kv=klkt-1
ka=klkt-2
k?=kt-1
k?=kl2kt-1
kq=kl3kt-1
?的单位是 m2/s
q的单位是 m3/t
三 动力相似（受力相似）
定义：两流动的对应部位上 同名力矢 成
同一比例。引入力比例系数
也可写成
力学物理量的比例系数可以表示为密度,
尺度、速度比例系数的不同组合形式，如,
力矩 M 压强 p
功率 N 动力粘度 ?
C
F
Fk
p
m
F ??
2223 ))((
vltllamF kkkkkkkkkk ?? ???
?
? ?
? ?
23
vl
p
m
M kkkFl
Flk
???
321
vltMN kkkkkk ???
?
2
v
A
F
p
m
p kkk
k
p
pk
????
vlkkkk ?? ?
综上所述，要使模型流动和原型流动相
似，需要两者 在时空相似的条件下受力相
似 。
动力相似（受力相似）用相似准则（相
似准数）的形式来表示，即：要使模型流
动和原型流动动力相似，需要这两个流动
在时空相似的条件下各相似准则都相等。
四 相似准则
描述流体运动和受力关系的是流体运动微分方程，
两流动要满足相似条件就必须同时满足该方程，下面
是模型流动和原型流动不可压缩流动的运动微分方程
在 x方向上的分量形式,
(1)
(2)
所有的同类物理量均具有各自的同一比例系数，有
如下关系式,
xm=xpkl ym=ypkl zm=zpkl
vxm=vxpkv vym=vypkv vzm=vzpkv tm=tpkt
?m=?pk? ?m=?pk? pm=ppkp fm=fpkf
xmm
m
m
xm
m
xm
zm
m
xm
ym
m
xm
xm
m
xm v
x
pf
z
vv
y
vv
x
vv
t
v ??
?
???
?
??
?
??
?
??
?
? ?
?
1
xpp
p
p
xp
p
xp
zp
p
xp
yp
p
xp
xp
p
xp v
x
pf
z
vv
y
vv
x
vv
t
v ??
?
???
?
??
?
??
?
??
?
? ?
?
1
将上述关系式带进方程（ 1）中，这时的方程应该和方
程（ 2）相同，因此得到
（ 3）
从左到右分别表示单位质量的时变惯性力、位变惯性力,质量力、压力和摩擦力，（ 3）式表示模型流动和原型流
动的力多边形相似。
用（ 3）中的位变惯性力项除全式，得到
（ 4）
（ 4）式表示模型流动和原型流动在满足动力相似时各比
例系数之间有一个约束，对各项进一步分析得到以下相
似准则
2
2
l
v
l
p
g
l
v
t
v
k
kk
kk
kk
k
k
k
k ?
?
????
vlv
p
v
gl
vt
l
kk
k
kk
k
k
kk
kk
k ?
?
???? 221
1 Strouhal 相似准数 Sr=l/vt
表示时变惯性力和位变惯性力之比，反映了流体运动
随时间变化的情况
2 Froude 相似准数 Fr=v2/gl
表示惯性力和重力之比，反映了流体流动中重力所起
的影响程度
3 Euler 相似准数 Eu=p/?v2
表示压力和惯性力的比值
4 Renolds 相似准数 Re=vl/?= ?vl/?
表示惯性力和粘性力之比
5 Mach 相似准数 Ma=v/c
表示弹性力和惯性力之比,c为声速，反映了流动的
压缩程度
综上所述，动力相似可以用相似准数表示，若原
型和模型流动动力相似，各同名相似准数均相等，如
果满足则称为完全的动力相似。但是事实上，不是所
有的相似准数之间都是相容的，满足了甲，不一定就
能满足乙。如果所有的相似准数都相等，意味着各比
例系数均等于 1，这实际上意味着模型流动和原型流动
各对应参数均相等，模型流动和原型流动就成为了相
等流动。因此，要使两者达到完全的动力相似，实际
上办不到，我们寻求的是 主要动力相似 。
要达到主要动力相似就应该根据所研究或所需解
决的原型流动的性质来决定，如对于重力起支配作用
的流动，选用 Froude准数为主要相似准数（决定性相
似准数），满足 Frm=Frp,此外
管道流动，流体机械中的流动, Rem=Rep,Re数为决定
性相似准数
非定常流动,Srm=Srp,Sr数为决定性相似准数
可压缩流动,Mam=Map,Ma数为决定性相似准数
总之,根据流动的性质来选取决定性相似准数
决定性相似准数的定义,
对该性质的流动以该决定性相似准数来判断是否
满足了主要动力相似。
只要满足了决定性相似准数相等后，就满足
了主要动力相似，抓住了解决问题的实质。
（注意：对于 Eu准数而言，在其他相似准数作为
决定性相似准数满足相等时,Eu准数同时可
以满足）
五 模型设计与数据换算
1 模型流动设计
设计模型流动，要使之成为原型流动的相似流动，
原则上要满足几何相似、运动相似和主要动力相似。
具体设计时，首先要考虑该流动性质选择决定性相似
准数，此外还要考虑实验规模和实验室的条件以及实
验时所采用的流体是否与原型流动中的流体相同且是
否同一温度等因素。
2 数据换算
从模型流动实验中测定的各个数据不能直接用到
原型流动中去，需要用到数据换算。由模型流动中已
确定的一些比例系数以及物理量之间的关系来确定其
他一些比例系数，这样，原型流动中所要获得的数据
就等于模型流动中的相应数据除以对应的比例系数。
例 1 有一轿车，高 h=1.5m，在公路上行驶，设计时速
v=108km/h，拟通过风洞中模型实验来确定此轿车在公
路上以此速行驶时的空气阻力。已知该风洞系低速全尺
寸风洞 (kl=2/3)，并假定风洞试验段内气流温度与轿车
在公路上行驶时的温度相同，试求：风洞实验时，风洞
实验段内的气流速度应安排多大？
解,首先根据流动性质确定决定性相似准数,这里选取
Re作为决定性相似准数,Rem=Rep，即 kvkl/k?=1,
再根据决定型相似准数相等，确定几个比例系数的相互
约束关系,这里 k?=1，所以 kv=kl-1，由于 kl=lm/lp=2/3，
那么 kv=vm/vp=1/kl=3/2
最后得到风洞实验段内的气流速度应该是
vm=vpkv=108× 3/2=162km/h=45m/s
例 2 在例 1中，通过风洞模型实验，获得模型轿车在
风洞实验段中的风速为 45m/s时，空气阻力为 1000N，
问：此轿车以 108km/h的速度在公路上行驶时，所受的
空气阻力有多大？
解：在设计模型时，定下
k?=1 kl=2/3 kv=3/2
在相同的流体和相同的温度时，流体密度比例系
数 k?=1，那么力比例系数
kF= k? kl2 kv2=1× (2/3)2× (3/2)2=1
因此，该轿车在公路上以 108km/h的速度行驶所遇
到的空气阻力
Fp=Fm/kF=1000/1=1000N
第二节 量纲分析
一 量纲分析的基本概念
二 量纲和谐性原理
三 布金汉（ Buckingham） ?定理
一 量纲分析的基本概念
1 量纲
是物理量的 单位种类,又称因次，如长度、宽度、高
度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位
来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲
（长度量纲），用 L表示。
2 基本量纲 导出量纲
基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学领域中有
三个基本量纲,长度量纲 L 时间量纲 T 质量量纲 M
导出量纲由基本量纲组合表示，如
加速度的量纲 [a]=LT-2 力的量纲 [F]=[ma]=MLT-2
任何物理量 B的量纲可写成
[B]=M?L?T?
用 [ ]表示物理量的
量纲，用（ ）表
示物理量的单位
3 基本量 导出量
一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本
量）和其他物理量（导出量），后者可由前者通过某种
关系到除，前者互为独立的物理量。 基本量个数取基本
量纲个数，所取定的基本量必须包括三个基本量纲在内,
这就是选取基本量的原则 。
如 ?,v, l可以构成一组基本量，包含了 L, M, T
这三个基本量纲，而 a, v, l就不能构成基本量，因为不
包含基本量纲 M
4 无量纲量
指该物理量的量纲为 1，用 L0M0T0表示，实际是一个
数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的
综合物理量，如前面讲过的相似准数
1[ R e ] 12
1
????
?
?
??
??
?
?
TL
LLTvl
?
1][ 1 ?
?
??
?
?
??
??
? TLT
L
vt
lSr
二 量纲和谐性原理
量纲和谐性原理 又被称为 量纲一致性原理，也叫量纲
齐次性原理,指一个物理现象或一个物理过程用一个物
理方程表示时，方程中每项的量纲应该是和谐的、一致
的、齐次的。
一个正确的物理方程，式中的每项的量纲应该一样,
以能量方程为例
方程左边各项的量纲从左到右依次为,
C
g
v
g
pz ???
2
2
?
L LLTML TML ???
??
23
21
LLTTL ??
?
2
22
三 布金汉（ Buckingham） ?定理
对于某个物理现象或过程，如果存在有 n个变量互为 函数关系,
f(a1,a2,…a n)=0
而这些变量含有 m个基本量纲，可把这 n个变量转换成为
有 (n-m)=i个无量纲量的函数关系式
F(?1,?2,… ?n-m)=0
这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程
中的变量数减少了 m个，更为概括集中表示物理过程或
物理现象的内在关系。
例 经初步分析知道，在水平等直径圆管道内流体流
动的压降 ?p与下列因素有关：管径 d、管长 l、管壁粗
糙度 ?,管内流体密度 ?、流体的动力粘度 ?,以及断
面平均流速 v有关。试用 ?定理推出压降 ?p的表达形式。
解,所求解问题的原隐函数关系式为
f(?p,d,l,?,?,?,v)=0
有量纲的物理量个数 n=7，此问题的基本量纲有 L,M,
T三个,m=3，按 ?定理，这 n个变量转换成有 n-m=4个
无量纲量的函数关系式
F(?1,?2,?3,?4)=0
从 7个物理量中选出基本物理量 3个，如取 ?,d,v，而
其余物理量用基本物理量的幂次乘积形式表示
?1=l??1v?1d?1 ?2=???2v?2d?2 ?3=???3v?3d?3 ?4= ?p??4v?4d?4
将上述表达式写成量纲形式
[?1]=L(ML-3)?1(LT-1)?1L?1=M0L0T （ 1）
[?2]=L(ML-3)?2(LT-1)?2L?2=M0L0T0 （ 2）
[?3]=ML-1T-1(ML-3)?3(LT-1)?3L?3=M0L0T0 （ 3）
[?4]=ML-1T-2 (ML-3)?4(LT-1)?4L?4=M0L0T0 (4）
求解方程（ 1） M,??1=0
T,?1=0
L,-3 ?1+ ?1+?1+1=0 → ?1= -1
所以 ?1=l/d
求解方程（ 2） M,??2=0
T,?2=0
L,1-3 ?2+ ?2+?2=0 → ?2= -1
所以 ?2= ? /d
求解方程（ 3） M,1+??3=0 → ?3= -1
T,-1-?3=0 → ?3= -1
L,-1-3 ?3+ ?3+?3=0 → ?3= -1
所以 ?3=?/?vd=1/Re
求解方程（ 4） M,?1+?4=0 → ?4= -1
T,-2-?4=0 → ?4= -2
L,-1-3 ?4+ ?4+?4=0 → ?4= 0
所以 ?4= ?p / ?v2
因此，所解问题用无量纲数表示的方程为
F(l/d,? /d,1/Re,?p / ?v2)=0
至此，问题求解结束，进一步对上式整理规范。由上式
可知 ?p / ?v2与其余三个无量纲数有关，那么
?p/?v2=F1(l/d,? /d,1/Re)= (l/d)F2(? /d,1/Re)
?p/?g= ?p/?= (l/d)(v2/2g)F2(? /d,1/Re)
令 ?= F2(? /d,1/Re)
?p/?= ?(l/d)(v2/2g)
这就是达西公式,?为沿程阻力系数，表示了等直圆管
中流动流体的压降与沿程阻力系数、管长、速度水头成
正比，与管径成反比。
从该例题看出，利用 ?定理，可以在仅知与物理过
程有关物理量的情况下，求出表达该物理过程关系式的
基本结构形式。用量纲分析法所归纳出的式子往往还带
有待定的系数，这个系数要通过实验来确定。而量纲分
析法求解中已指定如何用实验来确定这个系数。因此,
量纲分析法也是流体力学实验的理论基础。
