力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、
角动量定理,
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一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
22k vv mEmp ?? ??
质点 运动状态的描述
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理,
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刚体 定轴转动运动状态的描述
0,0 ?? p???
§ 4-3 角动量 角动量守恒定律
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1 质点的角动量
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质量为 的质点以速度
在空间运动，某时刻相对原点
O 的位矢为,质点相对于原
点的角动量
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大小
的方向符合右手法则, L?
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作用于质点的合力对 参考点 O
的力矩,等于质点对该点 O 的 角
动量 随时间的 变化率,
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质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该
参考点 O 的角动量为一恒矢量,
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恒矢量
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质点的角动量定理,对同一参考点 O,质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量,
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3 质点的角动量守恒定律
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例 1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内,一质
量为 m 的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动, 小球开始
时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上 ),
然后从 A 点开始下滑,设小球与圆环间的摩擦略去不计,求
小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度,
解 小球受重力和支持
力作用,支持力的力矩为零,
重力矩垂直纸面向里
由质点的角动量定理
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例 2 一质量 的登月飞船,在离
月球表面高度 处绕月球作圆周运动,飞船
采用如下登月方式, 当飞船位于点 A 时,它向外侧短
时间喷气,使飞船与月球相切地到达点 B,且 OA 与
OB 垂直, 飞船所喷气体相对飞船的速度为
, 已知
月球半径 ;
在飞船登月过程中,月球的
重力加速度视为常量
,
试问登月飞船在登月过程
中所需消耗燃料的质量
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解 设飞船在点 A 的
速度,月球质量 mM,
由万有引力和牛顿定律 0v
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求 所需消耗燃料的质量, m?
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得
当飞船在 A点以相对速度
向外喷气的短时间里,飞船的
质量减少了 Δm 而为,并获得
速度的增量,使飞船的速度
变为,其值为 v
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质量 在 A 点和 B 点只受有心力作用,角动量守恒 'm
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达月球的过程中,机械能守恒
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二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
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1 刚体定轴转动的角动量
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2 刚体定轴转动的角动量定理
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? 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律,
? 内力矩不改变系统的角动量,
? 守 恒条件 0?M
若 不变,不变；若 变,也变，但 不变, J
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J
刚体定轴转动的角动量定理
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2
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t
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3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
0?M 常量?? ?JL，则 若
讨论
exin MM ???? 在 冲击 等问题中 ?? L 常量
有许多现象都可以
用角动量守恒来说明,
?花样滑冰
?跳水运动员跳水
直升飞机的尾翼为
什么要安装螺旋桨？
请看,猫刚掉下的时候，由于体重的缘故，四脚
朝天，脊背朝地，这样下来肯定会摔死。请你 注
意,猫狠狠地甩了一下尾巴，结果，四脚转向地
面，当它着地时，四脚伸直，通过下蹲，缓解了
冲击。那么，甩尾巴而获得四脚转向的过程，就
是角动量守恒过程。
为什么猫从高处落下时总
能四脚着地？
例 3 质量很小长度为 l 的均匀细杆,可绕过其中心 O
并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动,当细杆静止于水平
位置时,有一只小虫以速率 垂直落在距点 O为 l/4 处,并
背离点 O 向细杆的端点 A 爬行,设小虫与细杆的质量均为
m.问,欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率
向细杆端点爬行?
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解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞
前后系统角动量守恒
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由角动量定理
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例 4 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下
落到跷板的一端 A,并把跷板另一端的演员 N 弹了起来,设
跷板是匀质的,长度为 l,质量为,跷板可绕中部支撑点 C
在竖直平面内转动,演员的质量均为 m.假定演员 M落在跷
板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞,问演员 N可弹起多
高?
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M
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解 碰撞前 M 落在
A点的速度
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碰撞后的瞬间,M、
N具有相同的线速度
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把 M,N和跷板作为
一个系统,角动量守恒
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三、旋进 —— 角动量定理的应用举例
1、陀螺
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(1)若,则在重力矩
作用下，陀螺将绕垂直于板面
的轴转动，即倒地。
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(2) 当 时，重力矩
将改变 的方向，而不改变
的大小 (因 )。
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旋进角速度
2.车轮的旋进 （演示）
讨论,
? 改变 ? 的方向，旋进方向是否改变？
? 改变配重 G，对旋进有什么影响？
? 用外力矩加速（或阻碍）旋进，会
发生什么现象？
o
L?
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3,回转仪实验,
如图所示的杠杆陀螺仪。当陀螺仪高速旋转时，
移动平衡物 B，杆不会倾斜，而是在水平面内绕 O旋转
。这种运动称为旋进运动，它是在外力矩作用下产生
的回转效应 。
4,抛体的旋进
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5、旋进现象在自然界广泛存在,
地球的旋进；
用电子在外磁场中的旋进解释物
质的磁化的本质；
…..,
被 中 香 炉 惯性导航仪（陀螺）
角动量守恒定律在技术中的应用
自然界中存在多种守恒定律
? 动量守恒定律 — 空间平移对称
?能量守恒定律 — 时间平移对称
?角动量守恒定律 — 空间转动对称
?电荷守恒定律 — 量子力学的相移对称
?质量守恒定律
?宇称守恒定律 — 空间反演对称
角动量定理,
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一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
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质点 运动状态的描述
力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理,
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刚体 定轴转动运动状态的描述
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§ 4-3 角动量 角动量守恒定律
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1 质点的角动量
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在空间运动，某时刻相对原点
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参考点 O 的角动量为一恒矢量,
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质点的角动量定理,对同一参考点 O,质点所受
的冲量矩等于质点角动量的增量,
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3 质点的角动量守恒定律
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例 1 一半径为 R 的光滑圆环置于竖直平面内,一质
量为 m 的小球穿在圆环上,并可在圆环上滑动, 小球开始
时静止于圆环上的点 A (该点在通过环心 O 的水平面上 ),
然后从 A 点开始下滑,设小球与圆环间的摩擦略去不计,求
小球滑到点 B 时对环心 O 的角动量和角速度,
解 小球受重力和支持
力作用,支持力的力矩为零,
重力矩垂直纸面向里
由质点的角动量定理
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例 2 一质量 的登月飞船,在离
月球表面高度 处绕月球作圆周运动,飞船
采用如下登月方式, 当飞船位于点 A 时,它向外侧短
时间喷气,使飞船与月球相切地到达点 B,且 OA 与
OB 垂直, 飞船所喷气体相对飞船的速度为
, 已知
月球半径 ;
在飞船登月过程中,月球的
重力加速度视为常量
,
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当飞船在 A点以相对速度
向外喷气的短时间里,飞船的
质量减少了 Δm 而为,并获得
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二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
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1 刚体定轴转动的角动量
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? 角动量守恒定律是自然界的一个基本定律,
? 内力矩不改变系统的角动量,
? 守 恒条件 0?M
若 不变,不变；若 变,也变，但 不变, J
? ? ?JL ?
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刚体定轴转动的角动量定理
12
2
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???
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
0?M 常量?? ?JL，则 若
讨论
exin MM ???? 在 冲击 等问题中 ?? L 常量
有许多现象都可以
用角动量守恒来说明,
?花样滑冰
?跳水运动员跳水
直升飞机的尾翼为
什么要安装螺旋桨？
请看,猫刚掉下的时候，由于体重的缘故，四脚
朝天，脊背朝地，这样下来肯定会摔死。请你 注
意,猫狠狠地甩了一下尾巴，结果，四脚转向地
面，当它着地时，四脚伸直，通过下蹲，缓解了
冲击。那么，甩尾巴而获得四脚转向的过程，就
是角动量守恒过程。
为什么猫从高处落下时总
能四脚着地？
例 3 质量很小长度为 l 的均匀细杆,可绕过其中心 O
并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动,当细杆静止于水平
位置时,有一只小虫以速率 垂直落在距点 O为 l/4 处,并
背离点 O 向细杆的端点 A 爬行,设小虫与细杆的质量均为
m.问,欲使细杆以恒定的角速度转动,小虫应以多大速率
向细杆端点爬行?
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例 4 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下
落到跷板的一端 A,并把跷板另一端的演员 N 弹了起来,设
跷板是匀质的,长度为 l,质量为,跷板可绕中部支撑点 C
在竖直平面内转动,演员的质量均为 m.假定演员 M落在跷
板上,与跷板的碰撞是完全非弹性碰撞,问演员 N可弹起多
高?
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解 碰撞前 M 落在
A点的速度
21
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碰撞后的瞬间,M、
N具有相同的线速度
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把 M,N和跷板作为
一个系统,角动量守恒
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解得
演员 N 以 u 起
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三、旋进 —— 角动量定理的应用举例
1、陀螺
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(1)若,则在重力矩
作用下，陀螺将绕垂直于板面
的轴转动，即倒地。
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(2) 当 时，重力矩
将改变 的方向，而不改变
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—— 旋进
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旋进角速度
2.车轮的旋进 （演示）
讨论,
? 改变 ? 的方向，旋进方向是否改变？
? 改变配重 G，对旋进有什么影响？
? 用外力矩加速（或阻碍）旋进，会
发生什么现象？
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3,回转仪实验,
如图所示的杠杆陀螺仪。当陀螺仪高速旋转时，
移动平衡物 B，杆不会倾斜，而是在水平面内绕 O旋转
。这种运动称为旋进运动，它是在外力矩作用下产生
的回转效应 。
4,抛体的旋进
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5、旋进现象在自然界广泛存在,
地球的旋进；
用电子在外磁场中的旋进解释物
质的磁化的本质；
…..,
被 中 香 炉 惯性导航仪（陀螺）
角动量守恒定律在技术中的应用
自然界中存在多种守恒定律
? 动量守恒定律 — 空间平移对称
?能量守恒定律 — 时间平移对称
?角动量守恒定律 — 空间转动对称
?电荷守恒定律 — 量子力学的相移对称
?质量守恒定律
?宇称守恒定律 — 空间反演对称
