第八讲、恒定磁场（Ⅰ） §3.1磁感应强度 §3.2磁通连续性·安培环路定律·真空中恒定磁场的基 本方程 一、磁感应强度 1、磁场的基本概念和基本运算 A、磁场：在运动电荷周围，除了电场，还存在一种称为磁场的特 殊物质，它能够对在其中的运动电荷（电流）有力的作用。简而言 之，有两句话：运动电荷（电流）产生磁场；磁场对运动电荷有力 的作用。 B、 磁场力的计算 ①、点电荷q在磁场B中的受力计算： 洛仑兹力： ②、空间电流分布在磁场B中的受力计算： 元电流受力 )2.8(Bvdqfd ??? ×= )1.8(Bvqf ??? ×= 空间电流分布受力 ①、体电流分布受力： ②、面密度电流分布受力： ③、线电流分布受力： ? ? ?? ? × × × = ×== ∫∫ )'(' )'(')'( )'(')'( rBlId rBdsrK rBdvr Bvdqfdf c c ??? ??? ??? ???? d C、磁感强度的计算 ①、电流元产生的磁场：毕—沙定律： ）（米亨利 mH/104 /70 ?×= pm Bd? r?lId ? 0 2 0 ' 4 rr lIdBd ? ? ?? ×= pm ? )3.8('4 30 r rlIdBd ? ??? × = pm Bd? rr ′? ?? lId? ? r?r′? 0 3 0 ' 4 rr rrlIdBd ′? ′?×= ?? ???? p m （8.4） ②、空间电流分布产生的磁场 注意： 1）磁场与磁铁的关系：本质相同，均为电流激发磁场 2）两个电流环之间的相互作用力 ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?× ? ?× ? ?× == ∫ ∫ ∫ ∫ 3 3 3 0 ' '')'( ' '')'( ' '' 4 rr rrdvr rr rrdsrK rr rrldI BdB c c ?? ??? ?? ??? ?? ??? ?? d p m （8.5） ∫∫ ∫∫ ∫ ′ ′×× ′ ′××= ′ ′××= = 12 0 21 0 0 3 221 3221 3221 )( 4 4 4 ll ll r rldIldI r rldIldIf r rldIldIfd ? ??? ? ???? ? ???? p m p m p m r ′? 线元dl1 线元dl2 I1 I2 图8.1、两电流环间的作用力 （8.6） P 该向量为线元到场 点之间的位移 j1 a2 B 的方向为指 向纸里，用符 号“·”表示 · I a1 j2 R a 该处线元为Idl r 图8.2、线段电流的磁场 2、算例 例8-1：决定真空中载电流I的有限直导线所引起的磁感应强度 解、解题分析：对于已知“源”分布，求在空间“场”分布的这一类 积分计算，解题思路可以由以下步骤来完成 step1、画出示意图，表明必要的物理量，建立坐标系 step2、给出元电流产生磁场的计算公式 step3、统一变量，确定积分上下线 如图所示，建 立坐标系 将线段剖分为一系列的线 元，那么，整个线段在P点所产 生的磁 磁感应强度为这一系列线元在P点 所产生磁感应强度之合 对于任意线元Idl，根据毕-沙定律 它在P点所产生的磁感应强度为 2 0 4 r rIdlBd ?? ×= p m 总磁感应强度为 统一变量 把上式代入微元表达式得： ∫∫×=204rIdlBdB ??? p m kIdzlId ?= ?? ? ? =??=?= aaa dRdzRctgtgRz Rr 2sin sin jjdaRI r Idz r rkIdzBdB ?? ???? )cos(cos4sin4 sin 44 21 00 2 0 2 0 2 1 2 1 2 1 aapmapm a p m p m a a a a a a ?== =×== ∫ ∫∫∫ a1 · P j1 a2 向上为z轴， 向里为y轴 I j 2R A：磁感应强度大小： )sin(sin4210jpm+=RIB ：方向：伸出右手，大拇指指向电流方向， 四指的指向乃为磁感应强度的方向 磁场方向向里 图8.3、磁场的表示 注意：1）B是向量，积分时处处要考虑方向 2）对于无限长直电流线，在空间某点，到导线r处上一点的磁感应强 度的大小为： R I R IB p mjj p m pjpj 2)sin(sin4 2,2 0 21 0 21 =+= == A：磁感应强度大小： )sin(sin4 210 jjpm += RIB or： )cos(cos4 210 aapm ?= RIB B：方向：伸出右手，大拇指指向电流方向，四指的指向乃为磁感应强度 的方向 )7.8()cos(cos4 210 aaapm ?? ?=? RIB I r 磁感应强度的方向为切向 以a?表示 图8.4、磁场的表示 例8-2：真空中有一载电流I、半径为R的回路，求其轴上任意点P （x，0，0）的磁感应强度 解、方法1：如图8.5所示，当沿圆线元求磁场积分时，由于对称性， 只有沿Y轴方向的磁感应强度的分量相叠加，沿垂直Y轴方向的磁感 应强度相互抵消，故 )8.8( )(2 )(2)()(2 2sin)( 2 sin 4 sin)( 2 sin 4sin)( 2sin 4 2 3 22 2 0 2 1 22 2 0 2 1 22 22 0 22 0 22 0 22 0 j yR IRB yR IR yR R yR RIR yR I dlyR I yR Idl dBBB x ?? + = + = + ?+?=??+?= +?=+?=== ∫∫∫ m mmpq p p m q p p mq p p m r r? X y 电流环半径为R 图8.5、环电流磁场的表示 q q ld? Bd ?Z Y 方法2：利用解析的方式，直接实现 这里的变换利用了如下向量运算公式，参见P456之2-5 BCACBAACB ????????? )()()( ???==×× j yR IR yR RyjRIdBdB yR jRRyId yR RjyRjId yR RjyRjId r rlId r rlIdBd RjIdRjIRdlId ????? ?????? ????????? ????? 2 3 22 2 0 2 3 22 2 0 2 3 22 2 0 2 3 22 0 2 3 22 0 3 0 2 0 )(2)( )( 4 )( )( 4)( )()( 4 )( )()( 444 )()( + = + ++?==? + +?= + ?××?= + ?××?=×?=×?= ×=×= ∫∫ mqpm q p mq p m q p m p m p m qq R? y r?ld? 图8.6、环电流的直接计算 例8-3：如图所示，y=0平面上有恒定电流密度K0k的电流片，求电流 片所产生的磁感强度 解：把面电流看成是由一根根线条构成，其中在任意x处的线条所带 电流为dI=K0dx，则由于对称性，在P点所产生的磁感应强度大小 为 B的大小、方向可以统一表示为 ?? ? ? ? <+ >? = 02 02 0 0 yik yik B ? ? ? m m 0 02 0 200 0 0 0 2 cos 1)( cos cos22 KdBB dYtgYddx YR R dxKdB m aaa a apm p ∫ ?==? ? ? ? ? ?? ? ? ? == = ×= （8.9） P(0,y0,0) x r dx 图8.7、无限大电流板的磁场 a a 二、磁场的基本规律（拓扑特征） 1、基本规律之一：磁通连续性 ①、磁通量： ∫ ?= sdB ??f ②、磁通连续性原理 表述：穿过空间任意闭合曲面的 磁通量一定为零。 若以穿出的磁力线为正，穿入的磁力线为负，那么磁通连续性原理又 可表述为：穿过空间任意闭合曲面的磁力线正负抵消，穿入的磁力线 等于穿出的磁力线条数。数学表述为 注意： 1）电力线起始于正电荷，终止于负电；磁感应线无始无终。 2）无单独的磁荷存在，不存在磁单极。N、S极总是连在一起。 00 =???=?∫ BsdB ??? 图8.8、磁通连续性原理 （8.10） （8.11） 2、基本规律之二：真空中的安培环路定律 表述：空间任意闭合路径下的磁感应强度路径积分等于该闭合路径内 包围的所有电流与真空中磁导率的乘积。 例如，对于图8.9所对应的 闭合路径积分，有 注意： 1）电流 I 与积分环方向满足右手关系时为“+”；不满足右手关系时 为“-” 2）积分之外电流对各处磁场有贡献，但对整体积分无贡献 3）安培环路的推证: ∫ ?+=? )( 3210 IIIldB m?? ∫ ∑ = =? n i iIldB 1 0m ?? （8.12） I2 I1 I3 I4 图8.9、安培环路定律 包围电流的任意闭合路径 “以长直导线为中心半径为R的路径积分 “以长直导线为心的任意闭合曲线路径积分 1)、解释性证明 IdIldB dI RdRIldRIldB R IB 0 0 0 00 0 2 2 22 2 mqpm p qm qpmapm apm ∫∫ ==?? = ?=?=? = ?? ???? ??I R 图8.10、安培环路定律 I dIRdRIldB R IB 0 00 0 22 4 m qpmaqapm apm = ?=?=? = ∫∫∫ ???? ?? 该向量为线元，该向量为线元的切向投影 磁感应强度B的方向，为切向 图8.11、任意路径的安培环路定律1 ● I dθ R 2)、严格证明 )(2)(2 222 2 0 2 0 000 iyjxrIjyixkrI r rk r Irk r I r IB ????? ?????? ?=+×= ×=×== p m p m p m p ma p m IdIydxxdyyx IldB dyxdrydxxdydrdrrydx rddrrxdy rddrdy drdrdx ry rx ydxxdyyx IjyixdiyjxrIldB 0 2 0 0 22 0 222 22 0 2 0 2)()(2 )()sin(cossin )cos(sincos cossin sincos sin cos )()(2)()(2 mqpmp m qqqqqq qqqq qqq qqq q J p m p m p ==? +=? +==?? ?? ? ?= += ?? ? += ?=? ?? ? = = ?+=+?= ∫∫∫ ∫∫∫ ? ?? ?? ?????? ? ? x q dq dl y 图8.12、任意路径的安培环路定律2 P(x,y) 3、安培环路定律的应用 用安培定律解题时的几个关键步骤： （1）分析对称性 （2）以场量相同处的所确定的位置做环路积分 （3）脱去向量电积形式，把场量提到环路积分之外 （4）把所包围的电流带入求解 例8-4、应用安培定律，求具有恒定的面电流密度为K0的无线大电流 片所产生的磁感应强度 解： 分析：由于是无限大电流面，电流面两边的磁感应强度数值上处处相 同，方向相反，如图所示。取一条形闭合环路，由安培环路定律，环 路积分等于所包围的电流 22 )( 00 0 00 4 3 1 4 3 2 2 1 KBKlBl lKldBldB mm m =?=? =++++= ∫∫∫∫∫ ?? ???? X B B 21 34 图8.13、平板电流的磁场 4、磁场的基本方程 问题？恒定磁场问题是否到此了结？ cBIldB BsdB dm ???? ??? =×??=? =???=? ∫ ∫ 0 00 利用数学中的高斯定律 dvzyxFsdzyxF VS ),,(),,( ??? ∫∫ ?? ?= 利用以下两个式子，一个为电流强度与电流 密度的关系，另外一个是数学中的斯托克斯公式 sdI S c ?? ?= ∫ d ∫∫?×?= sdzyxFlzyxFS???? ),,(),,( 第八讲课后作业： P182 3-1之(a)、(b) P183 3-5 P186 3-14