第六讲、恒定电流场（Ⅰ） §2.1电流域电流密度 §2.2导电媒质中恒定电场的基本方程 §2.3分解面上的边界条件 §2.4导电媒质中的恒定电场与静电场的比拟 §2.5电导与接地电阻（Ⅰ） 一、三项基本原则 二、基本描述量：电流、电流密度以及电动势 1、电流密度的定义:电场中某点的电流密度数值上等于在垂直于电荷 流动的方向上单位面积、单位时间通过的电量；电流密度的方向为电 流在该点的电荷的流向。 2、电流密度的表示： 3、在电荷流经的某一横截面上，单位时间流过电荷量的多少 截面面积为S A、恒定电场又被称为恒定电流场。“恒定”的意义： 是相对于静电场而言的，其本质为动态平衡。 B、静电场的基本规律这里都适用（包括概念、场特 征等） C、有自身的一些特殊性：“动态”，因此要引入描述 这一特征的物理特征的概念，以找出其规律。 vsdt sdtv rr =? ??? ?? ? = = = vI vK v ?? ?? ?? t s rd : : : 线密度 面密度 体密度 （6.1） st qI = （6.2） 4、电流强度与电流密度的关系 5、电动势：为了描述外部因素做功（‘发电’）的能力，引入电动势 在图6.1中，对于导体回路，若无外力，自由电荷会沿电力线移动， 达到静电平衡。要使电路恒定，必须有外力，克服电场力，把电荷从 低电位移到高电位 红线表示外部因素等效场（external）Ee 黑线表示实际电力线电场E R U 图6.1、电动势的物理机理 + + + + + - - - - - n d sdsdv dt sddtvdI ?????? ?=?=??= drr （6.3） ??? ??? ? ? ? = ∫ ∫ v ldk sd I l s t d ?? ?? ∫ ∫∫ + ? + ? + ? ?== ?=?= ldEqW ldEqldEqW e ee ?? ???? e （6.4） 电动势数值上等于外力（外部因素）把单位电荷从负极移到正极所做 的功。 评注：电动势客观上能够反映出外部能量转换成电能的能力，若电位 时间把I电量（即通电电流为I）从负极移到正极，则电源提供的能 量为 IW ?=e （6.5） （6.5）式是电路分析中大家熟知的电源的功率。 三、基本规律 1、欧姆定律 )7.4(cc EE drgd ???? == 或 理解：1）（ 4.7）式的物理意义终于电场驱动电荷运动。上式实质上 就是欧姆定律，称为欧姆定律的微分形式，推导如下 s s d c U = RI = RI Ed =r E =rd c d 截面面积为S d c d 图6.2 欧姆定律 2）、上式中， ?、r分别为导体的电导率和电阻率，它们互为倒数， 又因材料的不同而不同。例如土壤的电导率10-2，铜的电导率6.17·107 3）、是电功率的微分形式 上式中，ds为在垂直电流密度的方向上所取的面积元，dl为电流密度 的方向上所取的线元 2、电荷守恒定律：通过任意闭合曲面的电流密度通量等于闭合曲面 内部电荷量的减少。 讨论：若域内无电荷变化，电流处于一种稳恒状态，则（4.8）式右端为零， 称为电流连续性方程 E???d dv dp dv EdIld dsdl dsdlEE =?=?=? )( ??????? dd 注意：1）?/?t的由来： ∫ ?=?s c dqdtsd??d 2）负号表示减少 )8.4(∫ ???=? s c t qsd??d )9.4(0∫ =? s c sd??d 电流守恒：流进的电流线 等于流出的电流线 6.3电流守恒图示 3、恒定电场的基本方程 4、导电媒质中的恒定电场与静电场的比拟 问题：对于电场中的闭合回路，电力线如何分布？ 局部外场存在时)( 0)( eEE ldEldEldEE c ee ??? ???????? += =??=?=?+ ∫∫∫ + ? gd ee ??? ??? ? = =???=? =×??=? ∫ ∫ E sd EldE C cc ?? ??? ??? gd dd 00 00 静电场（ρ=0处） 导电媒质中的恒定电场（电源外） 静电场（r=0处） E j D q ε 导体媒质中恒定电场（电源外） E j δc I Υ 场量的 对应关 系： ∫∫ ?=?== =?=? =??=?? ??=??= =×?=×? s csd c sdIsdDq D EE EE ???? ?? ?? ?? dy jj d jj 00 00 00 22 5、求解电流场的基本途径：电位拉普拉斯方程+边界条件 ①、拉普拉斯方程 00)(0))((0)( 0 2 =??=?????=?????=??? ?? ?? ? =?? = ??= jjgjgg d gd j EE E c c ? ? ?? ? 2j=0 （4.9） ②、边界条件 E1t=E2t dc1n=dc2n g1E1n =g2E2n 四、例题 A、对称求解 例6-1、求内导体半径为R1，外导体半径为R2的同轴电缆的单位长度 绝缘电阻，设绝缘体的电导率为γ 解：解题分析，漏电是因为材料的非理想绝缘特性所致 V E d I R I d E V R 设内外导体间电压为V，由于具有对称性 假设内导体单位长度带电量为t，，由于场分 布的对称性，根据高斯定律 r r R R VEldEV r rE R R ?????? 1 20 ln ;2 2 1 =??== ∫pet pg pgp pe tgd pe tgd 2 ln ln 2121 2;2 1 2 1 200 R R I VR R R Vr rsdIr r ==? =??=?== ∫ ?? ?? 例 6-2、以橡胶作为绝缘漏电阻是通过下述方法测定的：把长度为 L 的电缆浸入盐水溶液中，然后在电缆导体和溶液之间加电压，从而可 测得电流。有一段3米长的电缆，浸入溶液后加200伏电压，测得电 流为2·10-9安培，已知绝缘层的厚度与中心导体的半径相等，求绝缘 层的电阻率（忽略边缘效应）。 解：盐水溶液可以看成良导体，所加电压就可以看成是加在电缆内 外层之间的；忽略边缘效应的意义：分析内外层导体之间场分布时， 可以将导体柱看成无限长处理 根据上例结果，容易得出电导率为 此处为内导体与 外导体壳之间的 绝缘层 Vl R RI l R R I VR pgpg 2 ln 2 ln 1 2 1 2 =?== B、拉普拉斯直接求解 例题6-3、如图，一导电弧片由两块不同导电率的金属薄片构成，对 应弧角为90度，已知 g1 = 6.5·107西门子/米，g2 = 1.2·107西门子/ 米，设边缘弧片的电导率远大于金属薄片的电导率。如图，R1=30cm， R2=45cm米，R3=60cm，钢片厚度为d=2mm，电极置于钢片的外内 弧边，设电极间加电压为100伏，求： （1） 弧片内的电位分布（设内弧片上的电极为零电位）（ 10分） （2） 在两种弧片的分界面上电流密度、电场强度、电位移向量这 三个量，那个连续？那个不连续？试说明理由（5分） （3）总电流（3分） （4）弧片电阻（2分） 解：1）分析：电位只与径向坐标有关，在两种媒质中分别求解拉普 拉斯方程 R1 R2 R3 d 材料g1 材料g2 电极边 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? + ?=? + =? + ?=? + =? 2 3 2 1 2 1 11 2 2 3 2 1 2 1 1 1 2 3 2 1 2 1 32 2 2 3 2 1 2 1 2 1 lnln ln100 lnln 100 lnln ln100100 lnln 100 R R R R RD R R R RD R R R R RC R R R RC gg g gg g gg g gg g 由上述方程，需要确定四个未知数，利用边界条件 ? ? ? ? ? +=?=?????=? +=?=?????=? DrCrrr BrArrr ln0)(10 ln0)(10 122 2 111 2 jjj jjj ? ? ? ??? ? =???=?? +=+?= =+?= =+?= = 2111 2 2 1 1 2212212221 21112 23131 2 lnln)()( 0ln0)( 100ln100)( ggjgjg jj j j DCrr DRDCRCRR DRDR CRCR RR 2）电场、电流密度的方向沿径向向下，两种导电材料的分解面的法 向为径向，故电场、电流密度的法向分量就是电场、电流密度大小 由于电流场恒定，由边值条件，电流密度的法向连续，由此得出： 在分解面上，电流密度连续，即 利用电场强度与电流密度的关系 在理想导体中，电场强度与电位移向量相差一系数因子 3）计算从外弧边到内弧边所流进的总电流，取由外向内的任意一个 弧面（why？），弧 面 处半径为r，通过电流密度的面积分可以得出： 4）根据欧姆定律，弧片电阻为 212121 dddddd ?? =?=?= nn 21221121 EEEE ?????? ≠?=?= ggdd 2121202101 , DDEEEDED ???????? ≠?≠== ee === ?? +??=?= ?? ? ∫ ∫∫ dCdrdrC rdsrr CrCsdI ss c 11 2 0 11 21 1 2 1 )(])ln([ gpqg gd p ???? 11 200 2 100 gpgp AAI UR === 第六讲课后作业： P113页：①、2-2 P86页：②、2-4 P86页：③、2-6