第八章 渗流
定义,流体在孔隙介质中的流动称为渗流。
孔隙介质包括了多孔介质和裂隙介质,这类介质有
土 壤, 堆 石 和 具 有 较 多 孔 隙 的 岩 层 等 。 当 流 体 是 水,
孔隙介质是土壤或岩石时的渗流称为地下水流。
本 章 研 究 的 是 以 地 下 水 流 为 代 表 的 渗 流 运 动 规 律
及在工程中的应用。
第一节 渗流的基本概念
一 土壤的渗流特性
土 壤 的 渗 流 特 性 指 影 响 渗 流 运 动 规 律 的 土 壤 性 质, 其 中 土 壤 的
透 水 性 是 重 要 的 渗 流 特 性, 与 土 壤 孔 隙 （ 表 示 了 土 壤 结 构 的 紧 密 程
度 ） 的 大 小, 多 少, 形 状, 分 布 等 有 关, 也 与 土 壤 颗 粒 的 粒 径, 形
状、均匀程度、排列方式等有关。
土壤的孔隙用 孔隙率 n 表示。 n 指 一 定 体 积 的 土 壤 中,孔 隙 体 积
V
h
和土壤总体积 V 的比值，即
(1)
n 越大，土壤的透水能力越强。
V
Vn h?
土壤颗粒的均匀程度用 土壤的不均匀系数 η 表示, 即
（ 2）
d60— 土壤经过筛分后, 占 60%重量的土粒所能通过的筛孔直径
d10— 土壤经过筛分后, 占 10%重量的土粒所能通过的筛孔直径
η 通常大于 1,η 越大, 土壤颗粒越不均匀, 土壤透水能力越差 。
均匀颗粒组成的土壤, η= 1,其透水能力强于不均匀土壤 。
实际土壤的孔隙形状和分布相当复杂, 根据渗流特性将土壤分
类,
严格来说, 天然土壤都是各向异性, 在实际处理问题时, 将渗
流地区各处土壤的级配基本接近, 各方向透水性能基本相同的土壤
作为各向同性土壤 。 本章只讨论各向同性均匀土壤的渗流问题 。
10
60
d
d??
??
?
向不同土壤的渗流特性各个方—各向异性土壤
向相同土壤的渗流特性各个方—各向同性土壤
二二 水水 在在 土土 壤壤 中中 的的 存存 在在 形形 式式
1, 气态水 — 以 蒸 汽 的 状 态 存 在 于 土 壤 孔 隙 中 的
水
2, 附着水 — 以 极 薄 的 分 子 层 吸 附 在 土 壤 颗 粒 周
围的水
3, 薄膜水 — 以 厚 度 在 分 子 作 用 半 径 内 的 膜 层 包
围着的土壤颗粒的水
4, 毛细水 — 毛 细 管 作 用 保 持 在 土 壤 毛 细 管 中 的
水
5, 重力水 — 由 于 重 力 作 用 在 土 壤 孔 隙 中 运 动 的
水,在 地 下 水 中 所 占 比 例 最 大,是 渗 流 运 动 研究
的主要对象。
三三 渗渗 流流 模模 型型
水在土壤孔隙中的运动是极不规则的复杂运动,要了解每个孔隙
内的流动状况相当困难。从工程角度看，只需了解 宏观的平均效应，
因此为了研究方便，采用简化的渗流模型取代实际的渗流运动。
渗 流 模 型,不 考 虑 地 下 水 的 流 动 区 域 内 土 壤 颗 粒 的 结 构,设 想 水
作为连续介质连续地充满渗流区域的空间,从而将流动视为连续介质
流 动,所 有 水 力 要 素 可 看 作 随 空 间 点 是 连 续 变 化 的,可 以 用 连 续 函 数
的基本性质来研究渗流运动。
以渗流模型取代实际渗流，满足下列条件,
① 通过渗流模型某一断 面的渗流量等于实际渗 流通过相应断面的
真实渗流量
② 渗流模型某 一 确 定 作 用 面 上 渗 流 压 力 与 实 际 渗 流 在 该 作 用 面 上
的真实压力相等
③ 渗流模型的阻力与是渗流的阻力相等
设 渗 流 模 型 微 小 过 水 断 面 面 积, 通 过 的 流 量,则
渗流流速 U 为
（ 3 ）
由 于 在 实 际 渗 流 区 域 内 有 一 部 分 面 积 被 土 壤 颗 粒 所 占
据, 所 以, 实 际 渗 流 的 过 水 断 面 面 积 小
于,,那么土壤孔隙中正是渗流流速为
（ 4 ）
因为孔隙率 n<1,所以
渗流分类方法类似 于前面有关水流的 研究，可划
分 为, 恒 定 渗 流 和 非 恒 定 渗 流, 均 匀 渗 流 和 非 均 匀 渗
流 。 非 均 匀 渗 流 又 可 分 为 渐 变 渗 流 和 急 变 渗 流 。 本 章
只讨论恒定渗流。
A? Q?
A
QU
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'A?
A? AnA' ?? ??
n
U
An
Q
A
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第二节 渗流基本定律
— 达西定律
一 达西定律
由法国工程师达西在沙质土壤中进行了大量实验,总结出了 渗流
流速与渗流能量损失之间 的基本关系式，称为达西定律。
实验装置如图。一直立圆筒上端开口,
内装有均质砂土，筒侧壁两根侧压管，圆筒
上部有一进水管，并设有溢流管以保持圆筒
内水位恒定。圆筒底部附近安有一滤板 C,
圆筒上部的水透过砂土，通过滤板，经短管
T 流入容器 V 中，测出 Δ t 时间内流入容器
中的水的体积，得到渗流流量。
对 1 - 1, 2 - 2 断 面 列 能 量 方 程, 因 为 渗 流 流 速 很 小, 故 忽 略 渗 流 流 速
水头，则测压管水头就是水头损失，即
（ 1 ）
相应的水力坡度为 （ 2 ）
采用不同尺寸、不同类型的均质砂土，经大量实验后发现以下规律,
（ 3 ）
Q — 通 过 圆 筒 砂 土 的 渗 流 量 ； A — 圆 筒 过 水 断 面 面 积 ； k — 渗透系数，
m/s
过水断面的平均流速
（ 4 ）
（ 3 ）和（ 4 ） 称 为 渗 流 的 达 西 定 律, 由 于 圆 筒 内 砂 土 为 均 质 砂 土 且 圆
筒过水断面面积不变，因此该定律适用于 均匀渗流 。
21 hhhw ??
L
hh
L
hJ w 21 ???
k AJLhkAQ w ??
kJAQv ??
二二 达达 西西 定定 律律 的的 适适 用用 范范 围围
该 定 律 表 示 的 渗 流 水 头 损 失 与 流 速 的 一 次 方 成 正 比, 因 此 仅 适 用
于服从线性渗流规律的范围。 当流速达到一定值后，水头损失 J 与流
速 1 - 2 次方成比例，不满足线性关系。
对于不满足达西定律的非线性渗流问题，其运动规律可写成,
（ 5 ）
当 m=1 时为达西定律,m = 2 时为完全紊流渗流,1<m<2 时,为 层 流 渗 流
到完全紊流渗流的过渡区。
用 Re 数判别达西定律适用的范围，此时的判别准数临界 Re 数不
是固定常数，随粒径、孔隙等变化，渗流的实际 Re 数应写成,
（ 6 ）
n — 土壤的孔隙率； d — 土壤的有效粒径,用 d
10
表示； ν — 水的运动粘度
经试验得到渗流运动的临界 Re 数,当 时为线
性 渗 流, 可 用 达 西 定 律 。 工 程 中 常 遇 到 的 渗 流 问 题 多 属 于 线 性 渗 流,
也叫做 层流渗流。
mkJv
1?
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vd
n 23.075.0
1Re
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97 ~Re k ? kReRe ?
三三 渗渗 透透 系系 数数
渗透系数 k 是反映土壤特性的一个综合性指标，受多
种 因 素 影 响, 如 孔 隙 介 质 的 特 性, 液 体 的 物 理 特 性 等 。 确
定 k 值有 3 中方法,
1, 经验公式估算,作粗略估算用
2, 实验室测定法,取 天 然 的 土 样,利 用 达 西 实 验 装 置
测定 k,,其中的 Q 和 h
w
由试验测得
3, 现场测定法,多 用 于 重 要 的 大 型 工 程,一 般 采 用 钻
孔抽水或注水方法测得流量和水头,再根据相应公式
计算 k 。
wAh
QLk ?
第三节 恒定渗流的流速分布
一 恒定均匀渗流的流速分布
如 图 为 均 匀 渗 流, 取 微 元 流 段 dl, 水力坡度
为, 由达西定律, 得到任一流线上的流速为
( 1 )
(
dl
dHJ ??
dl
dHkkJu ???
根 据 均 匀 流 特 性, 同 一 过 水 断 面 上 的 测 压 管 水
头, 所以两过水断面间的水头损失
为, 该式对两断面间任一流线
都适用, 即在各流线上通过 dl 流段的水头差为 dH, dH
为常数, 由 ( 1 ) 式知断面各点的流速必 为常数 。 断面平均
流速为
( 2 )
( 3 )
说 明 过 水 断 面 上 任 意 一 点 的 流 速 等 于 断 面 平 均 流 速, 又
因 为 均 匀 流 沿 程 的 水 力 坡 度, 所 以 任 意 一
点 的 流 速 和 断 面 平 均 流 速 沿 程 都 不 变 。 整 个 均 匀 渗 流 流
场中, 各点流速相等, 流速呈矩形分布 。
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)pz()pz(HHdH ?? 112221 ??????
dl
dHkdA
dl
dHk
Au d AAv AA ????? ??
11
dl
dHkvu ????
常数??? dldHJ
二二 恒恒 定定 非非 均均 匀匀 渐渐 变变 渗渗 流流 的的 流流 速速 分分 布布
如图, 在一底坡为 i 的 地 下 河 槽 中 为 非 均 匀 渐 变 渗
流, 取相距很近的两断面 1 - 1, 2 - 2, 间距为 dl, 由于渐
变 渗 流 的 流 线 近 似 平 行, 两 断 面 间 每 根 流 线 长 都 可 近
似看成 dl 。 根 据 渐 变 流 的 特 性, 同 一 断 面 上 的 所 有 点
的测压管水头等于常数 。
将达西定律应用于渐变渗流, 过水断面上任意点的
流速为
(4)
过水断面的平均流速为
(5)
上式称为 D u p u i t 公式 。 该式说明 在非均匀渐变渗流中,
同一过水断面上各点的流速相等, 等于断面平均流速,
断面上流速呈矩形分布 。
与均匀流的区别在 于, 均 匀 渗 流 沿 程 水 力 坡 度 J
为常数, 因 此 不 同 过 水 断 面 的 流 速 相 等, 而 渐 变 渗 流
的 J 沿程要变, 不同过水断面流速一般不相等 。
dl
dHk
dl
pzpz
kkJu ??
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???
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dl
dHkdA
dl
dHk
AudAAv AA ????? ??
11
第四节 恒定渐变渗流的基
本微分方程与浸润曲线
一 渐变渗流的基本微分方程
作 AB 微元面积, 把该渗流看作是棱柱体地下明渠的渐变渗流,
如忽略很小的速度水头, 则总水头与测压管水头相等, 此时可用测压
管坡度代替水力坡度,
上式中测压管水头, h 为水深 。
由达西定律, 断面平均流速为
断面流量为
( 1 )
上式为渐变渗流的基本微分方程, 这里的 水 深 h 随沿程的变化曲线称
作浸润曲线, 只要找到 的关系 式就可做出浸润曲线 。
dl
dhi
dl
dh
dl
dz
dl
dHJ ??????? )(
hzH ??
)( dldhikkJv ???
)( dldhikAAvQ ????
dl
dh
二二 渐渐 变变 渗渗 流流 的的 浸浸 润润 曲曲 线线
1,正坡地下明渠渐变渗流的浸润曲线
如图在 i > 0 的地下明渠中有可能形成均匀渗流,
均 匀 渗 流 的 水 深 为 h
0
,相应均匀流的水力坡度 J
0
=i 。
假 设 非 均 匀 渐 变 渗 流 的 水 深 为 h, 相 应 的 水 力 坡 度
为 J 。 用 均 匀 渗 流 流 量 代 替 渐 变 渗 流 流 量,
有,
得到
(2 )
(2) 式 为 正 坡 地 下 明 渠 渐 变 渗 流 浸 润 曲 线 微 分 方 程 。
0kiAQ?
)(0 dldhikAk iA ??
)1( 0AAidldh ??
用正常水深线 N - N 将整个渗流区域划分为两个区域,
a 区, 实际水深 h > h
0
,A > A
0
,那么, 浸润曲线为 壅水曲线, 曲
线上游端当,,, 以 N - N 为 渐 近 线 ; 下游端
当,,, 以水平线为渐近线 。
b 区, 实际水深 h < h
0
,A < A
0
,那么, 浸润曲线为 降水曲线,
曲线上游端当,,, 以 N - N 为渐近线 ; 下游端
当,,, 曲线与渠底有正交的趋势 。
对 (2) 积分得到浸润线的计算公式 。
对于矩形棱柱体地下明渠, A = b h, A
0
= b h
0
,(2) 写成
(3)
上式积分得到矩形地下明渠的浸润曲线公式
0?dldh
0hh? 0AA? 0?
dl
dh
??h ??A i
dl
dh?
0?dldh
0hh? 0AA? 0?
dl
dh
0?h 0?A ??dldh
)1( 0hhidldh ??
令, 则, 代入 (3) 得到
有
沿渗流方向对两过水断面将上式积分得
(4)
式中,, l 为两断面间的距离 。
(4) 为 正 坡 棱 柱 体 矩 形 断 面 地 下 明 渠 渐 变 渗 流 浸 润 曲 线
的计算公式 。
0h
h??
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d
i
hd
i
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1
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0
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i
hl
0
2
2 h
h??
0
1
1 h
h??
2,平坡地下明渠渐变渗流的浸润曲线
将 i=0 代入 ( 1 ) 得到
或 ( 5 )
由于 Q, k, A 均大于零,, 只能发生沿程水深渐
减的降水曲线 。 曲线上游端,,, 那么,
以水平线为渐近线 ; 曲线下游端当,,,
曲线与渠底有正交的趋势 。
若地下明渠断面为矩形, A = b h,
令 为单宽流量, 积分得
( 6 )
h
1
,h
2
分别为任意两断面的水深, L 为两断面间距, 上式
用于平坡 地下明渠渐变渗流的浸润曲线的计算 。
)( dldhkAQ ?? kAQdldh ??
0?dldh
??h ??A 0?dldh
0?h 0?A ???dldh
kbh
Q
dl
dh ??
b
Qq?
Lkqhh ?? )(21 2221
3,逆坡地下明渠渐变渗流的浸润曲线
或 (7)
上式中的 i
’
,Q, k, A 均为正值,, 只能发生
降水曲线 。 曲线上游端,,,那么,
以水平线为渐近线 ; 曲线下游端当,,
曲线与渠底有正交的趋势 。
)( ' dldhikAQ ??? )( ' kAQidldh ???
0?dldh
??h ??A iidldh ' ???
??h ??A ???dldh
虚拟一均匀渗流, 其渠底坡度为 i
’
,渗流流量和在逆坡明渠中渐
变渗流通过的流量相等, 则
或 ( 8 )
式中 A
0
’
为虚拟均匀渗流的过流断面面积 。
对于矩形棱柱体地下明渠, A = b h, A
0
= b h
0
,( 8 ) 写成
( 9 )
令, 则, 代入 ( 9 ) 得到
沿渗流方向对两过水断面将上式积分得
( 1 0 )
式中,, l 为两断面间的距离 。
( 1 0 ) 为逆坡棱柱体矩形断面地下明渠渐变渗流浸润曲线的计算公式 。
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第五节 井的渗流
井是一种抽取或排 除地下水的集水建 筑物, 在给排水
工程, 水文地质勘探和开发地下水资源方面应用广泛 。
井的分类,
实际工程中的井的 渗流是非恒定的, 但当渗流区广阔, 经
过较长时间的抽水 后, 所 抽 水 量 和 渗 流 入 井 的 水 量 基 本 相
等, 在 离 井 较 远 的 渗 流 区 水 位 基 本 保 持 不 变, 这时, 井周
围的渗流近似看成 是恒定渗流 。 本 节 也 仅 限 于 恒 定 渗 流 来
处理 。
?
?
?
?
?
有压地下水的井汲取两不透水层之间的自流井
水的井自由浸润面的无压地下汲取不透水层上部具有普通井
?
?
?
?
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井井底不直达不透水层的不完全井
井底直达不透水层的井完全井
一 完全普通井
如 图 是 建 在 不 透 水 层 的 完 全 普 通 井, H 是含水层厚
度, 未抽水时, 井中水面和含水层水面平齐 。 若从井中开
始抽水, 则井中及周围的水面降低, 围绕井筒四周形成一
漏斗形的浸润表面 。 对于均匀各向同性的土壤来说, 降落
漏斗是一个轴对称的浸润曲线绕井轴中心线的旋转体 。 假
设井的抽水量远远小于含水层的蓄水量, 而且抽水量是一
定值, 经过一定时间后, 井水面及周围降落漏斗均保持在
某一恒定位置, 不随时间变化, 而且除井壁附近外的大部
分地区的浸润曲线的曲率很小,
看作是 一维恒定渐变渗流, 用 Dupuit 公式计算 。
设距井中心轴半径为 r 处的某过水断面的浸润线纵坐标为 z, 当半
径有一增量 dr 后相应有一增量 dz, 且 d z > 0, 且渐变渗流同一断面各
点的水力坡度 J 均相同,, 该断面上的流速为
该断面的过水断面面积为一圆柱面面积,, 则
移项得
积分
当 r = r
0
时, z = h
0
,代入上式得
因此 ( 1 )
(1) 为完全普通井的浸润线方程, h
0
井中水深, r
0
为井的半径 。 drdzJ? drdzkkJv ??
rzA ?2?
dr
dzrzkQ ?2?
r
dr
k
Qzdz
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CrkQz ?? ln2 ?
020 ln rk
QhC
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0
22 ln
r
r
k
Qhz
???
从理论上看,,, 从工程实用看, 当水面降落的浸润
曲线延伸到某一距离 R 后, 水面接近含水层厚度 H, 距离 R 以外的
地下水不受该井抽水的影响 。 当 r = R 时, z = H, R 称 为 井 的 影 响 半 径 。
影响半径, 井的渗流区认为是一有限的范围, 在 一 个 半 径 以 外 地
下水位不再受抽水影响而降低, 这一半径称为影响半径 。
将 r = R, z = H 代入 (1) 得到井的渗流量为
(2)
式中的 R 用试验方法测得, 或按经验公式计算,
(3)
式中 为井的抽水深度, 即 抽 水 后 井 中 水 面 降 落 深 度, k 为土壤
的渗透系数 。
??r Hz?
0
2
0
2
lg
)(36.1
r
R
hHkQ ??
kR ?? 3000
0hH ???
二 完全自流井
如图, 在没有抽水时, 井 中 水 位 为 H, 若抽水,
井中水深由 H 降到 h, 在井外的测压管水头线将下降
形 成 轴 对 称 的 漏 斗 形 降 落 曲 面 。 除 井 壁 附 近, 测压管
水头线曲率很小, 视为恒定渐变渗流 。
对半径为 r 的圆柱面过水断面面积, 由渐变渗流特性知断面上
各点的水力坡度相同,, 通过该断面的流量为
(4)
积分得到
当 r = r
0
时,h = h
0
,得到
最后得
(5)
该方程为完全自流井的水头曲线方程式 。
引入 r = R, z = H 代入 (5) 得到渗流量为
式中的 R 也可用 (3) 计算 。
rtA ?2?
dr
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dr
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CrrtQz ?? ln2?
00 ln2 rk
QhC
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0 ln2 r
r
kt
Qhz
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00
0
lg
73.2
lg
)(73.2
r
R
kt
r
R
hHktQ ????
定义,流体在孔隙介质中的流动称为渗流。
孔隙介质包括了多孔介质和裂隙介质,这类介质有
土 壤, 堆 石 和 具 有 较 多 孔 隙 的 岩 层 等 。 当 流 体 是 水,
孔隙介质是土壤或岩石时的渗流称为地下水流。
本 章 研 究 的 是 以 地 下 水 流 为 代 表 的 渗 流 运 动 规 律
及在工程中的应用。
第一节 渗流的基本概念
一 土壤的渗流特性
土 壤 的 渗 流 特 性 指 影 响 渗 流 运 动 规 律 的 土 壤 性 质, 其 中 土 壤 的
透 水 性 是 重 要 的 渗 流 特 性, 与 土 壤 孔 隙 （ 表 示 了 土 壤 结 构 的 紧 密 程
度 ） 的 大 小, 多 少, 形 状, 分 布 等 有 关, 也 与 土 壤 颗 粒 的 粒 径, 形
状、均匀程度、排列方式等有关。
土壤的孔隙用 孔隙率 n 表示。 n 指 一 定 体 积 的 土 壤 中,孔 隙 体 积
V
h
和土壤总体积 V 的比值，即
(1)
n 越大，土壤的透水能力越强。
V
Vn h?
土壤颗粒的均匀程度用 土壤的不均匀系数 η 表示, 即
（ 2）
d60— 土壤经过筛分后, 占 60%重量的土粒所能通过的筛孔直径
d10— 土壤经过筛分后, 占 10%重量的土粒所能通过的筛孔直径
η 通常大于 1,η 越大, 土壤颗粒越不均匀, 土壤透水能力越差 。
均匀颗粒组成的土壤, η= 1,其透水能力强于不均匀土壤 。
实际土壤的孔隙形状和分布相当复杂, 根据渗流特性将土壤分
类,
严格来说, 天然土壤都是各向异性, 在实际处理问题时, 将渗
流地区各处土壤的级配基本接近, 各方向透水性能基本相同的土壤
作为各向同性土壤 。 本章只讨论各向同性均匀土壤的渗流问题 。
10
60
d
d??
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?
向不同土壤的渗流特性各个方—各向异性土壤
向相同土壤的渗流特性各个方—各向同性土壤
二二 水水 在在 土土 壤壤 中中 的的 存存 在在 形形 式式
1, 气态水 — 以 蒸 汽 的 状 态 存 在 于 土 壤 孔 隙 中 的
水
2, 附着水 — 以 极 薄 的 分 子 层 吸 附 在 土 壤 颗 粒 周
围的水
3, 薄膜水 — 以 厚 度 在 分 子 作 用 半 径 内 的 膜 层 包
围着的土壤颗粒的水
4, 毛细水 — 毛 细 管 作 用 保 持 在 土 壤 毛 细 管 中 的
水
5, 重力水 — 由 于 重 力 作 用 在 土 壤 孔 隙 中 运 动 的
水,在 地 下 水 中 所 占 比 例 最 大,是 渗 流 运 动 研究
的主要对象。
三三 渗渗 流流 模模 型型
水在土壤孔隙中的运动是极不规则的复杂运动,要了解每个孔隙
内的流动状况相当困难。从工程角度看，只需了解 宏观的平均效应，
因此为了研究方便，采用简化的渗流模型取代实际的渗流运动。
渗 流 模 型,不 考 虑 地 下 水 的 流 动 区 域 内 土 壤 颗 粒 的 结 构,设 想 水
作为连续介质连续地充满渗流区域的空间,从而将流动视为连续介质
流 动,所 有 水 力 要 素 可 看 作 随 空 间 点 是 连 续 变 化 的,可 以 用 连 续 函 数
的基本性质来研究渗流运动。
以渗流模型取代实际渗流，满足下列条件,
① 通过渗流模型某一断 面的渗流量等于实际渗 流通过相应断面的
真实渗流量
② 渗流模型某 一 确 定 作 用 面 上 渗 流 压 力 与 实 际 渗 流 在 该 作 用 面 上
的真实压力相等
③ 渗流模型的阻力与是渗流的阻力相等
设 渗 流 模 型 微 小 过 水 断 面 面 积, 通 过 的 流 量,则
渗流流速 U 为
（ 3 ）
由 于 在 实 际 渗 流 区 域 内 有 一 部 分 面 积 被 土 壤 颗 粒 所 占
据, 所 以, 实 际 渗 流 的 过 水 断 面 面 积 小
于,,那么土壤孔隙中正是渗流流速为
（ 4 ）
因为孔隙率 n<1,所以
渗流分类方法类似 于前面有关水流的 研究，可划
分 为, 恒 定 渗 流 和 非 恒 定 渗 流, 均 匀 渗 流 和 非 均 匀 渗
流 。 非 均 匀 渗 流 又 可 分 为 渐 变 渗 流 和 急 变 渗 流 。 本 章
只讨论恒定渗流。
A? Q?
A
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A? AnA' ?? ??
n
U
An
Q
A
QU ?
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第二节 渗流基本定律
— 达西定律
一 达西定律
由法国工程师达西在沙质土壤中进行了大量实验,总结出了 渗流
流速与渗流能量损失之间 的基本关系式，称为达西定律。
实验装置如图。一直立圆筒上端开口,
内装有均质砂土，筒侧壁两根侧压管，圆筒
上部有一进水管，并设有溢流管以保持圆筒
内水位恒定。圆筒底部附近安有一滤板 C,
圆筒上部的水透过砂土，通过滤板，经短管
T 流入容器 V 中，测出 Δ t 时间内流入容器
中的水的体积，得到渗流流量。
对 1 - 1, 2 - 2 断 面 列 能 量 方 程, 因 为 渗 流 流 速 很 小, 故 忽 略 渗 流 流 速
水头，则测压管水头就是水头损失，即
（ 1 ）
相应的水力坡度为 （ 2 ）
采用不同尺寸、不同类型的均质砂土，经大量实验后发现以下规律,
（ 3 ）
Q — 通 过 圆 筒 砂 土 的 渗 流 量 ； A — 圆 筒 过 水 断 面 面 积 ； k — 渗透系数，
m/s
过水断面的平均流速
（ 4 ）
（ 3 ）和（ 4 ） 称 为 渗 流 的 达 西 定 律, 由 于 圆 筒 内 砂 土 为 均 质 砂 土 且 圆
筒过水断面面积不变，因此该定律适用于 均匀渗流 。
21 hhhw ??
L
hh
L
hJ w 21 ???
k AJLhkAQ w ??
kJAQv ??
二二 达达 西西 定定 律律 的的 适适 用用 范范 围围
该 定 律 表 示 的 渗 流 水 头 损 失 与 流 速 的 一 次 方 成 正 比, 因 此 仅 适 用
于服从线性渗流规律的范围。 当流速达到一定值后，水头损失 J 与流
速 1 - 2 次方成比例，不满足线性关系。
对于不满足达西定律的非线性渗流问题，其运动规律可写成,
（ 5 ）
当 m=1 时为达西定律,m = 2 时为完全紊流渗流,1<m<2 时,为 层 流 渗 流
到完全紊流渗流的过渡区。
用 Re 数判别达西定律适用的范围，此时的判别准数临界 Re 数不
是固定常数，随粒径、孔隙等变化，渗流的实际 Re 数应写成,
（ 6 ）
n — 土壤的孔隙率； d — 土壤的有效粒径,用 d
10
表示； ν — 水的运动粘度
经试验得到渗流运动的临界 Re 数,当 时为线
性 渗 流, 可 用 达 西 定 律 。 工 程 中 常 遇 到 的 渗 流 问 题 多 属 于 线 性 渗 流,
也叫做 层流渗流。
mkJv
1?
?
vd
n 23.075.0
1Re
??
97 ~Re k ? kReRe ?
三三 渗渗 透透 系系 数数
渗透系数 k 是反映土壤特性的一个综合性指标，受多
种 因 素 影 响, 如 孔 隙 介 质 的 特 性, 液 体 的 物 理 特 性 等 。 确
定 k 值有 3 中方法,
1, 经验公式估算,作粗略估算用
2, 实验室测定法,取 天 然 的 土 样,利 用 达 西 实 验 装 置
测定 k,,其中的 Q 和 h
w
由试验测得
3, 现场测定法,多 用 于 重 要 的 大 型 工 程,一 般 采 用 钻
孔抽水或注水方法测得流量和水头,再根据相应公式
计算 k 。
wAh
QLk ?
第三节 恒定渗流的流速分布
一 恒定均匀渗流的流速分布
如 图 为 均 匀 渗 流, 取 微 元 流 段 dl, 水力坡度
为, 由达西定律, 得到任一流线上的流速为
( 1 )
(
dl
dHJ ??
dl
dHkkJu ???
根 据 均 匀 流 特 性, 同 一 过 水 断 面 上 的 测 压 管 水
头, 所以两过水断面间的水头损失
为, 该式对两断面间任一流线
都适用, 即在各流线上通过 dl 流段的水头差为 dH, dH
为常数, 由 ( 1 ) 式知断面各点的流速必 为常数 。 断面平均
流速为
( 2 )
( 3 )
说 明 过 水 断 面 上 任 意 一 点 的 流 速 等 于 断 面 平 均 流 速, 又
因 为 均 匀 流 沿 程 的 水 力 坡 度, 所 以 任 意 一
点 的 流 速 和 断 面 平 均 流 速 沿 程 都 不 变 。 整 个 均 匀 渗 流 流
场中, 各点流速相等, 流速呈矩形分布 。
constpz ?? ?
)pz()pz(HHdH ?? 112221 ??????
dl
dHkdA
dl
dHk
Au d AAv AA ????? ??
11
dl
dHkvu ????
常数??? dldHJ
二二 恒恒 定定 非非 均均 匀匀 渐渐 变变 渗渗 流流 的的 流流 速速 分分 布布
如图, 在一底坡为 i 的 地 下 河 槽 中 为 非 均 匀 渐 变 渗
流, 取相距很近的两断面 1 - 1, 2 - 2, 间距为 dl, 由于渐
变 渗 流 的 流 线 近 似 平 行, 两 断 面 间 每 根 流 线 长 都 可 近
似看成 dl 。 根 据 渐 变 流 的 特 性, 同 一 断 面 上 的 所 有 点
的测压管水头等于常数 。
将达西定律应用于渐变渗流, 过水断面上任意点的
流速为
(4)
过水断面的平均流速为
(5)
上式称为 D u p u i t 公式 。 该式说明 在非均匀渐变渗流中,
同一过水断面上各点的流速相等, 等于断面平均流速,
断面上流速呈矩形分布 。
与均匀流的区别在 于, 均 匀 渗 流 沿 程 水 力 坡 度 J
为常数, 因 此 不 同 过 水 断 面 的 流 速 相 等, 而 渐 变 渗 流
的 J 沿程要变, 不同过水断面流速一般不相等 。
dl
dHk
dl
pzpz
kkJu ??
???
???
)()( 1122
??
dl
dHkdA
dl
dHk
AudAAv AA ????? ??
11
第四节 恒定渐变渗流的基
本微分方程与浸润曲线
一 渐变渗流的基本微分方程
作 AB 微元面积, 把该渗流看作是棱柱体地下明渠的渐变渗流,
如忽略很小的速度水头, 则总水头与测压管水头相等, 此时可用测压
管坡度代替水力坡度,
上式中测压管水头, h 为水深 。
由达西定律, 断面平均流速为
断面流量为
( 1 )
上式为渐变渗流的基本微分方程, 这里的 水 深 h 随沿程的变化曲线称
作浸润曲线, 只要找到 的关系 式就可做出浸润曲线 。
dl
dhi
dl
dh
dl
dz
dl
dHJ ??????? )(
hzH ??
)( dldhikkJv ???
)( dldhikAAvQ ????
dl
dh
二二 渐渐 变变 渗渗 流流 的的 浸浸 润润 曲曲 线线
1,正坡地下明渠渐变渗流的浸润曲线
如图在 i > 0 的地下明渠中有可能形成均匀渗流,
均 匀 渗 流 的 水 深 为 h
0
,相应均匀流的水力坡度 J
0
=i 。
假 设 非 均 匀 渐 变 渗 流 的 水 深 为 h, 相 应 的 水 力 坡 度
为 J 。 用 均 匀 渗 流 流 量 代 替 渐 变 渗 流 流 量,
有,
得到
(2 )
(2) 式 为 正 坡 地 下 明 渠 渐 变 渗 流 浸 润 曲 线 微 分 方 程 。
0kiAQ?
)(0 dldhikAk iA ??
)1( 0AAidldh ??
用正常水深线 N - N 将整个渗流区域划分为两个区域,
a 区, 实际水深 h > h
0
,A > A
0
,那么, 浸润曲线为 壅水曲线, 曲
线上游端当,,, 以 N - N 为 渐 近 线 ; 下游端
当,,, 以水平线为渐近线 。
b 区, 实际水深 h < h
0
,A < A
0
,那么, 浸润曲线为 降水曲线,
曲线上游端当,,, 以 N - N 为渐近线 ; 下游端
当,,, 曲线与渠底有正交的趋势 。
对 (2) 积分得到浸润线的计算公式 。
对于矩形棱柱体地下明渠, A = b h, A
0
= b h
0
,(2) 写成
(3)
上式积分得到矩形地下明渠的浸润曲线公式
0?dldh
0hh? 0AA? 0?
dl
dh
??h ??A i
dl
dh?
0?dldh
0hh? 0AA? 0?
dl
dh
0?h 0?A ??dldh
)1( 0hhidldh ??
令, 则, 代入 (3) 得到
有
沿渗流方向对两过水断面将上式积分得
(4)
式中,, l 为两断面间的距离 。
(4) 为 正 坡 棱 柱 体 矩 形 断 面 地 下 明 渠 渐 变 渗 流 浸 润 曲 线
的计算公式 。
0h
h??
0h
dhd ?? )11(0 ?? ?? idldh
?
?
?
?
d
i
hd
i
hdl )
1
11(
)11(
00
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?
]11ln)[(
1
2
12
0
?
????
?
???
i
hl
0
2
2 h
h??
0
1
1 h
h??
2,平坡地下明渠渐变渗流的浸润曲线
将 i=0 代入 ( 1 ) 得到
或 ( 5 )
由于 Q, k, A 均大于零,, 只能发生沿程水深渐
减的降水曲线 。 曲线上游端,,, 那么,
以水平线为渐近线 ; 曲线下游端当,,,
曲线与渠底有正交的趋势 。
若地下明渠断面为矩形, A = b h,
令 为单宽流量, 积分得
( 6 )
h
1
,h
2
分别为任意两断面的水深, L 为两断面间距, 上式
用于平坡 地下明渠渐变渗流的浸润曲线的计算 。
)( dldhkAQ ?? kAQdldh ??
0?dldh
??h ??A 0?dldh
0?h 0?A ???dldh
kbh
Q
dl
dh ??
b
Qq?
Lkqhh ?? )(21 2221
3,逆坡地下明渠渐变渗流的浸润曲线
或 (7)
上式中的 i
’
,Q, k, A 均为正值,, 只能发生
降水曲线 。 曲线上游端,,,那么,
以水平线为渐近线 ; 曲线下游端当,,
曲线与渠底有正交的趋势 。
)( ' dldhikAQ ??? )( ' kAQidldh ???
0?dldh
??h ??A iidldh ' ???
??h ??A ???dldh
虚拟一均匀渗流, 其渠底坡度为 i
’
,渗流流量和在逆坡明渠中渐
变渗流通过的流量相等, 则
或 ( 8 )
式中 A
0
’
为虚拟均匀渗流的过流断面面积 。
对于矩形棱柱体地下明渠, A = b h, A
0
= b h
0
,( 8 ) 写成
( 9 )
令, 则, 代入 ( 9 ) 得到
沿渗流方向对两过水断面将上式积分得
( 1 0 )
式中,, l 为两断面间的距离 。
( 1 0 ) 为逆坡棱柱体矩形断面地下明渠渐变渗流浸润曲线的计算公式 。
)( ''0' dldhikAAkiQ ???? )1( '0' AAidl ???
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0
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h
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'
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0
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h
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]11lg3.2 '
1
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2'
2
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0
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h
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0
2'
2 h
h??
'
0
1'
1 h
h??
第五节 井的渗流
井是一种抽取或排 除地下水的集水建 筑物, 在给排水
工程, 水文地质勘探和开发地下水资源方面应用广泛 。
井的分类,
实际工程中的井的 渗流是非恒定的, 但当渗流区广阔, 经
过较长时间的抽水 后, 所 抽 水 量 和 渗 流 入 井 的 水 量 基 本 相
等, 在 离 井 较 远 的 渗 流 区 水 位 基 本 保 持 不 变, 这时, 井周
围的渗流近似看成 是恒定渗流 。 本 节 也 仅 限 于 恒 定 渗 流 来
处理 。
?
?
?
?
?
有压地下水的井汲取两不透水层之间的自流井
水的井自由浸润面的无压地下汲取不透水层上部具有普通井
?
?
?
?
?
井井底不直达不透水层的不完全井
井底直达不透水层的井完全井
一 完全普通井
如 图 是 建 在 不 透 水 层 的 完 全 普 通 井, H 是含水层厚
度, 未抽水时, 井中水面和含水层水面平齐 。 若从井中开
始抽水, 则井中及周围的水面降低, 围绕井筒四周形成一
漏斗形的浸润表面 。 对于均匀各向同性的土壤来说, 降落
漏斗是一个轴对称的浸润曲线绕井轴中心线的旋转体 。 假
设井的抽水量远远小于含水层的蓄水量, 而且抽水量是一
定值, 经过一定时间后, 井水面及周围降落漏斗均保持在
某一恒定位置, 不随时间变化, 而且除井壁附近外的大部
分地区的浸润曲线的曲率很小,
看作是 一维恒定渐变渗流, 用 Dupuit 公式计算 。
设距井中心轴半径为 r 处的某过水断面的浸润线纵坐标为 z, 当半
径有一增量 dr 后相应有一增量 dz, 且 d z > 0, 且渐变渗流同一断面各
点的水力坡度 J 均相同,, 该断面上的流速为
该断面的过水断面面积为一圆柱面面积,, 则
移项得
积分
当 r = r
0
时, z = h
0
,代入上式得
因此 ( 1 )
(1) 为完全普通井的浸润线方程, h
0
井中水深, r
0
为井的半径 。 drdzJ? drdzkkJv ??
rzA ?2?
dr
dzrzkQ ?2?
r
dr
k
Qzdz
?2?
CrkQz ?? ln2 ?
020 ln rk
QhC
???
0
22 ln
r
r
k
Qhz
???
从理论上看,,, 从工程实用看, 当水面降落的浸润
曲线延伸到某一距离 R 后, 水面接近含水层厚度 H, 距离 R 以外的
地下水不受该井抽水的影响 。 当 r = R 时, z = H, R 称 为 井 的 影 响 半 径 。
影响半径, 井的渗流区认为是一有限的范围, 在 一 个 半 径 以 外 地
下水位不再受抽水影响而降低, 这一半径称为影响半径 。
将 r = R, z = H 代入 (1) 得到井的渗流量为
(2)
式中的 R 用试验方法测得, 或按经验公式计算,
(3)
式中 为井的抽水深度, 即 抽 水 后 井 中 水 面 降 落 深 度, k 为土壤
的渗透系数 。
??r Hz?
0
2
0
2
lg
)(36.1
r
R
hHkQ ??
kR ?? 3000
0hH ???
二 完全自流井
如图, 在没有抽水时, 井 中 水 位 为 H, 若抽水,
井中水深由 H 降到 h, 在井外的测压管水头线将下降
形 成 轴 对 称 的 漏 斗 形 降 落 曲 面 。 除 井 壁 附 近, 测压管
水头线曲率很小, 视为恒定渐变渗流 。
对半径为 r 的圆柱面过水断面面积, 由渐变渗流特性知断面上
各点的水力坡度相同,, 通过该断面的流量为
(4)
积分得到
当 r = r
0
时,h = h
0
,得到
最后得
(5)
该方程为完全自流井的水头曲线方程式 。
引入 r = R, z = H 代入 (5) 得到渗流量为
式中的 R 也可用 (3) 计算 。
rtA ?2?
dr
dzJ?
dr
dzrtkQ ?2?
CrrtQz ?? ln2?
00 ln2 rk
QhC
???
0
0 ln2 r
r
kt
Qhz
???
00
0
lg
73.2
lg
)(73.2
r
R
kt
r
R
hHktQ ????
