第九讲、恒定磁场（Ⅱ） §3.1、媒质的磁化 §3.2、恒定磁场的基本方程·分解面的边值条件 §3.3、标量磁位 一、媒质的磁化 1、材料的磁特性:磁化 A、几个相关概念 ①、磁矩 SInISm ?? == ? （9.1） 注意：法向与电流环绕向满足右手螺弦法则 ②、转矩（力矩） （9.2） 注意： 1）力矩的物理意义：转矩（T）使得磁矩转向外磁感应强度（B）的 方向 转矩来源于磁矩受力的非平动性 2）转矩的大小为TBSinθ,当θ=0或π时，转矩为零 3）稳定平衡与非稳定平衡：θ=0，稳定平衡；θ=π，非稳定平衡 BmT ??? ×= B? n? 图9.2 转矩 n? 环电流的面积为S 电流大小为I 环电流的法向方向如图 图9.1力矩 稳定平衡 非稳定平衡 图9.3 稳定平衡与非稳定平衡 4）磁化：一般顺磁物质磁化的结果使得总的磁场增强 5）物质的磁分类 B、磁化的描述 ①、磁化强度：为了宏观描述材料的磁化特征，引入一个称为媒质的 磁化强度的物理量。在媒质中某点，围绕该点取一小的体积元ΔV， 叠加出该体积元内所有的磁矩，则磁化强度为 （9.3） 媒质中某点的磁化强度数值上等于在该点单位体积内的磁矩。 注意 1）磁化的意义：使原磁场增强。本质上讲使由于分子电流的磁化， 在宏观上形成体电流体分布和面电流分布 2）磁铁自身外层就是一包 络电流 ?? ??? >> ≥ ）铁磁性物质（导磁率 反磁性物质（很少） 一般，导磁率顺磁性物质 0 0)( m m 00 BBBB ???? >+= 磁化总 vlimM 0v ? ∑= →? m?? 外层形成一包 络电流 图9.4 稳定平衡与非稳定平衡 2、磁化体密度与面密度 ( ) ()?? ? =× ?=×? 部由磁化材料内部指向外 节公式推导见 nKnM M m m ?5.9? 634.9?? ?? d 注意： 1）、（ 9.4）式是严格的，可由定义直接推出，参见郭硕鸿《电动力学》 第一版第29页或梁灿彬等《电磁学》第一版第449页 2）、（ 9.5）式可由（1）式推出，利用向量恒等式 sdFdvF ??? ×?=?×? ∫∫ 二、恒定磁场的基本方程 1、普遍形式下安培环路定律的表述 注：推导如下 若整个空间充满导磁媒质，若材料的磁导率为μ，磁感应强度和磁场 强度分别为 例一、 HH HMHB HM IldHHMB r m m ?? ???? ?? ????? mmm cmm c m == +=+=? = =??=? ∫ 0 00 0 )1()( 对于线性媒质 令 ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?× ? ?× ? ?× = ∫ ∫ ∫ 3 3 3 ' '')'( ' '')'( ' '' 4 rr rrdvr rr rrdsrK rr rrldI B c c ?? ??? ?? ??? ?? ??? ? d p m ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?× ? ?× ? ?× = ∫ ∫ ∫ 3 3 3 ' '')'( ' '')'( ' '' 4 1 rr rrdvr rr rrdsrK rr rrldI H c c ?? ??? ?? ??? ?? ??? ? d p ∫∫ ∫∫ =????+= ?×?+=+=? IldMBldMI sdMIIIldB s m ????? ???? )( )( 0 00 000 mmm mmm H为磁场强度 μr：媒质的相对磁导率 μ媒质的磁导率 ∫ =? IldH ?? HHB r ??? mmm == 0 a???? 0MMnK =×= 例9-1半径为a，长度为L的圆柱被永久地磁化为 （1）求沿轴各处的B和H； （2）求远离圆柱（r>>L）处的磁场 （3）利用（1）的结果，求x、y方向无限展开、厚度为L的永久磁 化片所产生的B和H 解：1) zdMzdMldKdI ′=′?=?= 00 aa ???? ∫ +? ′ ′?+ = ′?+ ′= 2 2 2 3 22 2 00 2 3 22 2 00 ))((2 ))((2 L L zd zza aMB zza azdMdB m m ??? ??? ? ??? ??? ? ++ + + ?+ ? =? 2 1 222 1 22 00 ))2(( 2 ))2(( 2 2 Lza ZL Lza ZLM B m 2)Z>>L, Z>>a kMM ?00 =? Z kM ?0 a X L ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? + + + + ? ?= 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 00 )1) 21 1([ 1 )]1) 21 1([ 1 2 z Lz a z Lz a MB m 3 3 00 2 2 00 22 2 2 00 2 2 2 2 2 2 00 2)]221(221[2 1 2 ]) 21 1()) 21 1[( 2 1 2 ) 21 1(1)) 21 1( 2 11(1 2 z LaM z L z L z aM z L z Lz aM z Lz a z Lz aMB mm m m =??+?= + ? ? ?= ?? ?? ? ?? ?? ? + ?+ ? ?×?= 3) a >>L, a >>Z B=0, => H+M=0 H=-M =M0k 2、磁通连续性原理 0=?∫ sdB ?? 3、恒定磁场的基本方程积分形式、微分形式 00 =???=?∫ BsdB ??? （9.6） cHIldH d ???? =×??=?∫ （9.7） 注意： ①、（ 9.7）式的推导，利用 ∫ ?= sdI c ??d ②、积分方程依然适用；微分形式固然简洁，只适用连续媒质，对于 两种媒质的交界面处，由于媒质的非连续性，导致场量的不连续，微 分形式不再适用。 ③、对于微分方程+边界，是人们处理电磁场问题的一般模式，为此， 将求解区域分区处理，在不连续的媒质交界面面处，利用边界条件进 行连接。 三、分解面的边值条件 1、分界面上的边界条件表述 )9.9( )8.9( 12 12 nn tt BB KHH = =? 讨论：一般情况，当材料为 理想磁媒质时，表面没有传导 电流，上式变为 2、方程的推证：类似于静 电场边值条件的方法进行 推导 例9-2、已知Z>0区域，μr2 =4; Z<0区域μr1 =1,设Z>0区域，B是 均匀的，θ2=600，α2=450，磁感应强度的大小为1，试求在Z>0区域 的向量磁感应强度和磁场强度。 t μ1 μ2 L 该边为小小量 该边为小量 图9.9 分解面切向场条件推导 H2 H1 红点表示表面 电流方向向外 H1t H2t H1 H2 μ1 图9.5 分解面切向场条件 μ2 )9.9( )8.9( 12 12 ′= ′= nn tt BB HH 较之上下项，此两项为零 ∫∫∫∫∫ =+++= ????? 左下上右 0ldldldldld HHHHH ????? ????? 解、分析：求解边值问题，利用理想 介质分解面的边界条件 磁感应强度的方向： Z 600 X Y 450 μ2 μ1 nn tt BB HH 12 12 = = 2 160cos1 8 360sin 4 1 0 21 0 0 02 2 21 === ==== ? ? nn t tt BB BHH mmm 4 3 2 1 8 3 45 1 1 1 0 21 arctgarctgHHarctg n t === == q aa 7 1 1 11 0 21 0 0 1 111 103219,819 2 160cos1 8 360sin 4 ? ? ? ===? === === pm m mm BHB BB HB nn tt 四、有限域磁场计算法:辅助函数法 1、辅助函数法之一：标量磁位法 ①、标量磁位（数学意义）:在传导电流密度为零的区域，可以引入一标量磁 位求解磁场强度。 m HHldH j??=?=×??=?∫ ???? 00 （9.10） 000 2 =??=???=?∫ m BsdB j??? （9.11） 由（9.10）式还可以引入磁压的概念 （9.12） （9.11）式称为标量磁位的拉普拉斯方程， ∫ ?=?= BAmBmAmAB ldHU ??jj 边值条件 02 =? m j这是求解无源 区磁场问题的 一般方法 注意：（ 1 ）、标量磁位、磁压的概念只适用于传导电流密度为零的区 域；若所考察的区域电流密度不为零，标量磁位、磁压的概念都不存 在。例如，下图沿红虚线和蓝虚线积分分别表示为 （2）、标量磁位只是一个辅助函数，没有物理意义 ②、在无源区的边界条件可以以标量磁位表示 问题？标量磁位只适用于自由电流密度为零的区域，具有一定的局限 性，能否找出既适用于无源区、又适合于有源区的“全天侯”辅助函 数？ nn mm mm ?=? = 2 2 1 1 21 jmjm jj ∫∫ ∫∫∫ +?=?? +?=??=? AmBAlB AmBAlBAlBmA IldHldH IldHldHIldH 2???? ?????? I B m A l n r 红线代表绕电流一圈 蓝线代表绕电流两圈 图9.10、有源区磁场强度的环路积分与路径有关 第九讲课后作业： P185 3-11 P186 3-13 P186 3-15