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第三章 一元流体动力学
§ 3.1 研究流体运动的两种方法
§ 3.2 流体运动的基本概念
§ 3.3 流体微团运动分析
§ 3.4 连续性方程
§ 3.5 欧拉运动微分方程
§ 3.6 伯努利能量方程
§ 3.7 动量方程和动量矩方程
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§ 3.1 研究流体运动的两种方法
一,拉格朗日方法
拉格朗日方法着眼于流体质点，跟踪每个流体质点的
运动全过程及描述运动过程中各质点、各物理量随时间变
化的规律。又称轨迹法。通常以流体质点的初始坐标点作
为区别不同的流体质点的标志。设 t=t0时，流体质点的坐
标值是（ a,b,c）。
流体质点的空间位臵、密度、压强和温度可表示为,
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流体质点速度为,
流体质点加速度为,
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t
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z
y
y
x
x
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，，，
，，，
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二,欧拉法
欧拉法的着眼点不是流体质点, 而是空间点 。 欧拉法
是设法在空间的每一点上描述出流体运动参数随时间的变
化情况 。 观测先后流过各空间点的各个质点的物理量变化
情况, 便能了解整个或部分流场的运动情况, 故又称空间
点法或流场法 。 例如在气象观测中广泛使用欧拉法 。
由欧拉法特点可知，各物理量是空间点 x,y,z,t的
函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为,
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tzyxpp
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tzyxvv
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，，，＝
，，，
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加速度可表示为,
式中右端第一项 称为时变加速度, 表示某空间
定点处流体质点速度变化率；右端的后三项称为位变加速
度, 表示由于流体质点所在的空间位臵变化而引起的速度
变化率 。
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v
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v
x
v
v
t
v
t
dv
a
z
z
z
y
z
x
zz
z
y
z
y
y
y
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yy
y
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z
x
y
x
x
xx
x
t
v
t
v
t
v zyx
?
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?
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?
?,，
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§ 3.2 流体运动的基本概念
一,定常流动和非定常流动
流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时
间而变化，则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。
二,均匀流动和非均匀流动
流体运动过程中，若所有物理量皆不随空间点坐标而
变，则称此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。
三,一维、二维、三维流动
在设定坐标系中，有关物理量依赖于一个坐标，称为
一维流动，依赖于二个坐标，称为二维流动，依赖于三个
坐标，则称为三维流动。平面运动和轴对称运动是典型的
二维运动。
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四,迹线与流线
迹线是流体质点在空间运动时描绘的轨迹。它给出了
同一流体质点在不同时刻的空间位臵。
流线是指某一瞬时流场中一组假想的曲线，曲线上每
一点的切线都与速度矢量相重合。
由流线定义可推出流线的微分方程：空间点的速度与
流线相切，即空间点的速度矢量 v与流线上微元弧矢量 ds
的矢量积为零 。
又,
所以,
? ? ? ? ? ? 0＝kdxvdyvjdzvdxvidyvdzvsdv yxxzzy ????? ???????
0?? sdv ??
?
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0
0
0
＝
＝
＝
dxvdyv
dzvdxv
dyvdzv
yx
xz
zy
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即,
上式即为流线微分方程 。 因为流体中一点不能同时有
两个速度方向, 流线除在绕流中的驻点等特殊情况外, 流
线不能相交, 也不能转折, 只能是光滑曲线 。
五,流管, 过流断面, 流量, 断面平均流速和水力半径
流管,在流场中任取一条非流线的封闭曲线 c,通过此封
闭曲线上的每一点作某一瞬时的流线, 由这些流线所构成
的管状曲面称为流管 。 由流线定义可知, 位于流管表面上
的各流体质点的速度与流管表面相切, 没有其法向速度分
量, 因而流体质点不穿越流管壁 。
元流,当封闭曲线 c所包围的面积无限小时, 充满微小流
管内的流体称为元流或微小流束 。
zyx v
dz
v
dy
v
dx ??
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总流,当封闭曲线 c取在运动流体的边界上时, 则充满流
管内的流体称为总流 。
过流断面,与流束或总流的流线相垂直的断面称为过流断
面 。 当流线是平行的直线时, 过流断面是平面, 否则它是
不同形式的曲面 。
流量,单位时间内通过过流断面的流体量称为流量 。 流体
量可以用体积, 质量和重量表示, 其相应的流量分别是体
积流量 qv（ 由于体积流量使用较多, 故简写为 q）, 质量
流量 qm和重量流量 qG。
对于元流, 由于过流断面 dA非常小, 可以近似认为元
流过流断面上各点的流速在同一时刻是相同的, 因此元流
的流量为 。 式中 v为点流速 。
总流的流量则为,
vdAdq ?
?? AvdAq
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断面平均流速,作为一维流动, 常采用断面平均速度值代
替各点的实际流速, 称为断面平均流速 。 断面平均流速是
体积流量与过流断面面积之比, 即
水力半径,在总流的过流断面上与流体相接触的固体边壁
周长称为湿周, 用 χ 表示 。 总流过流断面面积与湿周 χ 之
比称为水力半径 R,即
A
udA
A
qv A???
?
AR?
2012-3-21 11
§ 3.3 流体微团运动分析
一、流体微团速度分析公式
刚体的一般运动可以分解为平移和转动之和 。 流体运动
除了平移和转动之外, 还有变形运动 。
如图, 流体微团内 点处的瞬时速度为
则 点领域内 处的同一瞬时的速度为
, 则
点 方向的速度可表示为
经配项整理, 上式可写成
? ?zyxM 0,，
0M
? ?tdzzdyydxxv,，,????
? ?tzyxv,，，
? ?dzzdyydxxM ???,，
M x
dzzvdyyvdxxvvv xxxxx ???????????
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令
则
同理,可写成
上式是流体微团的速度分解公式，也称亥姆霍兹速度
分解定理。右边第一项为平移速度，第二、三项为旋转和
变形引起的速度增量。
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x
v
z
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y
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x
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xy
z
zx
y
zx
xz
yx
xy
x
xx
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dyyvxv21dzxvzv21dzxvzv21dyxvyv21dxxvvv xyzxzxyxxxx ??
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dydzdzdydxvv zyxzxyxxxx ????? ???????
dzdxdzdydxvv xzyzyyyxyy ????? ???????
dxdydzdydxvv yxzzzyzxzz ????? ???????
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其中,为相对线变形速度,
为纯剪变形角速度,为旋转角速度矢量，并且
又
当 时，流动为有旋运动；
当 时，为无旋运动也称有势流动。
zxxzzyyzyxxy ??????,、、、、
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xz
xzzx
zy
zyyz
yx
yxxy
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zzyyxx ???,、
0???
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二、速度分解的物理意义
这里以流体微团平面运动为例, 深入了解亥姆霍兹定理
的内容 。 如图, 流体微团在初始时刻 t为矩形 ABCD,在 t+dt
时刻运动至 位臵并变形成为 。 设 A点速度
的两个分量为, C点的速度可化简为
将流体的运动过程分解为平移,
线变形, 旋转和纯剪变形运动 。
1,平移运动
平移表现在由 A点到 A'点的位移 。
DCBA ????????
??
?
?
?
?????
?????
dxdydxvv
dydydxvv
zyyyxyy
zxyxxxx
???
???
yx vv,
DCBA ????
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如果, 经过 dt时间后, 矩形微团
ABCD平移到 位臵, 微团形状不变 。 称为流
体微团的平移速度, 如图 a所示 。 yx
vv,DCBA ????
0zxyyyxx ???? ????
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2,线变形运动
当 时, 经过 dt时间后 ABCD变
成, 如图 b所示, 这时微团发生线变形运动 。 单位时
间内单位长度的线变形为相对线变形速度, 所以
称为相对线变形速度 。
3,旋转运动
当, 经过 dt时间后 ABCD
发生旋转运动, 如图 c所示, 是流体微团整体绕通过 A点 z轴
的旋转角速度, 并且 。
4,纯剪变形运动
当 时, 经过 dt时间后 ABCD发生纯
剪变形, 如图 d所示 。 是纯剪切角, 是
微团一个边绕通过 A点的 z轴的单位时间之剪切角 。
0vv zyyxxyx ????? ???
0vv zyxxyyx ????? ???
0vv yxxyyyxxyx ?????? ????
DCBA ????
zzyyxx ???,、
dtdxy ?? ?DCBA ???? ?d
z?
dtdz ?? ?
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§ 3.4 连续性方程
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表
达式 。
一, 三维流动连续性方程
假定流体连续地
充满整个流场, 从中
任取出以
点为中心的微小六面
体空间作为控制体如
右图 。 控制体的边长
为 dx,dy,dz,分别
平行于直角坐标轴 x,
? ?zyxo,，?
2012-3-21 18
y,z。设控制体中心点处流速的三个分量为,液
体密度为 。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶
微量，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质
点的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点 M的质点
在 x方向的分速度为
通过控制体后表面中心点 N的质点在 x方向的分速度为
因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分
布。所以单位时间内沿 x轴方向流入控制体的质量为
zyx vvv,，
?
dx
x
vv x
x ?
??
2
1
dx
x
vv x
x ?
??
2
1
? ? d y d zdx
x
vv x
x ??
?
??
?
?
?? ??
2
1
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流出控制体的质量为
于是, 单位时间内在 x方向流出与流入控制体的质量差为
同理可得在单位时间内沿 y,z方向流出与流入控制体的质
量差为
和
由连续介质假设, 并根据质量守恒原理知：单位时间内流
出与流入控制体的质量差的总和应等于六面体在单位时间
内所减少的质量 。 所以
? ? ? ? ? ? d x d y d z
x
vd y d zdx
x
vvd y d zdx
x
vv xx
x
x
x ?
??
??
?
??
?
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???
??
?
??
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2
1
2
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td x d y d ztd x d y d zz
v
y
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v zyx
?
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? ?????
? ? d y d zdx
x
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2
1
? ? d x d ydz
y
v y
?
? ? ? ?
d x d ydzzv z?? ?
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整理得
此式即为连续性微分方程的一般形式 。 适用于定常流及非
定常流 。
对于定常流：, 上式成为
对于均质不可压缩流体, 则不论定常流或非定常流均
有
对二维流动连续性微分方程为
上面四个方程对于理想流体和实际流体均适用 。
? ? ? ? ? ? 0?
?
??
?
??
?
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?
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z
v
y
v
x
v
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zyx ????
0???t?
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v zyx ???
c??
0?
?
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z
v
y
v
x
v zyx
0?????? yvxv yx
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二, 一维不可压缩流体定常总流连续性方程
如图, 从总流中任取一段, 进, 出口断面的面积分别
为 A1,A2,在从总流中任取一个元流, 其进, 出口断面的
面积和流速分别为 dA1,v1； dA2,v2。 根据质量守恒原理,
单位时间内从 dA1流进的流体质量等于从 dA2流出的流体质
量, 即
对于不可压缩均质流体, 。 上式变为
总流是流场中所有元流的总
和, 所以由上式可写出总流
连续性方程
cdAvdAv ?? 222111 ??
c?? 21 ??
cdqdAvdAv ??? 2211
2211 AvAv ?
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§ 3.5 欧拉运动微分方程
欧拉运动微分方程是理想流体的运动微分方程, 是牛
顿第二定律在理想流体中的具体应用 。 这里采用微元体积
法导出欧拉运动微分方程 。
如图, 在流场中建立直角坐标系 oxyz,任取一微元六
面体, 其边长分别为 dx,dy,dz。
形心为 。 a处的压强为
, 速度为,
,, 六面
体平均密度为, 作用在六面体
上的力有表面力和质量力 。
? ?zyxa,，
?
? ?zyxp,，
? ?zyxv z,，? ?zyxv y,，
? ?zyxv x,，
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以 x方向为例进行分析,
1,x方向的表面力
由于讨论的流体是理想流体, 作用在流体表面上的力
只有法向力, 其方向为内法线方向 。 作用在六面体 x方向
的表面力只在 ABCD,EFGH两个面上有分力其余各面为 0。
则作用在 ABCD上的表面力为
作用在 EFGH上的表面力为
因此作用在该微元体 x方向的表面力为,
d y d zdx
x
pp ?
?
??
?
?
?
???
2
1
d y d zdx
x
pp ?
?
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?
?
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???
2
1
dx dy dz
x
p
?
??
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2,x方向的质量力
设作用在六面体上沿 x轴的单位质量力为, 则流体质量
力在 x方向的投影为 。
根据牛顿第二定律, 作用在流体上的诸力在任一轴投影
的代数和应等于流体的质量与该轴上加速度投影的乘积 。 故
对 x轴有
同理可得 y,z方向方程 。 将各式除以
微元体质量得理想流体运动微分方程,
也称欧拉运动微分方程 （ 见右式 ） 。
此式对可压缩及不可压缩或定常流及
非定常流的理想流体均适用。
dt
dvd x d y d zd x d y d z
x
pd x d y d zf x
x ?? ??
??
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dt
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z
z
y
y
x
x
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1
1
1
xf
dxdydzf x?
2012-3-21 25
§ 3.6 伯努利能量方程
一、理想流体运动微分方程的伯努利积分
欧拉运动微分方程只能在满足某些特定条件的情况下
才能求其解。这些特定条件为,
定常流
均质不可压缩流体，即 ；
质量力有势，设 W（ x,y,z）为质量力势函数，则,
c＝?
dpdz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
t
p
t
v
t
v
t
v
zyx
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0
z
Wf
y
Wf
x
Wf
zyx ?
??
?
??
?
??,，
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对定常的有势质量力
沿流线积分
在定常流条件下沿流线积分就是沿迹线积分，沿流线
取微元位移 ds（ dx,dy,dz） 则有
上述积分条件称为伯努利积分条件。将流线上所取的 ds的
三个分量 dx,dy,dz分别乘欧拉运动微分方程式，然后将
三个等式相加得
dWdz
z
Wdy
y
Wdx
x
Wdzfdyfdxf
zyx ＝＝ ?
??
?
??
?
???
zyx vdt
dzv
dt
dyv
dt
dx ???,，
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dt
dvdy
dt
dvdx
dt
dvdz
z
pdy
y
pdx
x
pdzfdyfdxf zyx
zyx ??????
?
???
?
?
??
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??
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???
?
1－
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利用上述四个积分条件得
因 为常数，故上式可以写为
积分得
此式即为欧拉运动微分方程的伯努利积分, 它表明：对于
不可压缩理想流体, 在有势质量力作用下作定常流时, 在
同一条流线上 值保持不变, 该常数值称为伯努利
积分常数 。 对于不同的流线伯努利积分常数一般不相同 。
0
2
2
???
?
?
???
? ?? vpWd
?
cvpW ???
2
2
?
? ? ??
?
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??
?
?
???????
22
11 2222 v
dvvvddvvdvvdvvdpdW zyxzzyyxx ＝
?
?
???
?
???
? ??
2
2vp
W ?
2012-3-21 28
二、重力作用下理想流体元流的伯努利方程
当元流的过流断面面积趋于 0时, 元流便是流线 。 所
以前式也适用于元流 。
若作用在理想流体上的质量力只有重力, 则有
将其代入前式得
对元流任意两断面的中心点或一条流线上的任意两点 1与 2，
上式可改写为
此式即为理想流体元流或流线的伯努利方程 。
c
g
vp
z ???
2
2
?
g
vpz
g
vpz
22
2
22
2
2
11
1 ????? ??
gzW ??
2012-3-21 29
三、理想流体元流伯努利方程的几何意义与能量意义
1,几何意义
伯努利方程式每一项的量纲与长度相同, 都表示某一高
度 。 如图,
,表示研究点相对某一基准面的几何高度, 称位臵水头 。
,表示研究点处压强大小的高度, 表示与该点相对压强
相当的液柱高度, 称压强水头 。
,称测压管水头 。
,表示研究点处速度大小的高度,
称流速水头 。
,称总水头 。
?p
gv 22
z
?pz?
gvpz 22＋??
2012-3-21 30
伯努利方程表明重力作用下不可压缩理想流体定常流
动过程中三种形式的水头可互相转化, 但总水头沿流程守
恒 。
2,能量意义
,表示单位质量流体对某一基准具有的位臵势能 。
,表示单位质量流体具有的压强势能 。
,表示单位质量流体具有的动能 。
伯努利方程也表明重力作用下不可压缩理想流体定常
流动过程中单位重量流体所具有的位能, 动能和压强势能
可互相转化, 但总机械能保持不变 。
zg
?p
22v
2012-3-21 31
例题,（ 毕托管 ）
毕托管是一种测定空间点流速的仪器 。 如图, 若要测
定管流液体中 A点的流速 v,可由测压管测出该点的测压管
液柱高度, 并在 A点下游相距很近的地方放一根测速管 。
测速管是弯成直角而两端开口的细管, 一端的出口臵于与
A点相距很近的 B点处, 并正对来流, 另一端向上 。 在 B点
处由于测速管的阻滞, 流速为 0,动能全部转化为压能, 测
速管中液面升高为 。
B点称为滞止点或驻点 。
应用理想流体定常流沿流线
的伯努利方程于 A,B两点, 并取
AB连线所在平面作为基准面, 则
有
?Ap
?p?
2012-3-21 32
得
即
对于实际液体在应用上式计算 A点流速时，需考虑液
体粘性对液体运动的阻滞作用，以及毕托管放入流场后对
流动的干扰，应使用修正系数,对该式的计算结果加以
修正。一般 小于 1，即
式中 为流速系数，其值一般由试验率定。
0
2
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p
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2012-3-21 33
四、实际流体定常元流伯努利方程
实际流体具有粘性, 因此流动过程中会有能量损失
（ 如发热, 发声等 ） 。 设元流中单位重量流体由 1-1断面
流到 2-2断面的能量损失为, 根据能量守恒定律有, 可
以写出实际流体元流伯努利方程为,
五、实际流体定常总流伯努利方程
1,实际流体总流伯努利方程
实际工程的管道或渠道中的流动, 都是有限断面的总
流 。 因此, 应将元流的伯努利方程推广到总流中去 。 如后
图为实际流体的总流, 1-1和 2-2为两个过流 断面 。 任取一
微元流管, 其流管的两个微元断面为 dA1i和 dA2i,其中的
wh?
whg
vp
z
g
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2
22
2
2
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1 ??
2012-3-21 34
微元流束为 i,当不可压缩实际流体作定常流动, 且质量
力只有重力时, 列出微元流束中单位重量流体在 1-1和 2-2
断面之间的伯努利方程, 得
将上式两边乘以重量流量, 得
则单位时间流过过流断面 1-1和 2-2流体的伯努利方程为
22
2
22
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ii
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vpzdAv
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?
2012-3-21 35
因渐变流过流断面上流体压强按静压强规律分布，即
为对上式进行积分运算，需将过流断面取在渐变流过流断
面上。这样
另外，若以平均流速计算单位时间内通过过流断面的流体
动能，则
其中 为动能修正系数。动能修正系数定义为用真实速度
计算的动能与平均流速计算的动能间比值。
qpzdAvpz
A
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2012-3-21 36
单位时间内流体克服摩擦阻力消耗的能量 不易通过
积分确定, 可令
上式为总流从 1－ 1至 2－ 2断面流动中, 单位质量流体的平
均能量损失, 对水而言称水头损失 。
经前面处理后, 可得重力作用下不可压缩实际流体定
常总流伯努利方程,
即
由实际流体总流伯努利方程的各种水头关系图可知,
实际流体在 流动过程中单位重量流体总机械能沿程减少 。
wqhqg
vpzq
g
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2012-3-21 37
总流伯努利能量方程是在一定条件下推导出来的，所
以应用这一方程时要满足以下限制条件,
流动定常；
流体上作用的质量力只有重力；
流体不可压缩；
列伯努利方程的过流断面上的流动必须是渐变流；
与断面流速分布有关，因而受流态影响。在渐变流情
况下，可取 1。
?
2012-3-21 38
2、有分流或汇流时实际流体总流伯努利方程
如图为沿程有分流或汇流的情况。
在分流时,。可 分别列出
断面 1,2及断面 1,3之间可伯努利方程
将上面第一、二个方程两边分别乘以 再相加，得
总能量守恒的伯努利方程
对于汇流情况，也可分别列出 1,3及 2,3的伯努利方程，同
32 gqgq ??,
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g
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g
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2012-3-21 39
理可得总能量守恒的伯努利方程
3、有机械能输入或输出时总流伯努利方程
沿总流两过流断面间装有水泵、风机或水轮机等装臵，
流体流经水泵或风机时将获得能量，流经水轮机时将失去
能量。设流体获得或失去能量头为,则总流伯努利方
程为
式中 前的正、负号，获得能量为正，失去能量为负。
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21
2
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2
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2012-3-21 40
例题,（文丘里管）
文丘里管用于测量管道中的流量 。 如图, 文丘里管由
入口段, 收缩段, 喉部和扩散段组成 。 在文丘里管入口断
面 1和喉部处断面 2两处测量压差, 设断面 1,2的平均速度,
平均压强和断面面积分别为 和, 流体密
度为 。 由伯努利方程 （ 忽略能量损失 ） 和连续性方程可
得出,
取, 可得计算流量的公式
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222 Apv,、
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g
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2012-3-21 41
在应用中, 考虑到粘性引起的截面上速度分布的不均
匀以及流动中的能量损失, 计算流量时, 还应乘上修正系
数, 即
称为文丘里流量系数, 由实验标定 。
2
1
2
2
2
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2012-3-21 42
§ 3.7 动量方程和动量矩方程
一、动量方程
动量方程是动量守恒定律在流体力学中的具体表达。
本节讨论流体作定常流动时的动量变化和作用在流体上的
外力之间的关系。一般力学中动量定理表述为：物体动量
的时间变化率等于作用在该物体上的所有外力的矢量和。
在此先建立控制体的概念：所谓控制体是空间的一个
固定不变的区域，它的边界面称为控制面。
vmk
dt
kd
F
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?
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2012-3-21 43
如图, 现以总流的一段管段为例 。 取断面 1和 2以及其
间管壁表面所组成的封闭曲面为控制面, 内部的空间为控
制体 。 流体从控制面 1流入控制体, 从控制面 2流出, 管壁
可看成流管, 无流体进出 。
在 t时刻流段所具有的动量为
经过 dt时段后, 流段移动到
, 这时流段所具有的动
量为
对定常流有
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? ? 222121 ???????? ?? kkk t
? ? ? ? tt kk ?????? ? 2121 0
21 ??－
2012-3-21 44
所以
在此流段的总流中任取一元流, 设进, 出口断面 1-1
和 2-2上的过水面积为 dA1,dA2,则
令动量修正系数, 则上式可进一步写成
其中 。 将这些关系代入动量定
理的表达式中, 可得
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dtvAvk 1111111 ?? ?????
qqqAvAv ????? ???? 2211222111
2012-3-21 45
上式为恒定流总流动量方程 。 它是矢量方程, 实际上常用
三个坐标轴上的投影式表示, 即
应用动量方程解题时要注意以下几点,
动量方程是一个矢量方程, 经常使用投影式 。 注意外力,
速度和方向问题, 它们与坐标方向一致时为正, 反之为负 。
在考虑外力时注意控制体外的流体通过进口断面和出口断
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1122
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2012-3-21 46
面对控制体内流体的作用力 。
外力中包含了壁面对流体作用力, 而求解问题中往往需
要确定流体作用在壁面上的力, 这两个力按牛顿第三定
理 。
动量修正系数在计算要求精度不高时, 常取 1。
R?
R??
RR ?? ??
2012-3-21 47
例题,如图, 有一水平放臵的变直径弯曲管道, d1=500mm，
d2=400mm,转角 α= 45o,断面 1-1处流速 v1=1.2m/s,压强
p1=245kPa,求水流对弯管的作用力 （ 不计弯管能量损失 ） 。
解：因弯管水平放臵, 故此弯管液体所受重力在平面内投
影分量等于零, 沿管轴线取基准面, 则,
2012-3-21 48
列 1,2断面能量方程, 得
p2=243.96kPa
任设弯管对水流作用力 R的方向, 如图, 它在 x,y轴上的
投影分量为 Rx,Ry。 分别列两坐标轴方向的动量方程, 则
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2.1
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2012-3-21 49
水对弯管的作用力,
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2012-3-21 50
二、动量矩方程
动量矩方程表达运动流体动量矩的变化率与所受外力
矩之间的关系 。 有前面推导可知：对于定常流动, 动量方
程矢量式为,
设 0为某一固定点, 用, 和 分别代表从 0到进, 出流过
流断面中心的矢径和到外力作用点的矢径, 则由动量矩定
理有,
此式就是动量矩方程 。 表示单位时间内流出, 流进控
制面的流体对某固定点的动量矩之差, 等于作用在流体上
的所有外力对同一点力矩的矢量和 。
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2012-3-21 51
现将动量矩方程应用到旋转叶轮机械在叶轮通道内的
流体上, 以离心泵叶轮为例 。 如图, 流体从叶轮的内圈入
口流入, 经叶轮流道于外圈出口流出 。 进出口半径分别为
r1,r2, 叶轮以一定角速度旋转 。 假设流体是理想的, 流
动是定常的, 叶轮内的流动是轴对称的 。 则可列出水泵叶
轮的动量矩方程为 （ 令 ）
其中 为叶轮作用在流体上的总力矩,
为绝对速度与牵连速度之间的夹角 。
叶轮对流体所作的功率为
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c o sc o s ???
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2012-3-21 52
其中,为叶轮出口与入口处的牵连速度。
为叶轮出口与入口处绝对速度在圆周切线方
向的投影速度。
叶轮对单位重量流体所作的功为
这是旋转涡轮机械的基本方程式。
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vv
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、
、
第三章 一元流体动力学
§ 3.1 研究流体运动的两种方法
§ 3.2 流体运动的基本概念
§ 3.3 流体微团运动分析
§ 3.4 连续性方程
§ 3.5 欧拉运动微分方程
§ 3.6 伯努利能量方程
§ 3.7 动量方程和动量矩方程
2012-3-21 2
§ 3.1 研究流体运动的两种方法
一,拉格朗日方法
拉格朗日方法着眼于流体质点，跟踪每个流体质点的
运动全过程及描述运动过程中各质点、各物理量随时间变
化的规律。又称轨迹法。通常以流体质点的初始坐标点作
为区别不同的流体质点的标志。设 t=t0时，流体质点的坐
标值是（ a,b,c）。
流体质点的空间位臵、密度、压强和温度可表示为,
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2012-3-21 3
流体质点速度为,
流体质点加速度为,
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2012-3-21 4
二,欧拉法
欧拉法的着眼点不是流体质点, 而是空间点 。 欧拉法
是设法在空间的每一点上描述出流体运动参数随时间的变
化情况 。 观测先后流过各空间点的各个质点的物理量变化
情况, 便能了解整个或部分流场的运动情况, 故又称空间
点法或流场法 。 例如在气象观测中广泛使用欧拉法 。
由欧拉法特点可知，各物理量是空间点 x,y,z,t的
函数。所以速度、密度、压强和温度可表示为,
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2012-3-21 5
加速度可表示为,
式中右端第一项 称为时变加速度, 表示某空间
定点处流体质点速度变化率；右端的后三项称为位变加速
度, 表示由于流体质点所在的空间位臵变化而引起的速度
变化率 。
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2012-3-21 6
§ 3.2 流体运动的基本概念
一,定常流动和非定常流动
流体运动过程中，若各空间点上对应的物理量不随时
间而变化，则称此流动为定常流动，反之为非定常流动。
二,均匀流动和非均匀流动
流体运动过程中，若所有物理量皆不随空间点坐标而
变，则称此流动为均匀流动，反之为非均匀流动。
三,一维、二维、三维流动
在设定坐标系中，有关物理量依赖于一个坐标，称为
一维流动，依赖于二个坐标，称为二维流动，依赖于三个
坐标，则称为三维流动。平面运动和轴对称运动是典型的
二维运动。
2012-3-21 7
四,迹线与流线
迹线是流体质点在空间运动时描绘的轨迹。它给出了
同一流体质点在不同时刻的空间位臵。
流线是指某一瞬时流场中一组假想的曲线，曲线上每
一点的切线都与速度矢量相重合。
由流线定义可推出流线的微分方程：空间点的速度与
流线相切，即空间点的速度矢量 v与流线上微元弧矢量 ds
的矢量积为零 。
又,
所以,
? ? ? ? ? ? 0＝kdxvdyvjdzvdxvidyvdzvsdv yxxzzy ????? ???????
0?? sdv ??
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xz
zy
2012-3-21 8
即,
上式即为流线微分方程 。 因为流体中一点不能同时有
两个速度方向, 流线除在绕流中的驻点等特殊情况外, 流
线不能相交, 也不能转折, 只能是光滑曲线 。
五,流管, 过流断面, 流量, 断面平均流速和水力半径
流管,在流场中任取一条非流线的封闭曲线 c,通过此封
闭曲线上的每一点作某一瞬时的流线, 由这些流线所构成
的管状曲面称为流管 。 由流线定义可知, 位于流管表面上
的各流体质点的速度与流管表面相切, 没有其法向速度分
量, 因而流体质点不穿越流管壁 。
元流,当封闭曲线 c所包围的面积无限小时, 充满微小流
管内的流体称为元流或微小流束 。
zyx v
dz
v
dy
v
dx ??
2012-3-21 9
总流,当封闭曲线 c取在运动流体的边界上时, 则充满流
管内的流体称为总流 。
过流断面,与流束或总流的流线相垂直的断面称为过流断
面 。 当流线是平行的直线时, 过流断面是平面, 否则它是
不同形式的曲面 。
流量,单位时间内通过过流断面的流体量称为流量 。 流体
量可以用体积, 质量和重量表示, 其相应的流量分别是体
积流量 qv（ 由于体积流量使用较多, 故简写为 q）, 质量
流量 qm和重量流量 qG。
对于元流, 由于过流断面 dA非常小, 可以近似认为元
流过流断面上各点的流速在同一时刻是相同的, 因此元流
的流量为 。 式中 v为点流速 。
总流的流量则为,
vdAdq ?
?? AvdAq
2012-3-21 10
断面平均流速,作为一维流动, 常采用断面平均速度值代
替各点的实际流速, 称为断面平均流速 。 断面平均流速是
体积流量与过流断面面积之比, 即
水力半径,在总流的过流断面上与流体相接触的固体边壁
周长称为湿周, 用 χ 表示 。 总流过流断面面积与湿周 χ 之
比称为水力半径 R,即
A
udA
A
qv A???
?
AR?
2012-3-21 11
§ 3.3 流体微团运动分析
一、流体微团速度分析公式
刚体的一般运动可以分解为平移和转动之和 。 流体运动
除了平移和转动之外, 还有变形运动 。
如图, 流体微团内 点处的瞬时速度为
则 点领域内 处的同一瞬时的速度为
, 则
点 方向的速度可表示为
经配项整理, 上式可写成
? ?zyxM 0,，
0M
? ?tdzzdyydxxv,，,????
? ?tzyxv,，，
? ?dzzdyydxxM ???,，
M x
dzzvdyyvdxxvvv xxxxx ???????????
2012-3-21 12
令
则
同理,可写成
上式是流体微团的速度分解公式，也称亥姆霍兹速度
分解定理。右边第一项为平移速度，第二、三项为旋转和
变形引起的速度增量。
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2
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z
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2
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y
v
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v
xy
z
zx
y
zx
xz
yx
xy
x
xx
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dyyvxv21dzxvzv21dzxvzv21dyxvyv21dxxvvv xyzxzxyxxxx ??
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dydzdzdydxvv zyxzxyxxxx ????? ???????
dzdxdzdydxvv xzyzyyyxyy ????? ???????
dxdydzdydxvv yxzzzyzxzz ????? ???????
2012-3-21 13
其中,为相对线变形速度,
为纯剪变形角速度,为旋转角速度矢量，并且
又
当 时，流动为有旋运动；
当 时，为无旋运动也称有势流动。
zxxzzyyzyxxy ??????,、、、、
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v21kji zyx ?
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zx
y
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xz
xzzx
zy
zyyz
yx
yxxy
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zzyyxx ???,、
0???
2012-3-21 14
二、速度分解的物理意义
这里以流体微团平面运动为例, 深入了解亥姆霍兹定理
的内容 。 如图, 流体微团在初始时刻 t为矩形 ABCD,在 t+dt
时刻运动至 位臵并变形成为 。 设 A点速度
的两个分量为, C点的速度可化简为
将流体的运动过程分解为平移,
线变形, 旋转和纯剪变形运动 。
1,平移运动
平移表现在由 A点到 A'点的位移 。
DCBA ????????
??
?
?
?
?????
?????
dxdydxvv
dydydxvv
zyyyxyy
zxyxxxx
???
???
yx vv,
DCBA ????
2012-3-21 15
如果, 经过 dt时间后, 矩形微团
ABCD平移到 位臵, 微团形状不变 。 称为流
体微团的平移速度, 如图 a所示 。 yx
vv,DCBA ????
0zxyyyxx ???? ????
2012-3-21 16
2,线变形运动
当 时, 经过 dt时间后 ABCD变
成, 如图 b所示, 这时微团发生线变形运动 。 单位时
间内单位长度的线变形为相对线变形速度, 所以
称为相对线变形速度 。
3,旋转运动
当, 经过 dt时间后 ABCD
发生旋转运动, 如图 c所示, 是流体微团整体绕通过 A点 z轴
的旋转角速度, 并且 。
4,纯剪变形运动
当 时, 经过 dt时间后 ABCD发生纯
剪变形, 如图 d所示 。 是纯剪切角, 是
微团一个边绕通过 A点的 z轴的单位时间之剪切角 。
0vv zyyxxyx ????? ???
0vv zyxxyyx ????? ???
0vv yxxyyyxxyx ?????? ????
DCBA ????
zzyyxx ???,、
dtdxy ?? ?DCBA ???? ?d
z?
dtdz ?? ?
2012-3-21 17
§ 3.4 连续性方程
连续性方程是质量守恒定律在流体力学中的具体表
达式 。
一, 三维流动连续性方程
假定流体连续地
充满整个流场, 从中
任取出以
点为中心的微小六面
体空间作为控制体如
右图 。 控制体的边长
为 dx,dy,dz,分别
平行于直角坐标轴 x,
? ?zyxo,，?
2012-3-21 18
y,z。设控制体中心点处流速的三个分量为,液
体密度为 。将各流速分量按泰勒级数展开，并略去高阶
微量，可得到该时刻通过控制体六个表面中心点的流体质
点的运动速度。例如：通过控制体前表面中心点 M的质点
在 x方向的分速度为
通过控制体后表面中心点 N的质点在 x方向的分速度为
因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分
布。所以单位时间内沿 x轴方向流入控制体的质量为
zyx vvv,，
?
dx
x
vv x
x ?
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2
1
dx
x
vv x
x ?
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2
1
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x
vv x
x ??
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?
?? ??
2
1
2012-3-21 19
流出控制体的质量为
于是, 单位时间内在 x方向流出与流入控制体的质量差为
同理可得在单位时间内沿 y,z方向流出与流入控制体的质
量差为
和
由连续介质假设, 并根据质量守恒原理知：单位时间内流
出与流入控制体的质量差的总和应等于六面体在单位时间
内所减少的质量 。 所以
? ? ? ? ? ? d x d y d z
x
vd y d zdx
x
vvd y d zdx
x
vv xx
x
x
x ?
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td x d y d ztd x d y d zz
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2
1
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y
v y
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d x d ydzzv z?? ?
2012-3-21 20
整理得
此式即为连续性微分方程的一般形式 。 适用于定常流及非
定常流 。
对于定常流：, 上式成为
对于均质不可压缩流体, 则不论定常流或非定常流均
有
对二维流动连续性微分方程为
上面四个方程对于理想流体和实际流体均适用 。
? ? ? ? ? ? 0?
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z
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v
y
v
x
v zyx
0?????? yvxv yx
2012-3-21 21
二, 一维不可压缩流体定常总流连续性方程
如图, 从总流中任取一段, 进, 出口断面的面积分别
为 A1,A2,在从总流中任取一个元流, 其进, 出口断面的
面积和流速分别为 dA1,v1； dA2,v2。 根据质量守恒原理,
单位时间内从 dA1流进的流体质量等于从 dA2流出的流体质
量, 即
对于不可压缩均质流体, 。 上式变为
总流是流场中所有元流的总
和, 所以由上式可写出总流
连续性方程
cdAvdAv ?? 222111 ??
c?? 21 ??
cdqdAvdAv ??? 2211
2211 AvAv ?
2012-3-21 22
§ 3.5 欧拉运动微分方程
欧拉运动微分方程是理想流体的运动微分方程, 是牛
顿第二定律在理想流体中的具体应用 。 这里采用微元体积
法导出欧拉运动微分方程 。
如图, 在流场中建立直角坐标系 oxyz,任取一微元六
面体, 其边长分别为 dx,dy,dz。
形心为 。 a处的压强为
, 速度为,
,, 六面
体平均密度为, 作用在六面体
上的力有表面力和质量力 。
? ?zyxa,，
?
? ?zyxp,，
? ?zyxv z,，? ?zyxv y,，
? ?zyxv x,，
2012-3-21 23
以 x方向为例进行分析,
1,x方向的表面力
由于讨论的流体是理想流体, 作用在流体表面上的力
只有法向力, 其方向为内法线方向 。 作用在六面体 x方向
的表面力只在 ABCD,EFGH两个面上有分力其余各面为 0。
则作用在 ABCD上的表面力为
作用在 EFGH上的表面力为
因此作用在该微元体 x方向的表面力为,
d y d zdx
x
pp ?
?
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?
?
?
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2
1
d y d zdx
x
pp ?
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2
1
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x
p
?
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2012-3-21 24
2,x方向的质量力
设作用在六面体上沿 x轴的单位质量力为, 则流体质量
力在 x方向的投影为 。
根据牛顿第二定律, 作用在流体上的诸力在任一轴投影
的代数和应等于流体的质量与该轴上加速度投影的乘积 。 故
对 x轴有
同理可得 y,z方向方程 。 将各式除以
微元体质量得理想流体运动微分方程,
也称欧拉运动微分方程 （ 见右式 ） 。
此式对可压缩及不可压缩或定常流及
非定常流的理想流体均适用。
dt
dvd x d y d zd x d y d z
x
pd x d y d zf x
x ?? ??
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z
z
y
y
x
x
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1
1
1
xf
dxdydzf x?
2012-3-21 25
§ 3.6 伯努利能量方程
一、理想流体运动微分方程的伯努利积分
欧拉运动微分方程只能在满足某些特定条件的情况下
才能求其解。这些特定条件为,
定常流
均质不可压缩流体，即 ；
质量力有势，设 W（ x,y,z）为质量力势函数，则,
c＝?
dpdz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
t
p
t
v
t
v
t
v
zyx
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0
z
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y
Wf
x
Wf
zyx ?
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??,，
2012-3-21 26
对定常的有势质量力
沿流线积分
在定常流条件下沿流线积分就是沿迹线积分，沿流线
取微元位移 ds（ dx,dy,dz） 则有
上述积分条件称为伯努利积分条件。将流线上所取的 ds的
三个分量 dx,dy,dz分别乘欧拉运动微分方程式，然后将
三个等式相加得
dWdz
z
Wdy
y
Wdx
x
Wdzfdyfdxf
zyx ＝＝ ?
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zyx vdt
dzv
dt
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dt
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dt
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dt
dvdx
dt
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z
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y
pdx
x
pdzfdyfdxf zyx
zyx ??????
?
???
?
?
??
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?
???
?
1－
2012-3-21 27
利用上述四个积分条件得
因 为常数，故上式可以写为
积分得
此式即为欧拉运动微分方程的伯努利积分, 它表明：对于
不可压缩理想流体, 在有势质量力作用下作定常流时, 在
同一条流线上 值保持不变, 该常数值称为伯努利
积分常数 。 对于不同的流线伯努利积分常数一般不相同 。
0
2
2
???
?
?
???
? ?? vpWd
?
cvpW ???
2
2
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dvvvddvvdvvdvvdpdW zyxzzyyxx ＝
?
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???
?
???
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2
2vp
W ?
2012-3-21 28
二、重力作用下理想流体元流的伯努利方程
当元流的过流断面面积趋于 0时, 元流便是流线 。 所
以前式也适用于元流 。
若作用在理想流体上的质量力只有重力, 则有
将其代入前式得
对元流任意两断面的中心点或一条流线上的任意两点 1与 2，
上式可改写为
此式即为理想流体元流或流线的伯努利方程 。
c
g
vp
z ???
2
2
?
g
vpz
g
vpz
22
2
22
2
2
11
1 ????? ??
gzW ??
2012-3-21 29
三、理想流体元流伯努利方程的几何意义与能量意义
1,几何意义
伯努利方程式每一项的量纲与长度相同, 都表示某一高
度 。 如图,
,表示研究点相对某一基准面的几何高度, 称位臵水头 。
,表示研究点处压强大小的高度, 表示与该点相对压强
相当的液柱高度, 称压强水头 。
,称测压管水头 。
,表示研究点处速度大小的高度,
称流速水头 。
,称总水头 。
?p
gv 22
z
?pz?
gvpz 22＋??
2012-3-21 30
伯努利方程表明重力作用下不可压缩理想流体定常流
动过程中三种形式的水头可互相转化, 但总水头沿流程守
恒 。
2,能量意义
,表示单位质量流体对某一基准具有的位臵势能 。
,表示单位质量流体具有的压强势能 。
,表示单位质量流体具有的动能 。
伯努利方程也表明重力作用下不可压缩理想流体定常
流动过程中单位重量流体所具有的位能, 动能和压强势能
可互相转化, 但总机械能保持不变 。
zg
?p
22v
2012-3-21 31
例题,（ 毕托管 ）
毕托管是一种测定空间点流速的仪器 。 如图, 若要测
定管流液体中 A点的流速 v,可由测压管测出该点的测压管
液柱高度, 并在 A点下游相距很近的地方放一根测速管 。
测速管是弯成直角而两端开口的细管, 一端的出口臵于与
A点相距很近的 B点处, 并正对来流, 另一端向上 。 在 B点
处由于测速管的阻滞, 流速为 0,动能全部转化为压能, 测
速管中液面升高为 。
B点称为滞止点或驻点 。
应用理想流体定常流沿流线
的伯努利方程于 A,B两点, 并取
AB连线所在平面作为基准面, 则
有
?Ap
?p?
2012-3-21 32
得
即
对于实际液体在应用上式计算 A点流速时，需考虑液
体粘性对液体运动的阻滞作用，以及毕托管放入流场后对
流动的干扰，应使用修正系数,对该式的计算结果加以
修正。一般 小于 1，即
式中 为流速系数，其值一般由试验率定。
0
2
2
????
??
p
g
vp
vh
pp
g
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??2
2
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vgh
ppgv 22 ????
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?
vgh
ppgv 22 ?
?
? ????
?
2012-3-21 33
四、实际流体定常元流伯努利方程
实际流体具有粘性, 因此流动过程中会有能量损失
（ 如发热, 发声等 ） 。 设元流中单位重量流体由 1-1断面
流到 2-2断面的能量损失为, 根据能量守恒定律有, 可
以写出实际流体元流伯努利方程为,
五、实际流体定常总流伯努利方程
1,实际流体总流伯努利方程
实际工程的管道或渠道中的流动, 都是有限断面的总
流 。 因此, 应将元流的伯努利方程推广到总流中去 。 如后
图为实际流体的总流, 1-1和 2-2为两个过流 断面 。 任取一
微元流管, 其流管的两个微元断面为 dA1i和 dA2i,其中的
wh?
whg
vp
z
g
vp
z ???????
22
2
22
2
2
11
1 ??
2012-3-21 34
微元流束为 i,当不可压缩实际流体作定常流动, 且质量
力只有重力时, 列出微元流束中单位重量流体在 1-1和 2-2
断面之间的伯努利方程, 得
将上式两边乘以重量流量, 得
则单位时间流过过流断面 1-1和 2-2流体的伯努利方程为
22
2
22
2
11
2
11
1
2
2
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1 22 A iw
ii
iA i
ii
i dAvhg
vpzdAv
g
vpz ?
?
?
?
2012-3-21 35
因渐变流过流断面上流体压强按静压强规律分布，即
为对上式进行积分运算，需将过流断面取在渐变流过流断
面上。这样
另外，若以平均流速计算单位时间内通过过流断面的流体
动能，则
其中 为动能修正系数。动能修正系数定义为用真实速度
计算的动能与平均流速计算的动能间比值。
qpzdAvpz
A
?
?
?
? ?
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22
22
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3
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cpz ?? ?
2012-3-21 36
单位时间内流体克服摩擦阻力消耗的能量 不易通过
积分确定, 可令
上式为总流从 1－ 1至 2－ 2断面流动中, 单位质量流体的平
均能量损失, 对水而言称水头损失 。
经前面处理后, 可得重力作用下不可压缩实际流体定
常总流伯努利方程,
即
由实际流体总流伯努利方程的各种水头关系图可知,
实际流体在 流动过程中单位重量流体总机械能沿程减少 。
wqhqg
vpzq
g
vpz ???
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??
?
???
?
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vpz
g
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2
222
2
2
111
1
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? ?q w dqh ?
wq w qhdqh ?? ?
??
2012-3-21 37
总流伯努利能量方程是在一定条件下推导出来的，所
以应用这一方程时要满足以下限制条件,
流动定常；
流体上作用的质量力只有重力；
流体不可压缩；
列伯努利方程的过流断面上的流动必须是渐变流；
与断面流速分布有关，因而受流态影响。在渐变流情
况下，可取 1。
?
2012-3-21 38
2、有分流或汇流时实际流体总流伯努利方程
如图为沿程有分流或汇流的情况。
在分流时,。可 分别列出
断面 1,2及断面 1,3之间可伯努利方程
将上面第一、二个方程两边分别乘以 再相加，得
总能量守恒的伯努利方程
对于汇流情况，也可分别列出 1,3及 2,3的伯努利方程，同
32 gqgq ??,
321 qqq ??
21
2
222
2
2
111
1 22 ??????? whg
vpz
g
vpz ?
?
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31
2
333
3
2
111
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vpz
g
vpz ?
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???
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2
333
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2
222
22
2
111
11 222 ww hg
vpzgqh
g
vpzgq
g
vpzgq ?
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?
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2012-3-21 39
理可得总能量守恒的伯努利方程
3、有机械能输入或输出时总流伯努利方程
沿总流两过流断面间装有水泵、风机或水轮机等装臵，
流体流经水泵或风机时将获得能量，流经水轮机时将失去
能量。设流体获得或失去能量头为,则总流伯努利方
程为
式中 前的正、负号，获得能量为正，失去能量为负。
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2012-3-21 40
例题,（文丘里管）
文丘里管用于测量管道中的流量 。 如图, 文丘里管由
入口段, 收缩段, 喉部和扩散段组成 。 在文丘里管入口断
面 1和喉部处断面 2两处测量压差, 设断面 1,2的平均速度,
平均压强和断面面积分别为 和, 流体密
度为 。 由伯努利方程 （ 忽略能量损失 ） 和连续性方程可
得出,
取, 可得计算流量的公式
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2012-3-21 41
在应用中, 考虑到粘性引起的截面上速度分布的不均
匀以及流动中的能量损失, 计算流量时, 还应乘上修正系
数, 即
称为文丘里流量系数, 由实验标定 。
2
1
2
2
2
1
1
2
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2
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2012-3-21 42
§ 3.7 动量方程和动量矩方程
一、动量方程
动量方程是动量守恒定律在流体力学中的具体表达。
本节讨论流体作定常流动时的动量变化和作用在流体上的
外力之间的关系。一般力学中动量定理表述为：物体动量
的时间变化率等于作用在该物体上的所有外力的矢量和。
在此先建立控制体的概念：所谓控制体是空间的一个
固定不变的区域，它的边界面称为控制面。
vmk
dt
kd
F
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2012-3-21 43
如图, 现以总流的一段管段为例 。 取断面 1和 2以及其
间管壁表面所组成的封闭曲面为控制面, 内部的空间为控
制体 。 流体从控制面 1流入控制体, 从控制面 2流出, 管壁
可看成流管, 无流体进出 。
在 t时刻流段所具有的动量为
经过 dt时段后, 流段移动到
, 这时流段所具有的动
量为
对定常流有
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2012-3-21 44
所以
在此流段的总流中任取一元流, 设进, 出口断面 1-1
和 2-2上的过水面积为 dA1,dA2,则
令动量修正系数, 则上式可进一步写成
其中 。 将这些关系代入动量定
理的表达式中, 可得
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2012-3-21 45
上式为恒定流总流动量方程 。 它是矢量方程, 实际上常用
三个坐标轴上的投影式表示, 即
应用动量方程解题时要注意以下几点,
动量方程是一个矢量方程, 经常使用投影式 。 注意外力,
速度和方向问题, 它们与坐标方向一致时为正, 反之为负 。
在考虑外力时注意控制体外的流体通过进口断面和出口断
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1122
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2012-3-21 46
面对控制体内流体的作用力 。
外力中包含了壁面对流体作用力, 而求解问题中往往需
要确定流体作用在壁面上的力, 这两个力按牛顿第三定
理 。
动量修正系数在计算要求精度不高时, 常取 1。
R?
R??
RR ?? ??
2012-3-21 47
例题,如图, 有一水平放臵的变直径弯曲管道, d1=500mm，
d2=400mm,转角 α= 45o,断面 1-1处流速 v1=1.2m/s,压强
p1=245kPa,求水流对弯管的作用力 （ 不计弯管能量损失 ） 。
解：因弯管水平放臵, 故此弯管液体所受重力在平面内投
影分量等于零, 沿管轴线取基准面, 则,
2012-3-21 48
列 1,2断面能量方程, 得
p2=243.96kPa
任设弯管对水流作用力 R的方向, 如图, 它在 x,y轴上的
投影分量为 Rx,Ry。 分别列两坐标轴方向的动量方程, 则
8 75.1
4.0
5.0
2.1
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2012-3-21 49
水对弯管的作用力,
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2012-3-21 50
二、动量矩方程
动量矩方程表达运动流体动量矩的变化率与所受外力
矩之间的关系 。 有前面推导可知：对于定常流动, 动量方
程矢量式为,
设 0为某一固定点, 用, 和 分别代表从 0到进, 出流过
流断面中心的矢径和到外力作用点的矢径, 则由动量矩定
理有,
此式就是动量矩方程 。 表示单位时间内流出, 流进控
制面的流体对某固定点的动量矩之差, 等于作用在流体上
的所有外力对同一点力矩的矢量和 。
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2r
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2012-3-21 51
现将动量矩方程应用到旋转叶轮机械在叶轮通道内的
流体上, 以离心泵叶轮为例 。 如图, 流体从叶轮的内圈入
口流入, 经叶轮流道于外圈出口流出 。 进出口半径分别为
r1,r2, 叶轮以一定角速度旋转 。 假设流体是理想的, 流
动是定常的, 叶轮内的流动是轴对称的 。 则可列出水泵叶
轮的动量矩方程为 （ 令 ）
其中 为叶轮作用在流体上的总力矩,
为绝对速度与牵连速度之间的夹角 。
叶轮对流体所作的功率为
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1122
c o sc o s ???
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vrvrqM
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M?
112 ＝＝ ??
2012-3-21 52
其中,为叶轮出口与入口处的牵连速度。
为叶轮出口与入口处绝对速度在圆周切线方
向的投影速度。
叶轮对单位重量流体所作的功为
这是旋转涡轮机械的基本方程式。
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