第七章 粘性流体
动力学基础
在研究粘性系数较小的流体在流速不大的
情况下, 可以近似地看成是理想流体流动, 用
前面讲的欧拉运动微分方程以及第六章理想流
体的势流理论来讨论 。 但若流体的粘性影响不
可忽略时, 就不能用上述理论, 要采取其他的
方法, 也就是本章将讲述的内容 。
第一节 纳维尔 -斯托克斯
方 程
一 粘性流体中的应力
粘性流体的法向应力和切向应力都必须同时考虑 。
在粘性流体表面上任取一点 N,过 N作微元面积 ΔA,
其外法线方向矢量为, 切线方向为, N点的表面应力
分为法向应力 pn和切向应力 τ,pn和 τ随微元面积 ΔA在空
间的位置而变化 。 在直角坐标系中将 pn和 τ沿 x,y,z三
个坐标轴分解成 9个应力分量, 即 。
（ 注意：应力符号中的下标, 下标第一个字母表示作用面的法线方
向, 第二个字母表示应力作用线的指向 。 ）
在这 9个分量中,,,, 因此只
有 6个独立分量 。
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二 粘性流体的运动方程
在粘性流体的任意点 A附近, 取一棱边平行
于坐标轴的平行六面体微团, 其边长分别为 dx,
dy,dz,表面应力在 y轴上分量如图 。
y轴上合力为,
（ 1）
流体微团质量与 y轴加速度的乘积为
（ 2）
由牛顿第二定律 （ 1） =（ 2）, 化简
Y d x dy d zd x d y d z
zy
p
x
Y d x dy d zd x d ydz
z
d x d y
d y d zdx
x
d y d zd x d zdy
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对于 x,z轴同理有
（ 3）
方程 （ 3） 就是以应力表示的粘性流体运动微分方程, 通
常 X,Y,Z作为已知量, 不可压缩流体 已知, 方程应
包含六个应力及三个速度分量, 共 9个未知数 。 而方程
（ 3） 加上连续性方程也只有 4个方程, 无法求解, 必须
找出新的补充关系式 。
dt
dv
zy
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xzyyyxy ?
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三 应力与变形速度的关系
由牛顿内摩擦定律知, 切应力与速度梯度关系为
（ 4）
在层流中取正方形流体微元面积 abcd,流层间存在相对
速度, 在运动中必然变形, 经时间 dt后变成 a’b’c’d’,ab
边线的转角为,, 那么角变形速度为
,牛顿内摩擦定律也可以写成
dn
dv?? ??
?d
dn
d v d ttg dd ?? ??
dn
dv
dt
d ??
dt
d??? ??
流体微团绕 z轴的剪切角速度为
流体微团各表面上的切应力为
（ 5）
法向应力的大小与其作用面的方位有关, 实际问题中,
法向应力用平均值 p作为某点的压力, 可
认为各个方向的法向应力等于这个平均值加上一个附加
压应力, 即,,
xy
yx
x
v
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?????
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2)(
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'xxxx ppp ?? 'yyyy ppp ?? 'zzzz ppp ??
附加压应力用牛顿内摩擦定律推导得到,
(6)
方程 （ 6） 称为广义牛顿内摩擦定律 。
因此 (7)
由不可压缩流体的连续性方程, 将方程 （ 7） 中三个式子
相加后平均得到, 正好验证了前面的论述 。
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2
四 Navier-Stokes方程
将方程 （ 5）, (7)代入方程 （ 3）, 对于 x轴方向的方程为,
化简
方程右边第三项引入 Laplace算子, 第四
项由连续性方程判断应该等于 0,最后得到
同理 （ 8）
方程 （ 8） 就是不可压缩流体的 Navier-Stokes方程, 简称
N-S方程 。 该方程是一个二阶非线性偏微分方程组, 目前
尚无普遍解, 但对于一些简单流动可化成线性方程求解 。
dt
dv
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z
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x
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第二节 边界层的
基本概念
用 N-S方程可以得到小雷诺数流动条件下的近似解,
工程上涉及到大雷诺数流动, 要寻求新的近似方法 。
在实际流体绕流固体时, 固体边界上的流速为 0,在
固体边界的外法线方向上的流体速度从 0迅速增大, 在边
界附近的流区存在相当大的速度梯度, 在这个流区内粘
性作用不能忽略, 边界附近的流区称为 边界层 （ 或附面
层 ）, 边界层外流区, 粘性作用可以忽略, 当作理想流
体来处理 。
如图, 平板前方均匀来流的速度 v∞,从平板前缘开始形
成边界层, 其厚度沿流增加 。 在边界层外缘附近流速渐
近于当地外流速度 。 认为边界层厚度是沿表面法线方向
从到的一段距离 。
边界层定义,绕流物体表面上一层厚度很小且其中的流
动具有很大法向速度梯度的流动区域 。
注意,
1,对于平板绕流, 边界层外缘, 对于弯曲固壁, 边界层外缘 。
2,边界层的外边界线与流线不重合, 外流区域中的流体质点可以连续地穿过边界层的外缘
进入边界层内 。
第三节 边界层动量方程
流体绕流中作用在物体上的力可以分为垂直于来流方向的升力和平行于来流方向的阻力, 绕流阻力可
以分成摩擦阻力与形状阻力, 都与边界层有关 。 绕流
阻力作用表现在于边界层内流速的降低, 引起动量的
变化 。 通过建立边界层的动量方程来研究摩擦阻力 。
沿物体的曲面取 x轴, 沿物体表面法线取 y轴, 在物
体表面取边界层微元段 ABCD,把它放大, x轴便成为
直线, 线段 BD长为 dx,AC为边界层外边界, AB、
CD垂直于物体表面 。
假设,
① 不计质量力
② 流动为定常流动
③ dx无限小, BD,AC可看成直线
由动量方程 （ 1）
MCD,MAB,MAC分别为单位时间内通过 CD,AB,AC
面的流体动量在 x轴上的分量, ∑Fx为作用在微元面积段
上所有外力合力在 x轴上的投影 。
由控制面 AB沿 x方向流入动量 （ 2）
由控制面 CD沿 x方向流出动量
（ 3）
由控制面 AC沿 x方向流入动量 （ 4）
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?? ? ?0 2 dyvM xAB
dxdyvxdyvdxxMMM xxABABAB )( 0 20 2 ?? ???????? ?? ??
???? ? ? ?0 )( dxdyvxvM xAC
? ???????????? dxdsdxxppddxxpppF x 0s i n)21())(( ?????
因为, 所以
边界层内边界就是物体表面, 其流速为 0,其压强等于边
界层外边界的压强, 即沿物体表面的法线 y方向压强不变,
p与 y 无关, 可用全微分代替偏微分, 上式可写作
（ 5）
将 （ 2）, （ 3）, （ 4）, （ 5） 代入 （ 1） 得到
（ 6）
方程 （ 6） 就是 边界层积分方程, 由冯 ·卡门首先推导出来
的, 称作 卡门动量积分方程 。
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? ???? dxdxdxdpF x 0??
00 0 2 ????
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dx
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dx
dv
xx
第四节 平板边界层计算
边界层动量方程当 时, 有 5个未知量, 其中
的 v∞用前面的势流理论求解, p由伯努利方程计算, 还
剩下,, 3个未知量, 补充 2个方程, 一是边界
层内流速分布的关系式, 二是切应力与边界
层厚度的关系 式 。 后者根据流速分布的关系
式求解得到 。
通常在计算边界层动量积分方程时, 先假定流速
分布 。 这里将就如何应用动量积分方程求解
平板绕流作介绍 。
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xv ? 0?
)(yvv xx ?
)(00 ??? ?
)(yvv xx ?
在二维定常均速流场中, 在流动方向上放置一极薄的
光滑平板, 平板前端取作坐标原点, 平板表面为 x轴,
来流速度 v∞平行于平板 。 由于平板极薄, 边界层外部
的流动不受平板的影响, 因此边界层外边界上流速处
处相等, 等于来流速度 v∞。 由于流速不变, 边界层外
边界上压强 p也处处相等, 。 对于不可压缩流体,
平板绕流边界层动量方程可写成,
（ 1）
该方程适用于层流和紊流边界层 。
0?dxdp
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0 0
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ddyv
dx
dv
xx
一 平板层流边界层的计算
设定平板上为层流边界层, 首先补充边界层流速分布
关系式, 假定层流边界层内的流速分布与管流中的层流
速度分布相同, 即
应用于层流边界层, 流速分布为
或 （ 2）
补充第二个关系式, 由牛顿内摩擦定律, 求平板上的切
应力
上式中负号表示切应力和 x轴的方向相反, 用其绝对值
（ 3）
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把 （ 2）, （ 3） 代入 （ 1）
对于某固定断面 是定值可提到积分号之外, v∞沿 x方向
不变, 可以提到对 x的全导数之外, 最后得到 沿 x方向的
变化关系式
当, 时,, 因此
上式化简为 （ 4）
方程 （ 4） 是平板边界层厚度沿 s方向的变化关系式 。
把 （ 4） 代入 （ 3） （ 5）
（ 5） 为平板层流边界层的切应力沿 x方向的变化关系式 。
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作用在平板一面上的总摩擦阻力 Df为
（ 6）
b为平板宽度, L为平板厚度 。
求平板两面的总摩擦阻力只需乘以 2。
通常将绕流摩擦阻力计算公式写成下列形式
（ 7）
Cf — 无因次摩擦阻力系数； A — 平板面积 。 将 （ 6） 和
（ 7） 对照得到
即 （ 8）
ReL是以板长 L为特征长度的 Re数, （ 8） 适用范围
3× 105<ReL<106。
LvbbdxD Lf 30 0 73.0 ??? ? ???
AvCD ff 2 2?? ?
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L
fC Re
146.1?
二 平板紊流边界层的计算
假定整个平板上都是紊流边界层, 首先补充边界层流速
分布关系式, 紊流边界层内的流速分布用圆管中紊流光
滑区的速度分布, 即
应用到紊流边界层, 速度分布为 （ 9）
切应力借用圆管关系式 （ 10）
将 （ 9） 和 （ 10） 代入 （ 1）, 积分得到
当, 时,, 因此 （ 11）
把 （ 11） 代入 （ 10） 得到 （ 12）
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1
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max )( r
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1
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平板一面的摩擦阻力为
用 表示, 得到 （ 13）
注意：实验表明, 将上式中的 0.072改成 0.074效果要好些
与层流边界层相比, Re增加时, 紊流的 Cf减小得要慢些,
（ 13） 适用范围 3× 105<ReL<107。 当 ReL>107时流速分布
变化
（ 14）
5
1
2
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5
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58.2Relg
445.0
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三 平板上混合边界层的计算
前面假定整个平板上是层流或紊流边界层, 实际上,
当 Re增大到一定数值时, 平板长度达到一定长度, 即
时, 平板前部是层流边界层, 后部是紊流边界层,
中间有一过渡段, 这种边界层称为混合边界层 。
计算时引入假设,
（ 1） 层流边界层转变为紊流边界层是在处突然发生, 无
过渡段；
（ 2） 混合边界层的紊流边界层可以看作是从平板的首端
开始的紊流边界层的一部分 。
kxL?
那么, 整个混合边界层平板上的总摩擦阻力由层流边界
层的摩擦阻力和紊流边界层的摩擦阻力两部分组成 。
Cfm — 混合边界层摩阻系数；
Cft — 紊流边界层摩阻系数；
Cfl — 层流边界层摩阻系数；
xk — 转折点到平板首端的距离 。
化简后,
（ 15）
kflkftftfm bx
vCbxvCbLvCbLvC
2222
2222
???? ??? ????
LxCCCC kflftftfm /)( ???
第五节 边界层分离现象
流体绕过非线型钝头物体时, 较早脱离物体表面,
在物体后部形成较宽阔的尾流区, 在边界层内, 流体
质点在某些情况下向边界层外流动的现象称为边界层
从固体分离 。
以圆柱绕流为例, 虚线为边界层外边界 。
注意,C点的位置，这是由于在加速减压和减速增压的过
程中，还存在克服流动阻力所消耗的能量损失
由伯努利方程知, 愈靠近圆柱, 流速越小, 压强
越大, 在贴近圆柱面 A处流速为 0,压强最大, A点称
为驻点 。 由于液体不可压缩, 继续流来的液体质点在
驻点的压强的作用下, 将压能转化为动能, 从而改变
流向, 沿圆柱面两侧继续向前流动 。 由于圆柱面的阻
滞作用, 在表面产生边界层, 从 A点经 1/4圆周到 B点
之前, 柱面向外凸出, 流线趋于密集, 边界层内流体
处在加速减压情况,, 这时由于压能减小部分还能
够补偿动能增加和由于克服流动阻力而消耗的能量损
失, 因此此时 B点处边界层内流体质点速度不为 0。
0???xp
过 B点之后, 流线逐渐疏散, 边界层内流体处于减速
增压的情况, 动能转化成压能, 同时也用以克服流动阻
力而消耗的能量 。 在 C点处边界层内流体质点速度下降为
0。 流体质点在 C点停滞下来, 形成新的停滞点, 继续流
来的流体质点将脱离原来的流线, 沿另一流线 CE流去,
从而使边界层脱离了圆柱面, 这样就形成了边界层的分
离现象, C点为 分离点 。 分离点的位置与绕流物的形状,
粗糙程度, 流动的 Re数和来流与物体的相对方向有关 。
边界层分离后, 边界层和圆柱面之间, 由于分离点下
游压强大, 从而使流体发生反向回流, 形成旋涡区 。
第六节 粘性阻力及减阻
绕流物体的阻力分成 摩擦阻力 和 形状阻力 两种, 前
者用边界层理论求解, 后者一般依靠实验 。
形状阻力 （ 压差阻力 ）,粘性流体绕流时, 在物体
表面上所作用的压力的合力在流动方向上的投影 。
对非流线型物体, 是由于边界层的分离, 在物体尾
部形成旋涡, 旋涡区的压强较物体前部低, 在流动方向
上产生了压强差, 形成了作用于物体上的阻力, 称为压
差阻力 。 压差阻力主要取决于物体的形状 。
一 摩擦阻力
是由于流体的粘性引起的, 当流体绕流物体时, 在表
面上形成了边界层, 边界层内速度梯度大, 粘性的牵
制作用使物体受到阻力 。 阻力发生在运动物体表面上 。
二 压差阻力
与边界层的分离现象密切相关 。 当流体流过一个圆头
尖尾的回转体时, 在物体前端形成减速区, 在前端顶
点 A形成驻点, 流体压强随流速变化而变化, 在驻点
处最大, 离开驻点, 压强逐渐减小, 从 B点处开始变
成负值, 过最大速度点 C后, 流速减小, 压强上升,
压强又变成正值 。
压强分布如实线所示, 虚线理想压强分布 。
从图中可以看出, 前端的正压强产生一个向后的水平
合力, 后端的正压强产生一个向前的水平合力, 中段压强
为负值, 产生吸力, 其前半部合成一向前的水平力, 后半
部合成一向后的水平力, 这两者数值相差不大, 几乎相互
抵消 。 因此, 物体所受的水平合力取决于前端正压强造成
的向后的较大的力与后端正压强造成的向前的较小的力,
相互抵消后, 还剩下向后的反物体前进的力, 即压差阻力 。
三 悬浮速度
一直径为 d的圆球从静止开始在静止流体中自由下
落, 由于重力作用而加速, 但加速以后, 由于速度增大
受到的阻力也增大, 因此经过一段时间后, 圆球的重量
与所受的浮力和阻力达到平衡, 作等速沉降, 其速度为
自由沉降速度, 用 uf表示 。 圆球在流体中沉降时所受到
的阻力与流体流过圆球的绕流阻力相同 。
绕流阻力
CD — 绕流阻力系数
浮力 重力
— 流体密度 ； — 球体密度。
22
2
8
1
2 duCA
uCD
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f
D ??
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? s?
由力平衡关系
即
所以
CD与 Re数有关,
计算 uf时要用到 CD,CD又与 Re有关, 由于 Re中又包含待定的 uf,需
多次试算 。 常假定 Re的范围, 再验证 Re与假定是否一致 。
DBG ??
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Re
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1Re
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D
D
D
C
C
C
四 总阻力和减阻
压差阻力和摩擦阻力两部分的和称为总阻力 。 其大小依赖于物
体形状, 如对于流线型物体, 边界层分离点接近尾端, 基本上只有
摩擦阻力 。
压差阻力的差别很大, 取决于边界层的分离 。 物体后部曲率越大,
分离越早, 分离趋于越大, 尾流越粗, 压差阻力越大；反之, 越小 。
从减小阻力角度看, 采用圆头尖尾的物体很有用 。
对摩擦阻力而言, 层流边界层小于紊流边界层, 防止边界层转变
为紊流, 达到减阻目的, 同时物面光滑或润湿面小, 有利于减小摩
擦阻力 。
通常减小阻力的措施有,
① 采用流线型外形
② 控制边界层
③ 采用小的物面粗糙度
动力学基础
在研究粘性系数较小的流体在流速不大的
情况下, 可以近似地看成是理想流体流动, 用
前面讲的欧拉运动微分方程以及第六章理想流
体的势流理论来讨论 。 但若流体的粘性影响不
可忽略时, 就不能用上述理论, 要采取其他的
方法, 也就是本章将讲述的内容 。
第一节 纳维尔 -斯托克斯
方 程
一 粘性流体中的应力
粘性流体的法向应力和切向应力都必须同时考虑 。
在粘性流体表面上任取一点 N,过 N作微元面积 ΔA,
其外法线方向矢量为, 切线方向为, N点的表面应力
分为法向应力 pn和切向应力 τ,pn和 τ随微元面积 ΔA在空
间的位置而变化 。 在直角坐标系中将 pn和 τ沿 x,y,z三
个坐标轴分解成 9个应力分量, 即 。
（ 注意：应力符号中的下标, 下标第一个字母表示作用面的法线方
向, 第二个字母表示应力作用线的指向 。 ）
在这 9个分量中,,,, 因此只
有 6个独立分量 。
n ?
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二 粘性流体的运动方程
在粘性流体的任意点 A附近, 取一棱边平行
于坐标轴的平行六面体微团, 其边长分别为 dx,
dy,dz,表面应力在 y轴上分量如图 。
y轴上合力为,
（ 1）
流体微团质量与 y轴加速度的乘积为
（ 2）
由牛顿第二定律 （ 1） =（ 2）, 化简
Y d x dy d zd x d y d z
zy
p
x
Y d x dy d zd x d ydz
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dt
dvYdxdydz y?
对于 x,z轴同理有
（ 3）
方程 （ 3） 就是以应力表示的粘性流体运动微分方程, 通
常 X,Y,Z作为已知量, 不可压缩流体 已知, 方程应
包含六个应力及三个速度分量, 共 9个未知数 。 而方程
（ 3） 加上连续性方程也只有 4个方程, 无法求解, 必须
找出新的补充关系式 。
dt
dv
zy
p
xY
xzyyyxy ?
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xzxyxxx
)(
1
)(
1
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三 应力与变形速度的关系
由牛顿内摩擦定律知, 切应力与速度梯度关系为
（ 4）
在层流中取正方形流体微元面积 abcd,流层间存在相对
速度, 在运动中必然变形, 经时间 dt后变成 a’b’c’d’,ab
边线的转角为,, 那么角变形速度为
,牛顿内摩擦定律也可以写成
dn
dv?? ??
?d
dn
d v d ttg dd ?? ??
dn
dv
dt
d ??
dt
d??? ??
流体微团绕 z轴的剪切角速度为
流体微团各表面上的切应力为
（ 5）
法向应力的大小与其作用面的方位有关, 实际问题中,
法向应力用平均值 p作为某点的压力, 可
认为各个方向的法向应力等于这个平均值加上一个附加
压应力, 即,,
xy
yx
x
v
y
vd ?? 2?
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yxxy
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v
y
v
z
v
x
v
y
v
?????
?????
?????
2)(
2)(
2)(
)(31 zzyyxx pppp ???
'xxxx ppp ?? 'yyyy ppp ?? 'zzzz ppp ??
附加压应力用牛顿内摩擦定律推导得到,
(6)
方程 （ 6） 称为广义牛顿内摩擦定律 。
因此 (7)
由不可压缩流体的连续性方程, 将方程 （ 7） 中三个式子
相加后平均得到, 正好验证了前面的论述 。
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x
v
pp
z
zz
y
yy
x
xx
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2
2
2
四 Navier-Stokes方程
将方程 （ 5）, (7)代入方程 （ 3）, 对于 x轴方向的方程为,
化简
方程右边第三项引入 Laplace算子, 第四
项由连续性方程判断应该等于 0,最后得到
同理 （ 8）
方程 （ 8） 就是不可压缩流体的 Navier-Stokes方程, 简称
N-S方程 。 该方程是一个二阶非线性偏微分方程组, 目前
尚无普遍解, 但对于一些简单流动可化成线性方程求解 。
dt
dv
x
v
z
v
zx
v
y
v
yx
vp
xX
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dt
dv
v
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X
z
z
y
y
x
x
2
2
2
1
1
1
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?
?
?
?
?
?
?
?
第二节 边界层的
基本概念
用 N-S方程可以得到小雷诺数流动条件下的近似解,
工程上涉及到大雷诺数流动, 要寻求新的近似方法 。
在实际流体绕流固体时, 固体边界上的流速为 0,在
固体边界的外法线方向上的流体速度从 0迅速增大, 在边
界附近的流区存在相当大的速度梯度, 在这个流区内粘
性作用不能忽略, 边界附近的流区称为 边界层 （ 或附面
层 ）, 边界层外流区, 粘性作用可以忽略, 当作理想流
体来处理 。
如图, 平板前方均匀来流的速度 v∞,从平板前缘开始形
成边界层, 其厚度沿流增加 。 在边界层外缘附近流速渐
近于当地外流速度 。 认为边界层厚度是沿表面法线方向
从到的一段距离 。
边界层定义,绕流物体表面上一层厚度很小且其中的流
动具有很大法向速度梯度的流动区域 。
注意,
1,对于平板绕流, 边界层外缘, 对于弯曲固壁, 边界层外缘 。
2,边界层的外边界线与流线不重合, 外流区域中的流体质点可以连续地穿过边界层的外缘
进入边界层内 。
第三节 边界层动量方程
流体绕流中作用在物体上的力可以分为垂直于来流方向的升力和平行于来流方向的阻力, 绕流阻力可
以分成摩擦阻力与形状阻力, 都与边界层有关 。 绕流
阻力作用表现在于边界层内流速的降低, 引起动量的
变化 。 通过建立边界层的动量方程来研究摩擦阻力 。
沿物体的曲面取 x轴, 沿物体表面法线取 y轴, 在物
体表面取边界层微元段 ABCD,把它放大, x轴便成为
直线, 线段 BD长为 dx,AC为边界层外边界, AB、
CD垂直于物体表面 。
假设,
① 不计质量力
② 流动为定常流动
③ dx无限小, BD,AC可看成直线
由动量方程 （ 1）
MCD,MAB,MAC分别为单位时间内通过 CD,AB,AC
面的流体动量在 x轴上的分量, ∑Fx为作用在微元面积段
上所有外力合力在 x轴上的投影 。
由控制面 AB沿 x方向流入动量 （ 2）
由控制面 CD沿 x方向流出动量
（ 3）
由控制面 AC沿 x方向流入动量 （ 4）
???? xACABCD FMMM
?? ? ?0 2 dyvM xAB
dxdyvxdyvdxxMMM xxABABAB )( 0 20 2 ?? ???????? ?? ??
???? ? ? ?0 )( dxdyvxvM xAC
? ???????????? dxdsdxxppddxxpppF x 0s i n)21())(( ?????
因为, 所以
边界层内边界就是物体表面, 其流速为 0,其压强等于边
界层外边界的压强, 即沿物体表面的法线 y方向压强不变,
p与 y 无关, 可用全微分代替偏微分, 上式可写作
（ 5）
将 （ 2）, （ 3）, （ 4）, （ 5） 代入 （ 1） 得到
（ 6）
方程 （ 6） 就是 边界层积分方程, 由冯 ·卡门首先推导出来
的, 称作 卡门动量积分方程 。
?? dds ??sin ? ????????? dxd x dxpdxxpF x 021 ???
? ???? dxdxdxdpF x 0??
00 0 2 ????
? ? ????? ?
? dx
dpdyv
dx
ddyv
dx
dv
xx
第四节 平板边界层计算
边界层动量方程当 时, 有 5个未知量, 其中
的 v∞用前面的势流理论求解, p由伯努利方程计算, 还
剩下,, 3个未知量, 补充 2个方程, 一是边界
层内流速分布的关系式, 二是切应力与边界
层厚度的关系 式 。 后者根据流速分布的关系
式求解得到 。
通常在计算边界层动量积分方程时, 先假定流速
分布 。 这里将就如何应用动量积分方程求解
平板绕流作介绍 。
C??
xv ? 0?
)(yvv xx ?
)(00 ??? ?
)(yvv xx ?
在二维定常均速流场中, 在流动方向上放置一极薄的
光滑平板, 平板前端取作坐标原点, 平板表面为 x轴,
来流速度 v∞平行于平板 。 由于平板极薄, 边界层外部
的流动不受平板的影响, 因此边界层外边界上流速处
处相等, 等于来流速度 v∞。 由于流速不变, 边界层外
边界上压强 p也处处相等, 。 对于不可压缩流体,
平板绕流边界层动量方程可写成,
（ 1）
该方程适用于层流和紊流边界层 。
0?dxdp
?
?? ? 0
0 0
2 ??? ?
? dyvdx
ddyv
dx
dv
xx
一 平板层流边界层的计算
设定平板上为层流边界层, 首先补充边界层流速分布
关系式, 假定层流边界层内的流速分布与管流中的层流
速度分布相同, 即
应用于层流边界层, 流速分布为
或 （ 2）
补充第二个关系式, 由牛顿内摩擦定律, 求平板上的切
应力
上式中负号表示切应力和 x轴的方向相反, 用其绝对值
（ 3）
)1( 2
0
2
max r
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2
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x
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x ??? ?
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dy
dv
yy
x 2|)]
2(
2[|
0
2
00
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把 （ 2）, （ 3） 代入 （ 1）
对于某固定断面 是定值可提到积分号之外, v∞沿 x方向
不变, 可以提到对 x的全导数之外, 最后得到 沿 x方向的
变化关系式
当, 时,, 因此
上式化简为 （ 4）
方程 （ 4） 是平板边界层厚度沿 s方向的变化关系式 。
把 （ 4） 代入 （ 3） （ 5）
（ 5） 为平板层流边界层的切应力沿 x方向的变化关系式 。
??
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????
? ? ???
? ????? ?
vdyyyv
dx
ddyyyv
dx
dv 2)]
2(
2[)
2(
2
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2
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Cxv ??? 2151
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0?x 0?? 0?C xv ??
215
1 2??
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? vx?? 477.5
x
v 3
0 3 65.0
?? ???
作用在平板一面上的总摩擦阻力 Df为
（ 6）
b为平板宽度, L为平板厚度 。
求平板两面的总摩擦阻力只需乘以 2。
通常将绕流摩擦阻力计算公式写成下列形式
（ 7）
Cf — 无因次摩擦阻力系数； A — 平板面积 。 将 （ 6） 和
（ 7） 对照得到
即 （ 8）
ReL是以板长 L为特征长度的 Re数, （ 8） 适用范围
3× 105<ReL<106。
LvbbdxD Lf 30 0 73.0 ??? ? ???
AvCD ff 2 2?? ?
LvLvC f ?? ??
?
?
? 46.146.1
L
fC Re
146.1?
二 平板紊流边界层的计算
假定整个平板上都是紊流边界层, 首先补充边界层流速
分布关系式, 紊流边界层内的流速分布用圆管中紊流光
滑区的速度分布, 即
应用到紊流边界层, 速度分布为 （ 9）
切应力借用圆管关系式 （ 10）
将 （ 9） 和 （ 10） 代入 （ 1）, 积分得到
当, 时,, 因此 （ 11）
把 （ 11） 代入 （ 10） 得到 （ 12）
7
1
0
max )( r
rvv ?
7
1
)(?yvvx ??
4
1
2
0 )(0 22 5.0 ?
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Cxv ???
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72
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0?x 0?? 0?C x
xv
5
1
37.0 ??
?
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???
??
?
??
5
1
2
0 029.0 ???
?
???
??
?
? xvv
???
平板一面的摩擦阻力为
用 表示, 得到 （ 13）
注意：实验表明, 将上式中的 0.072改成 0.074效果要好些
与层流边界层相比, Re增加时, 紊流的 Cf减小得要慢些,
（ 13） 适用范围 3× 105<ReL<107。 当 ReL>107时流速分布
变化
（ 14）
5
1
2
0 0
036.0 ??
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?
???
???
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?? LvbLvbdxD
L
f
???
AvCD ff 2 2?? ?
5
5
1
Re
0 72.00 72.0
L
f LvC ????
?
???
??
?
?
58.2Relg
445.0
）（ LfC ?
三 平板上混合边界层的计算
前面假定整个平板上是层流或紊流边界层, 实际上,
当 Re增大到一定数值时, 平板长度达到一定长度, 即
时, 平板前部是层流边界层, 后部是紊流边界层,
中间有一过渡段, 这种边界层称为混合边界层 。
计算时引入假设,
（ 1） 层流边界层转变为紊流边界层是在处突然发生, 无
过渡段；
（ 2） 混合边界层的紊流边界层可以看作是从平板的首端
开始的紊流边界层的一部分 。
kxL?
那么, 整个混合边界层平板上的总摩擦阻力由层流边界
层的摩擦阻力和紊流边界层的摩擦阻力两部分组成 。
Cfm — 混合边界层摩阻系数；
Cft — 紊流边界层摩阻系数；
Cfl — 层流边界层摩阻系数；
xk — 转折点到平板首端的距离 。
化简后,
（ 15）
kflkftftfm bx
vCbxvCbLvCbLvC
2222
2222
???? ??? ????
LxCCCC kflftftfm /)( ???
第五节 边界层分离现象
流体绕过非线型钝头物体时, 较早脱离物体表面,
在物体后部形成较宽阔的尾流区, 在边界层内, 流体
质点在某些情况下向边界层外流动的现象称为边界层
从固体分离 。
以圆柱绕流为例, 虚线为边界层外边界 。
注意,C点的位置，这是由于在加速减压和减速增压的过
程中，还存在克服流动阻力所消耗的能量损失
由伯努利方程知, 愈靠近圆柱, 流速越小, 压强
越大, 在贴近圆柱面 A处流速为 0,压强最大, A点称
为驻点 。 由于液体不可压缩, 继续流来的液体质点在
驻点的压强的作用下, 将压能转化为动能, 从而改变
流向, 沿圆柱面两侧继续向前流动 。 由于圆柱面的阻
滞作用, 在表面产生边界层, 从 A点经 1/4圆周到 B点
之前, 柱面向外凸出, 流线趋于密集, 边界层内流体
处在加速减压情况,, 这时由于压能减小部分还能
够补偿动能增加和由于克服流动阻力而消耗的能量损
失, 因此此时 B点处边界层内流体质点速度不为 0。
0???xp
过 B点之后, 流线逐渐疏散, 边界层内流体处于减速
增压的情况, 动能转化成压能, 同时也用以克服流动阻
力而消耗的能量 。 在 C点处边界层内流体质点速度下降为
0。 流体质点在 C点停滞下来, 形成新的停滞点, 继续流
来的流体质点将脱离原来的流线, 沿另一流线 CE流去,
从而使边界层脱离了圆柱面, 这样就形成了边界层的分
离现象, C点为 分离点 。 分离点的位置与绕流物的形状,
粗糙程度, 流动的 Re数和来流与物体的相对方向有关 。
边界层分离后, 边界层和圆柱面之间, 由于分离点下
游压强大, 从而使流体发生反向回流, 形成旋涡区 。
第六节 粘性阻力及减阻
绕流物体的阻力分成 摩擦阻力 和 形状阻力 两种, 前
者用边界层理论求解, 后者一般依靠实验 。
形状阻力 （ 压差阻力 ）,粘性流体绕流时, 在物体
表面上所作用的压力的合力在流动方向上的投影 。
对非流线型物体, 是由于边界层的分离, 在物体尾
部形成旋涡, 旋涡区的压强较物体前部低, 在流动方向
上产生了压强差, 形成了作用于物体上的阻力, 称为压
差阻力 。 压差阻力主要取决于物体的形状 。
一 摩擦阻力
是由于流体的粘性引起的, 当流体绕流物体时, 在表
面上形成了边界层, 边界层内速度梯度大, 粘性的牵
制作用使物体受到阻力 。 阻力发生在运动物体表面上 。
二 压差阻力
与边界层的分离现象密切相关 。 当流体流过一个圆头
尖尾的回转体时, 在物体前端形成减速区, 在前端顶
点 A形成驻点, 流体压强随流速变化而变化, 在驻点
处最大, 离开驻点, 压强逐渐减小, 从 B点处开始变
成负值, 过最大速度点 C后, 流速减小, 压强上升,
压强又变成正值 。
压强分布如实线所示, 虚线理想压强分布 。
从图中可以看出, 前端的正压强产生一个向后的水平
合力, 后端的正压强产生一个向前的水平合力, 中段压强
为负值, 产生吸力, 其前半部合成一向前的水平力, 后半
部合成一向后的水平力, 这两者数值相差不大, 几乎相互
抵消 。 因此, 物体所受的水平合力取决于前端正压强造成
的向后的较大的力与后端正压强造成的向前的较小的力,
相互抵消后, 还剩下向后的反物体前进的力, 即压差阻力 。
三 悬浮速度
一直径为 d的圆球从静止开始在静止流体中自由下
落, 由于重力作用而加速, 但加速以后, 由于速度增大
受到的阻力也增大, 因此经过一段时间后, 圆球的重量
与所受的浮力和阻力达到平衡, 作等速沉降, 其速度为
自由沉降速度, 用 uf表示 。 圆球在流体中沉降时所受到
的阻力与流体流过圆球的绕流阻力相同 。
绕流阻力
CD — 绕流阻力系数
浮力 重力
— 流体密度 ； — 球体密度。
22
2
8
1
2 duCA
uCD
fD
f
D ??
? ??
gdB ?? 361? gdG s?? 361?
? s?
由力平衡关系
即
所以
CD与 Re数有关,
计算 uf时要用到 CD,CD又与 Re有关, 由于 Re中又包含待定的 uf,需
多次试算 。 常假定 Re的范围, 再验证 Re与假定是否一致 。
DBG ??
2233
8
1
6
1
6
1 duCgdgd
fDs ?????? ??
gdCu s
D
f )(3
4
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?? ??
?
?
?
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?
?
?
?
?
????
???
??
45.0102Re10
Re
13
10Re10
Re
24
1Re
53
3
D
D
D
C
C
C
四 总阻力和减阻
压差阻力和摩擦阻力两部分的和称为总阻力 。 其大小依赖于物
体形状, 如对于流线型物体, 边界层分离点接近尾端, 基本上只有
摩擦阻力 。
压差阻力的差别很大, 取决于边界层的分离 。 物体后部曲率越大,
分离越早, 分离趋于越大, 尾流越粗, 压差阻力越大；反之, 越小 。
从减小阻力角度看, 采用圆头尖尾的物体很有用 。
对摩擦阻力而言, 层流边界层小于紊流边界层, 防止边界层转变
为紊流, 达到减阻目的, 同时物面光滑或润湿面小, 有利于减小摩
擦阻力 。
通常减小阻力的措施有,
① 采用流线型外形
② 控制边界层
③ 采用小的物面粗糙度
