一 质点系的动能定理
质点系 动能定理
0kk
inex EEWW ???
1m
2m
im
exiF?
iniF?
内力可以改变质点系的动能 注意
内力功 外力功
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inex EEEEWW
i
i
i
i
i
i
i
i ????? ????
对质点系，有
0kk
inex
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对第 个质点，有
i
§ 3-6 功能原理 机械能守恒定律
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机械能
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质点系动能定理
0kk
inex EEWW ???
非保守
力的功 inncincinin WWWW
i
i ??? ?
)EE()EE(W
i
i
i
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in
c ?????? ??
0
in
nc
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二 质点系的功能原理
质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于
外力和非保守内力作功之和,
pk EE ???? )( 0pp0kk EEEE ????
当
0inncex ?? WW 0EE ?
时,有
)()( 0p0kpkinncex EEEEWW ?????
功能原理
三 机械能守恒定律
机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下，
质点系的机械能保持不变,
守恒定律的 意义
不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是
各个守恒定律的特点和优点,
如图的系统，物体 A,B 置于光滑的桌面上，
物体 A 和 C,B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首
先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B,使弹簧压
缩，后拆除外力,则 A 和 B 弹开过程中,对 A、
B,C,D 组成的系统
讨论
（ A）动量守恒，机械能守恒,
（ B）动量不守恒，机械能守恒,
（ C）动量不守恒，机械能不守恒,
（ D）动量守恒，机械能不一定守恒,
D
B
C
A
D
B
C
A
例 1 一雪橇从高度为 50m 的山顶上点 A沿冰道由
静止下滑,山顶到山下的坡道长为 500m, 雪橇滑至山下
点 B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在 C
处, 若摩擦因数为 0.050, 求此雪橇沿水平冰道滑行的
路程, (点 B附近可视为连续弯曲的滑道,忽略空气阻力,)
NF
?
fF
?
P?
?sinP
?cosP
?
h
's
已知
,m500',050.0,m50 ??? sh ?
求, s
解 以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得
12f EEW ??
)'( ' c o s f ssmgm g ssmgW ?????? ?????
m g hEE ??? 12
又
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NF
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?sinP
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12f EEW ??
由功能原理
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代入已知数据有
,m500',050.0,m50 ??? sh ? )'( f ssmgW ??? ?
例 2 有一轻弹簧,其一端系在铅直放置的圆环的
顶点 P,另一端系一质量为 m 的小球,小球穿过圆环并
在圆环上运动 (不计摩擦 ),开始小球静止于点 A,弹簧
处于自然状态,其长度为圆环半径 R; 当小球运动到圆环
的底端点 B时,小球对圆环没有压力, 求弹簧的劲度系数,
解 以弹簧、小球和地球为一系统,
?30
o
P
B
R
A
BA ?? 只有保守内力做功
系统机械能守恒 ?
AB EE ?
0p ?E取图中点 为重力势能零点 B
又
R
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2v
??
所以
R
mg
k
2
?
即
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2
1
2
1 22
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o
P
B
R
A
0p ?E
系统机械能守恒
AB EE ?
,图中 点为重力势能零点 B
例 3 在一截面积变化的弯曲管中,稳定流动着不
可压缩的密度为 ? 的流体, 点 a 处的压强为 p1、截面积
为 A1,在点 b 处的压强为 p2 截面积为 A2,由于点 a 和点 b
之间存在压力差,流体将在管中移动, 在点 a 和点 b 处的
速率分别为 和,求流体的压强和速率之间的关系,
2v1v
y
x
o
1x 11 d xx ? 2x 22 d xx ?
2y
1y
2p
1p
1v
2v
a
b
1A
2A
VxAxA ddd 2211 ?? VppW p d)(d 21 ???
222111 ddd xApxApW p ??
则
解 取如图所示坐标,在 时间内, 处流体分别
移动,, td a b
1dx 2dx
又
V)yy(g)yy(gmW g ddd 1212 ???????? ?
y
x
o 1x 11 d xx ? 2x 22 d xx ?
2y
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2p
1p
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2v
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a
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2A
由动能定理得
2
1
2
21221 d2
1d
2
1d)(d)( vv VVVyygVpp ??? ??????
得
2
222
2
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1
2
1
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即
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2
1
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常量
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xo 1x 11 d xx ? 2x 22 d xx ?
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1p
1v
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a
b
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2A
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VyygW g d)(d 21 ???? ?
若将流管放在水平面上，即
21 yy ?
??? 2
2
1
v?? gyp
常量 伯努利方程
则有
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2
1
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常量
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若将流管放在水平面上，即
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则有
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2
22
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2
1
2
1
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即
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若 则
四 宇宙速度
牛顿的, 自然哲学的数学原理, 插图，抛体
的运动轨迹取决于抛体的初速度
设 地球质量,抛体质量,地球半径, Em
ERm
v?
h
``````
解 取抛体和地球为一系统,
系统的机械能 E 守恒,
1） 人造地球卫星 第一宇宙速度
第一宇宙速度,是在地面上发射人造地球卫星
所需的最小速度, 1v
)(
2
1
E
E2
1
R
mm
GmE ??? v
)(
2
1
E
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mm
Gm
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解得
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Gm
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由牛顿第二定律和万有引力定律得
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地球表面附近 hR ??
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计算得 第一宇宙速度
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2
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我国 1977年发射升空的东方红三号通信卫星
2） 人造行星 第二宇宙速度
0
)(
2
1
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E
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2
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R
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h
设 地球质量,抛体质量,地球半径, Em
ERm
第二宇宙速度,是 抛体脱离地球引力所需
的最小发射速度, 2v
E 取抛体和地球为一系统 系统机械能 守恒,
0;0,???? vFr
当 若此时 则
E
E
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2 2
2
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R
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第二宇宙速度
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2
1
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h
k m / s2.112 ?v
计算得
3） 飞出太阳系 第三宇宙速度
第三宇宙速度,是 抛体脱离太阳引力所需的
最小发射速度, 3v
v?h
设 地球质量,抛体质量,地球半径,Em ERm
太阳质量,抛体与太阳相距,
Sm SR
取地球为参考系,由机械能 守恒得
2
E
E2
3 2
1
)(
2
1
v'v m
R
mm
Gm ???
取抛体和地球为一系统, 抛体 首先要 脱离
地球引力的束缚,其相对于地球的速率为,
v'
取太阳为参考系,抛体 相对于太阳的速度
为,
3'v 地球相对于
太阳的速度 E3 '' vvv ??? ??则
如 与 同向,有
E ' vv
??
E3 '' vvv ??
要 脱离太阳引力，机械能至少为零
0)(
2
1
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S
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3 ?????? ?? EER
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S
S
3 )
2
(
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由于 与 同向,
则抛体与太阳的距离 即为地球轨道半径
设地球绕太阳轨道近似为一圆,
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则
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第三宇宙速度
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R
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S
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Gm
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计算得
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h
抛 体 的 轨 迹 与 能 量 的 关 系
0?E
0?E 椭 圆 (包括圆 )
k m / s9.71 ?v
0?E
0?E 抛物线
k m / s2.112 ?v
0?E
0?E 双曲线
sm,4 k16 3 ?v
卫
星
轨
道
图
? 1957年 10月 4日，前苏联用三级火箭成功地发射了第一颗人
造地球卫星 —— 旅行者一号，宣告了航天时代的到来。
? 1958年 1月 31日，美国发射了美国历史上第一颗人造地球
卫星 —— 探险者 1号。
? 1961年 4月 21日，前苏联宇航员加加林（ 1934—— 1968）
驾驶“东方一号”飞上了太空,
成功地实现了人类史上的第
一次载人太空航行。
?1969年 7月 16日，美国发射
了载人登月飞船“阿波罗 11
号”，在月球的表面终于印
上了人类第一个脚印。
? 1970年 4月 24日，我国也成功
地发射了第一颗人造地球卫星 —
— 东方红一号。
东方红三号
? 1999年，我国“神州一号”飞船发射
成功；随后“神州二号”,“神州三
号”,“神州四号”相继升空。
? 2003年 10月，中国飞天第一人杨利
伟乘载人飞船“神州五号”一飞冲天。
? 2005年 10月 17日 4时 33分，载有航天
员聂海盛、费俊龙的“神州六号”飞船
安全着陆于内蒙古草原。
神州六号
质点系 动能定理
0kk
inex EEWW ???
1m
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内力可以改变质点系的动能 注意
内力功 外力功
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对第 个质点，有
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二 质点系的功能原理
质点系的功能原理 质点系机械能的增量等于
外力和非保守内力作功之和,
pk EE ???? )( 0pp0kk EEEE ????
当
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时,有
)()( 0p0kpkinncex EEEEWW ?????
功能原理
三 机械能守恒定律
机械能守恒定律 只有保守内力作功的情况下，
质点系的机械能保持不变,
守恒定律的 意义
不究过程细节而能对系统的状态下结论，这是
各个守恒定律的特点和优点,
如图的系统，物体 A,B 置于光滑的桌面上，
物体 A 和 C,B 和 D 之间摩擦因数均不为零，首
先用外力沿水平方向相向推压 A 和 B,使弹簧压
缩，后拆除外力,则 A 和 B 弹开过程中,对 A、
B,C,D 组成的系统
讨论
（ A）动量守恒，机械能守恒,
（ B）动量不守恒，机械能守恒,
（ C）动量不守恒，机械能不守恒,
（ D）动量守恒，机械能不一定守恒,
D
B
C
A
D
B
C
A
例 1 一雪橇从高度为 50m 的山顶上点 A沿冰道由
静止下滑,山顶到山下的坡道长为 500m, 雪橇滑至山下
点 B后,又沿水平冰道继续滑行,滑行若干米后停止在 C
处, 若摩擦因数为 0.050, 求此雪橇沿水平冰道滑行的
路程, (点 B附近可视为连续弯曲的滑道,忽略空气阻力,)
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已知
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解 以雪橇、冰道和地球为一系统，由功能原理得
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由功能原理
m500' ??? shs ?
代入已知数据有
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例 2 有一轻弹簧,其一端系在铅直放置的圆环的
顶点 P,另一端系一质量为 m 的小球,小球穿过圆环并
在圆环上运动 (不计摩擦 ),开始小球静止于点 A,弹簧
处于自然状态,其长度为圆环半径 R; 当小球运动到圆环
的底端点 B时,小球对圆环没有压力, 求弹簧的劲度系数,
解 以弹簧、小球和地球为一系统,
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系统机械能守恒 ?
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系统机械能守恒
AB EE ?
,图中 点为重力势能零点 B
例 3 在一截面积变化的弯曲管中,稳定流动着不
可压缩的密度为 ? 的流体, 点 a 处的压强为 p1、截面积
为 A1,在点 b 处的压强为 p2 截面积为 A2,由于点 a 和点 b
之间存在压力差,流体将在管中移动, 在点 a 和点 b 处的
速率分别为 和,求流体的压强和速率之间的关系,
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则
解 取如图所示坐标,在 时间内, 处流体分别
移动,, td a b
1dx 2dx
又
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若 则
四 宇宙速度
牛顿的, 自然哲学的数学原理, 插图，抛体
的运动轨迹取决于抛体的初速度
设 地球质量,抛体质量,地球半径, Em
ERm
v?
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解 取抛体和地球为一系统,
系统的机械能 E 守恒,
1） 人造地球卫星 第一宇宙速度
第一宇宙速度,是在地面上发射人造地球卫星
所需的最小速度, 1v
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计算得 第一宇宙速度
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我国 1977年发射升空的东方红三号通信卫星
2） 人造行星 第二宇宙速度
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设 地球质量,抛体质量,地球半径, Em
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第二宇宙速度,是 抛体脱离地球引力所需
的最小发射速度, 2v
E 取抛体和地球为一系统 系统机械能 守恒,
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当 若此时 则
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计算得
3） 飞出太阳系 第三宇宙速度
第三宇宙速度,是 抛体脱离太阳引力所需的
最小发射速度, 3v
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设 地球质量,抛体质量,地球半径,Em ERm
太阳质量,抛体与太阳相距,
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取地球为参考系,由机械能 守恒得
2
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取抛体和地球为一系统, 抛体 首先要 脱离
地球引力的束缚,其相对于地球的速率为,
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取太阳为参考系,抛体 相对于太阳的速度
为,
3'v 地球相对于
太阳的速度 E3 '' vvv ??? ??则
如 与 同向,有
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要 脱离太阳引力，机械能至少为零
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由于 与 同向,
则抛体与太阳的距离 即为地球轨道半径
设地球绕太阳轨道近似为一圆,
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第三宇宙速度
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计算得
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抛 体 的 轨 迹 与 能 量 的 关 系
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0?E
0?E 抛物线
k m / s2.112 ?v
0?E
0?E 双曲线
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卫
星
轨
道
图
? 1957年 10月 4日，前苏联用三级火箭成功地发射了第一颗人
造地球卫星 —— 旅行者一号，宣告了航天时代的到来。
? 1958年 1月 31日，美国发射了美国历史上第一颗人造地球
卫星 —— 探险者 1号。
? 1961年 4月 21日，前苏联宇航员加加林（ 1934—— 1968）
驾驶“东方一号”飞上了太空,
成功地实现了人类史上的第
一次载人太空航行。
?1969年 7月 16日，美国发射
了载人登月飞船“阿波罗 11
号”，在月球的表面终于印
上了人类第一个脚印。
? 1970年 4月 24日，我国也成功
地发射了第一颗人造地球卫星 —
— 东方红一号。
东方红三号
? 1999年，我国“神州一号”飞船发射
成功；随后“神州二号”,“神州三
号”,“神州四号”相继升空。
? 2003年 10月，中国飞天第一人杨利
伟乘载人飞船“神州五号”一飞冲天。
? 2005年 10月 17日 4时 33分，载有航天
员聂海盛、费俊龙的“神州六号”飞船
安全着陆于内蒙古草原。
神州六号
