第十三讲、时变场之一 §5-1、电磁感应定律 §5-2、全电流定律； §5-3、电磁场的基本方程组； §5-4、玻印亭向量与玻印亭定理 一、电磁感应定律（磁‘生’电） 1、 法拉第电磁感应定律（磁‘生’电） ①、法拉第电磁感应定律概念表述：通过某 一闭合回路的磁链发生变化时，闭合回路一 定产生感生电动势，感生电动势所产生的感 生电流的磁链的方向总是障碍原磁链的变化。 问题：感生电流是如何产生的？ ②、感生电场：电荷能够运动，空间一定有 电场，这种电场称为感生电场。感生电场 遍布空间。 问题：感生电场大小、方向以及在空间的分布如何？ 2、法拉第电磁感应定律的定量表述： 第一种情况：空间磁场随时间变化， 则在变化的磁场周围产生一种特殊 物质，这种特殊物质能够对电荷有 力的作用,称为感生电场 )2.5(t BE i ? ??=×? ?? )1.5()( BvtBE t SdBSd t B dt SdBd ldE ldE dt SdBd dt d i SS S i i S ??? ???????? ?? ?? ××?+???=×?? ? ???? ? ??=??=? ? ? ? ??? ? = ? ?=Ψ?= ∫∫∫∫ ∫ ∫ e e Y n i 图5.1法拉第电磁感应定律 t B ? ? ? 图5.2变化磁场周围产生电场 注意： ①、感应电场不同与静电场。 ②、上式推导中，楞次定律所表达的为左手法则，它的意义类比于电流 周围的磁场。 第二种情况：闭合回路动，空间磁场恒定。在磁场中放置一个闭合回 路，当闭合回路所包围的面积发生变化时（可以是膨胀，也可以是收 缩），在回路面积变化处存在一种特殊物质，这种特殊物质能够对电 荷有力的作用,也称为感生电场。 （5.3） 注意：上述又可表达为只要导线运动， 那么在导线的运动处就‘切割’了磁 力线，也就意味着在‘切割’处导线有 感生电场。 问题：（5.3）式如何推出来的？ 第三种种情况：若空间存在的磁场也随时间变化，在磁场中的闭合回 路面积也在变化，那么在回路面积变化处存在的感生电场是上述两种 情况之‘合’。 ）BvtBEi ?? ?? ××?+???=×? ( 注意： 一般，若场的物理本质特征，不考虑运动媒质，变化磁场 生 电场的基本形式为： t BE i ? ??=×? ?? BvEi ??? ×= 此长度为dl 此长度为v△t 图5.3导线切割磁力线产生磁场 来源于第二章P99（2-11） 0)( =??+??? tD ?? d 此项称为位移电流密度 该式表明：在时变电场中电 流密度散度不为零，但是它 与位移电流所构成的全电 流密度的散度一定为零 二、全电流定律（电‘生’磁） 1、 问题的引入：安培环路定律的困惑 ①、安培环路定律是恒定磁场的基本方程。 ②上式对稳恒情况固然适用，对非稳恒情形， ?d ? 0，上式就存在问题，如何解决？由电 荷守恒定理 2、全电流定律 理解：1） 称为全 电流一定是连续的，例如在对电 容器充电的过程中，板内并无传 导电流，但是平行板电容器内有 位移电流，故全电流是守恒的 00 =??? ? ??=×??? =×? d d d ? ?? ?? H H t D t D t ? ????= ? ????= ? ??=?? ?? ? rd )4.5(tDH ??+=×? ??? d t D ? ?+ ??d ~ 图5.4全电流守恒定律 2)、天线原理 3)、位移电流是Maxwell引入的，通过这一引入，Maxwell大胆得出 法拉第电磁感应定律和全电流定律的向量方程表述，通过解这组方 程，Maxwell大胆假设电磁波存在，意义重大。 三、电磁场的基本方程组 1、基本方程组 积分方程 微分方程 2、本购关系 注意：①、传导电流(δc)与运流电流(ρv)： 在积分方程时可以同时存在，微分方程绝 对不可能同时存在P279 ②、若考虑局外场时： t BESd t BldE t DHSd t DSdldH SL cSS cL ? ??=×??? ? ??=? ? ?+=×??? ? ?+?=? ∫∫ ∫∫∫ ?????? ????????? dd rr =???=? =???=? ∫∫ ∫ DdVSdD BSdB VS S ??? ??? 00 )5.5(ED ?? e= )6.5(HB ?? m= )7.5(E?? gd = )8.5()( eEE ??? += gd ~ 图5.5 天线辐射原理 3、电磁场边值条件 理解： 1）以上边界法向从媒质1指向2 2）以上四个边界条件方程的推导 要点、难点在于前两个叉积方程， 后面两个方程可以与静电场、恒定 磁场类比。在推导前两个叉积方 程过程中，利用向量恒等式： 对于第一个边界条件的推导 0)( )( 12 12 =?×?????=? =?×????+?=? ∫∫ ∫∫∫ EEnSdtBldE KHHnSdtDSdldH SL cSSL ??????? ?????????? d sr =???=? =???=? ∫∫ ∫ )( 0)(0 12 12 DDndVSdD BBnSdB VS S ?? ??? ????? ∫∫ ×?=?×? SV SdFdVF ??? htDhHHn hStDnSHH ???+?=?×? ????+=?×?? ????? ????? d d )( )()( 12 12 n ② ① 图5.6 边界条件 n ② ① 闭合饼厚度h为小小量 闭合饼截面积 为△S小量 图5.7、边界条件 由于任何场量对时间的变化率都不可能是无限大；在分界面上电流的 体密度与分界面的“厚度”的乘积为分界面的传导电流面密度 注意：完纯导体（γ=∞）的概念。在实际问题中，往往把良导体看 成完纯导体以简化问题的分析。由于在完纯导体内部电场为零（E1=0, why?），故时变磁场（H1=0）也为零（不考虑与时间无关的常数:这里 指恒定电流场），故完纯导体内的电流(时变电流)完全沿着导体表面 流动形成面电流(时变电流)，同时完纯导体表面也存在面电荷(时变 面电荷)P282 cc KhHHn ????? =?=?×? d)( 12 ss =?=? =×?=× ====? ==?== n tc nntt DDn HnKHn BBEE BDHE 22 22 1212 1111 , 0, 0,0 0,00,0 ?? ????? ???? ① n ② ● k ? tH ? 图5.8、良导体的边界条件 dVtdVdVSdHE VV c ceVs E ∫∫∫∫ ? ???=?× ? wd g d 2???? ? 四、玻印亭定理与玻印亭向量 1、玻印亭向量： 玻印亭定理: 令 为闭合曲面所包围体积内的电磁能量 上式即为玻印亭定理，其本质乃为能量转换与守恒定律在电磁场领域 中的集中体现 注意：1）、玻印亭向量是用来描述电磁能量传播行为的物理量：在空 间某点上玻印亭向量的方向（为该点电场强度方向与磁场强度方向的 叉积方向）即为电磁能量传播方向；玻印亭向量的大小（为该点电场 强度与磁场强度叉积的大小）为在该点沿传播方向上取单位面积、单 位时间穿出的能量。 HES ??? ×= dVW V∫ = w )9.5( 2 t WdVdVSdHE V c ceVs E ? ???=?× ∫∫∫ ? g dd???? ? )(21 BHttBHEHtBE ?? ?????? ????=????=×??????=×? )(21)( DEtEtDEHEtDH cc ???? ???????? ???+?=??+?=×?????+=×? ddd )2121( BHDEtEHEEH c ?????????? ?+??????=×???×?? d wd d g d tS BHDEtEHE ce c c E ????= ??? ?+??????=×??? ? ?? ???????? ?? )( )2121()( ② ① 2）、 玻印亭向量的含义 讨论：若场能不随时间变化，且区域内无电源 这表明外部流进的能量全部用于导电媒质的热耗。 若无耗， 则表示流进=流出。 t WdVdVSdHE V c ceVs E ? ???=?× ∫∫∫ ? g dd 2???? ? 该项为沿任意 闭合曲面单位 时间穿出的能 量 该项为闭合 曲内所有外 源单位时间 提供的能量 该项为闭合 曲内单位时 间导体内部 的热耗 该项为闭合 曲内电磁场 能量的增加 dVSdHE V c s ∫∫ =?×? g d 2??? 0=?×? ∫ s SdHE ??? t B ? ? ? r traNIuar tNIuEar trNIurr tNIuEar mm mm wwpp ww wwpp ww cos22 cos cos22 cos 2 020 020 ?=?=≥ ?=?=< 五、算例 例13.1均匀绕制（单位长度为N 匝）的细长螺线管，螺管的半径 为a，且a<<L,设线圈中通有缓变电流i =Im sinωt 求 1）、 螺 线 管 内外的磁感强度。2）、螺线 管内外任意点的感应电场强度。3）、若 另 外有一匝闭合导线与螺线管同轴放置，设其半径为R，内阻为r， 求闭合导线的感应电流。4）、若 上问中导线不闭合，求开口处电压？ 解： 1） 分析：忽略边缘效应，可以将螺 线管看成是无限长，故磁场都集中在 螺线管内部，外部没有磁场 2） 电场方向如右图所示 i i L tNIutBNiHNliHlar tBar m wsin)( 0)( 0=?=?=< =≥ ∫∫∫ ???=????=×? SdtBldEtBE ? ????? 3) 闭合导线的感应电流 4）若上问中导线不闭合，求开口处电压？ R i i L tr aNIri taNIRtRaNIdlE ldEtraNIE m m m m wwpme wwpmpwwme ewwm cos cos2cos2 ,cos2 2 0 2 0 2 0 2 0 == =?== ?== ∫ ∫ ??? R i i L a点 b点 taNIldEU m b aab wwpm cos20=?= ∫ ?? 例13.2、设在半径分别为a和b的两个同心球之间充满理想的电介 质，介电常数为ε，两球间接有交变电压u=Umsinωt，求1）应用 位移电流的定义，求通过介质中任意点的位移电流密度；2）应用 交流电路的方法计算两球间任意点的位移电流 解：1）既然根据定义求出位移电流（位移电流=电位移向量对时间 的偏导数），关键是要找出电容器内的电场分布，既为同心球，当 两球间充有电压时，设内导体带电量为 q，由于对称性，应用高斯 定律，得介质内任意点距球心为r处的电场强度为 2）交流电路方法的本质就是全电流守恒定律，解题思路在于先找 出通过电源流出的传导电流，传导电流肯定是没有流过电容器的， 在电容器内传导电流断了，因为全电流一定是连续的，故又有位移 电流接上了（δc=δD） 问题？没有考虑线上的位移电流？ rr tUababtEtD mD ? ??? 2 coswewed ?=? ?= ? ?=? rr tUababE tUababq tUbaquldE rrqE m m m b a ?? ?? ?? 2 2 sin sin4 sin)11(4 4 w wpe wpe pe ?=? ?=? =??=? = ∫ tUab abitUdtdab abdtduCi ab ab u qC mcmc w wpewpe pe cos4)sin(4 4 ?=??== ?== rr tUababrritUab abii mDDmcD ??? 22 cos4cos4 wwepdwwpe ?==??== 此面为以r为半径所的做高斯面， 例 13.3、设同轴电缆的内外导体均为完纯导体（内外半径分别为 R1、R2），中间的介质也无损（g=0）， 始端接有电压为U的电源，终 端接有负载 R，设外导体面、内导体均匀流过的电流为 I，试计算 流入图示闭合面的功率。 解： 分析：找出电场强度（E）、磁场强度（H）的大小及方向，进而找 出玻印亭向量S 闭合曲面功率计算：图示闭合曲面包括三个部分，截面ab、截面cd、侧面 ? ? ? ? ? ? ? = =×=? = ap p?? ???? ?? r IH ir R R UHES rr R R UE 1 2 1 ln2 1 ln 2 1 21 2 )( ∫∫∫∫ ?+?+??=?? ScdSSab SdSSdSSdSSdS ???????? 侧 X a d U b c d a R 电介质内部距轴心r处的高斯面，高斯面上 电场强度大小相等，方向沿径向向外 ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? =?? ?=?=?? =?=?? ∫ ∫∫ ∫∫ 0 21 ln2 21 ln2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 侧S R RScd R RSab SdS UIrdrr R R UISdS UIrdrr R R UISdS ?? ?? ?? p p p p 注意：1）-∮SdS=0, 意味着对于闭合曲面而言，流进=流出=UI，它 反映了一个客观事实，电源输送给负载的功率是通过介质中电磁场 进行传递的！ 2）若导体为非完纯导体，电场就会有一个切向分量，玻印亭向量 就有一个指向径向的分量。根据S=EχH=I/(gπr2)·I/(2πr),所以 闭合曲面电流密度积分等于侧面积分为2πrLS=1/g·L/πr2· I 2 =R I 2 第十三讲作业 P317页 5-2 5-3 5-6 5-7