第二讲：向量分析与场论（II） 四、标量场的梯度 3、标量函数场的梯度公式：若某一标量场的函数关系已经确定，为 V=T(x,y,z)， 那么如何确定标量场在域中任意点的梯度？（假设该点坐标为P(x, y,z)） 在P(x, y,z)点附近任意点P(x’,y’,z’)的标量场为V(x’,y’,z’)，则两点标量场值差 可由泰勒展开为： )(),,()(),,()(),,( ),,(),,( zzz zyxVyyy zyxVxxx zyxV zyxVzyxVV ?′??+?′??+?′??= ?′′′=? )()),,(),,(),,(( )()),,(),,(),,(( ),,(),,(),,( ),,(),,( lz zyxVky zyxVjx zyxVi kzjyixkz zyxVjy zyxVix zyxV zz zyxVyy zyxVxx zyxV zyxVzyxVV ???? ?????? ????+??+??= ?+?+????+??+??= ???+???+???= ?′′′=? (2.1) 为简明起见，令Dx = x’- x 、Dy = y’- y、Dz= z’- z则上式又可以写为 这里，?l = Dx i +Dy j +Dz k为P(x’, y’, z’)与P(x, y, z)两点之间的位移，定义一 个向量算子‘ ’ zkyjxi ? ?+ ? ?+ ? ?=? ??? (2.2) 以算子‘ ’对标量场V(x, y, z)的作用结果为一向量，该向量也是空间的函数 1 kz zyxVjy zyxVix zyxVzyxV ??? ??+??+??=? ),,(),,(),,(),,( (2.3) 对于空间给定的点来说，只要标量函数关系确定，那么该向量是确定的。标量 场V(x, y, z)在两点P(x’, y’, z’)与P(x, y, z)之间的变化量为 l????=? z)y,V(x,V (2.4) 上式表示标量场在空间附近两点之间的变化等于以（2.3）所表示的向量与空 间这两点之间位移?l的点积。 以 ll ?、? 分别表示微量位移向量 l?? 的大小和单位向量，将标量场的变化小 量与微量位移大小相除 lzyxVl zyxV ???=?? ),,(),,( （2.5） 上式表示空间标量场 V(x,y,z)沿某一方向对空间距离的变化率等于向量 V(x,y,z)与该方向的单位向量的点积。那么这里就有一个问题： 问题：由空间一点可以向外引无数个方向。那么标量场在空间一点的变化率在 哪个方向上变化最大？ 为回答上述问题，我们考察（2.5）式，只有当移动微小位移的方向与标量场 的算子向量 V(x,y,z)一致时，两个向量的夹角为0，变化率达到最大值，可见 z)y,V(x,? 就是我们上述所定义的标量场V(x,y,z)在P(x,y,z)处的梯度。 函数场梯度的定义：在标量场中，空间某点P(x,y,z)处的梯度为算子‘ ’对 标量场作用的结果，即式（2.2）即为梯度向量的定义式 2 例2-1、已知点电荷q在空间所产生的电场在q为r处电位大小为: rq 14(r) 0pe j = ， 求：1）以q所在的位置为坐标原点建立直角坐标系，表达出电位场的空间函 数关系，进一步计算出空间任意点的电位场梯度；2）若q所在的位置不是坐 标原点，q在空间的直角坐标为P(x￠,y￠,z￠), 重复1）的步骤。 解：1）由于q处于坐标原点，空间任意一点P(x,y,z)到q点的距离即为该点的 矢径大小 222 zyxr ++= ,电位为 电位的梯度表达为 2）由于 q 处于点 P￠ (x￠,y￠,z￠)，空间任意一点 P(x,y,z)到 q 点的距离大小为 222 --- )z(z)y(y)x(xr ′+′+′= （2.6） 2220 1 4 zyxπε q ++ =j rrπεqrrπεq )zy(x kzjyix πε q zyxπε q)k zjyix( ????? ??? 2 0 3 02 3 2220 2220 1 444 1 4 ?=?= ++ ++?= ++? ?+ ? ?+ ? ?=?j 3 02 3 2220 2220 4--- --- 4 --- 1 4( rr rr πε q ])z(z)y(y)x[(x k)z(zj)y(yi)x(x πε q )z(z)y(y)x(xπε q)k zjyix ′? ′??= ′+′+′ ′+′+′?= ′+′+′? ?+ ? ?+ ? ?=? ?? ????? ???j q P(x’,y’,z’) r￠ r r- r￠ r P(x,y,z) ? q ? P(x,y,z) 图2-1电荷处于坐标原点 电荷处于空间（x￠,y￠,z￠） 3 评注：1）什么是等位面方程？曲面方程可以利用上述的标量场进行说明。对 于标量场j =j (x,y,z)，把空间那些具有相同场值的点连起来构成的面称为等位 面，假设等位面值为C1，则有等位面方程： 1)( Cx,y,z =j 在例2-1中所对应的标量电位场对应的等位面是球面状。 2）从数学的角度如何理解标量场的梯度与标量场等位面的关系？ 标量场j (x,y,x)分布看做是j = C1、C2 、……一族等位面构成，那么E的方向就 代表着电位面下降最快的方向。推导过程如下： 在等位面上，任取一点 P(x,y,z)，在其附近任取一点做微量位移为?l，由于 P 点与其附近的这一点同在一个等位面上，标量场数值相同，差值为零，由（ 2.4） 0)( =???=? lx,y,z ?jj 由于是在等位面任取的任意有向线段，故上式说明电位场的梯度垂直于电位等 位面，由于负号的关系，电场强度是指向电位下降最快的方向。 3）：标量场对空间某方向上的空间距离变化率，在一些教科书上通常写为更为 简明的形式，例如，电位场沿某一方向n0的变化率,通常表述为：? j ? ?n ,对 （2.5）式标量场的变化关系 nnEnl miL n l E0 =??=??=? ?= ? ? →? ???jjj (2.7a) 上式中 nE 表示电场强度沿n方向的分量 对比（2.4）式，空间附近两点（例如P点和P点附近点）之间的电位差与这 两点之间的微小位移以及点电场强度之间具有以下关系 ldEd lElEll ?? ????? ??=? ???=????=??=?? j jjj (2.7b) 4 例2-2、求：柱坐标下的梯度算子的表达式，在此基础上，在已知例2-1中的 标量电位场梯度。 解：直角坐标系下的梯度算子为 zkyjxi ? ?+ ? ?+ ? ?=? ??? 如图所示，直角坐标与柱坐标的换算 关系为： 一个标量场是空间点的函数，这意味着它既可以写成 V=V(x,y,z)也可以写成 V= V(r,θ,z)，在这里有 利用高等数学中关于隐函数的知识，梯度算子对标量函数的作用可以写成 ]),,(),,([),,( ]),,(),,([),,( y zrV y r r zrVjzrV yj x zrV x r r zrVizrV xi ? ? ? ?+ ? ? ? ?= ? ? ? ? ? ?+ ? ? ? ?= ? ? q q qqq q q qqq ?? ?? 利用上述(r,θ)与(x, y)的关系， 求出(r,θ)对(x, y)的偏导： ?? ??? = = = zz ry rx q q sin cos ? ? ? ??? ? = == +== zz x yarctgyx yxyxrr ),( ),( 22 qq ? y q z r x X轴 Y轴 Z轴 P(x,y,z) 图2.2 柱坐标系统 5 ]1cos),,(),,([),,( ]cos),,(),,([),,( 2 2 2 x zrV r y r zrVjzrV yj x yzrV r x r zrVizrV xi qqqqq qqqqq ? ?+ ? ?= ? ? ? ?? ? ?= ? ? ?? ?? 将x、y以柱坐标r、θ表示 )cossin(),,()sin(cos),,( )]cos(),,()(),,( 22 r jizrVji r zrV x jxiyzrV r jyix r zrVV ???? ???? qq q qqqq qqqq +? ? ?++ ? ?= +? ? ?++ ? ?=? 再利用第一讲（1.7）、（ 1.8b）关于径向、角向与直角x、y单位向量的关系， 最后得出 （2.8） xyx y x 1cos,)(cos 2 2 2 ?= ? ???= ? ? qqqq r y y r r x x r = ? ?= ? ? , kz zrVzrVrrr zrVV ??? ??+??+??=? ),,(),,(1),,( qqqqq 6 n V? 图2.3、通量演示示意图图 盆口面积 为S 五、向量场的散度 1、通量概念的引入：如图2.3所 示假设水流由上而下处处匀速（速 度大小为v）流入下面一个矩形盆， 盆口面积为S，则，在t 时间内流 入盆内的水量为 VSt 单位时间里流入盆内的水量， 这里我们称之为水通量为： VSt VStΦ == 若盆口面斜放与水流方向夹角为q 如图2.4所示，在这种情况下， 单位时间盆所接的水比平放 时少，因为盆口的进水量只与 盆口的平面投影有关，夹角q越小， 进水量越大，夹角为零时，进水量 最大；夹角q越大，进水量越小，当 夹角为直角时，即盆口与水流方向垂 直时，那就一滴水也接不着。由于盆口面积S的单位时投影面积为:S1=Scosθ, 单位时间所流出的水的通量为 SVVSt tVSΦ ?? ?=== qq coscos （2.9） n V? 图2.4、通量演示示意图图 这里的水 在盆外 夹角为q n 7 上式中面元的方向为盆面的法向n，如图2.4所示。 2、通量的定义：对于一个向量场V(x,y,z)，通过空间某一曲面的通量为向量场 对该曲面的面积分 ∫∫ ++=?=ΦsS zyx dxdyVdzdxVdydzVSdzyxV ?? ),,( （2.10a） 上式中， Sd?表示在曲面P(x,y,z)处的微分面元， 若曲面闭合，上式又称为闭合曲面的通量，表示为 ∫ ?=Φ S SdzyxV ?? ),,( （2.10b） 3、散度以及高斯通量定律 ①、散度概念的引入：在上式中，对于闭合曲面而言，曲面的法向一般是 指向闭合曲面的外部。闭合通量的理解：这里我们仍以水流场做形象说明(以 下同)，取空间任意一个闭合曲面，通过积分可得通量，对于通量有三种情况 如图2.6所示，对于图2.6（a）， F >0，说明此闭合曲面里面有‘水源’，谓 之为‘泉’；对于图2.6，F =0，说明此闭合曲面里面无‘水源’，左边流进， 右边流出，流进的通量与流出的通量大小相同，方向相反（一负一正），相互 此处有水源 区域内无水 源 此处有水穴 图2.6（a） 图2.6（b） 图2.6（c） n V 图2.5 曲面通量的计算 8 抵消，故总量为零，谓之为‘恒定水流场’ ；对于图2.6（c ）， F <0，说明 此闭合曲面里面有‘水穴’，因为水只流进，不流出。 ②、向量场的散度：通过求闭合曲面内的通量可以定量描述该闭合区域内的水 流情况，但这种刻画，我们还不能够确定出区域内哪一点是水源、哪一点是水 穴，并且确定出水源或水穴流水的强度。 要精确描述出区域内的一点是否有水源和流水的强度，那就在包围这一点做一 个小的闭合曲面，假设闭合曲面所包围的体积为Δv，定义一个宏观量称为散 度，它为通过这个小的闭合曲面流出的水通量与闭合曲面所包围的体积之比， v s sdzyxV v LimzyxVdiv ? ∫ ?= ? → ??? ),,( 0),,( （2.11） 由上式可见，散度是一个标量，它的含义在于：空间某点上的向量场V(x,y,z) 的散度数值上等于在这一点单位体积通过闭合曲面的通量；例如上面以水流速 场所举的事例中，某点的散度等于这点单位时间、单位体积所流出的水量。通 过求得空间任意一点的水流场散度，人们就能够把握空间任意点水流情况。 ③、散度的计算公式：以上给出了散度的定义及其物理意义，那么实际给出了 一个向量场，如何确定其散度？理论分析表明向量场F(x,y,z)的散度为 z F y F x F kFjFiFkzjyix (x,y,z)F(x,y,z)Fdiv zyx zyx ? ?+ ? ?+ ? ?= ++???+??+??= ??= )()( ?????? ?? （2.12） 证明如下：考察向量场中某点P(x0,y0,z0)的散度，根据定义 9 △x △y △z Y X Z · P(x0,y0,z0) 图2.7 散度定律推证示意图 000 ,,00000 2 ),,(),2,( zyxyyy yFyzyxFzyyxF ???+≈?+ 以 P(x0,y0,z0)点为中心做一个 很小的平行六面体，参见图 2.7，其体积△V=△x△y△z,根 据泰勒级数展开 式中，已经把△x、△y以及△z的高次幂略去。由于面元△y△z垂直于x轴， △z△x垂直于y轴，△x△y垂直于轴，故通过平行六面体 000 ,,000000 2 ),,(),,2( zyxxxx xFxzyxFzyxxF ???+≈?+ 000 ,,000000 2 ),,(),,2( zyxxxx xFxzyxFzyxxF ????≈?? 000 ,,00000 2 ),,(),2,( zyxyyy yFyzyxFzyyxF ????≈?? 000 ,,000000 2 ),,()2,,( zyxzzz zFzzyxFzzyxF ???+≈?+ 000 ,,000000 2 ),,()2,,( zyxzzz zFzzyxFzzyxF ????≈?? 10 ④、高斯通量定理： dxdydzzyxF dvzyxFsdzyxF v vs ∫ ∫ ? ?? ?= ?=∫ ),,( ),,(),,( ? ??? （2.13） 上式表述为：通过某一闭合曲面的向量场通量等于闭合曲面所包围的体积内各 处向量场散度的体积积分。 评注：1)、向量场的散度是一个标量，其物理本质就是描述场点激发场的能力。 2）、高斯通量定理在《电磁场》中具有广泛的应用，理解其物理含义非常必要。 为简明起见，我们仍然以水流场为例来说明高斯通量定理,假若空间流速场为 V（x,y,z），考察空间某一闭合曲面 S 内单位时间的流出的水量。在 S 内任意 点 P(x,y,z)处取一体积微元ΔV，则单位时间通过这包围这一点的体积元ΔV 流出的水量为 ?V(x,y,z)ΔV,将 S 内的体积可以看作是有许多体积微元构成，积 分结果就为通过该闭合曲面 S 内体积流出的水量，这些水哪里去了？一定通 过面S流了出去，这就是高斯定律。 ?+??????? ),,(()2),,([( 000000 zyxFzyxFxzyxF yxx }])2),,(()2 000 yxyFzzyxFxzyFy yzy ??????+????? FzFyFxFFdiv z F y F x Fzyx zyx zyx zyx V ?? ??= ? ?+ ? ?+ ? ?=? ? ?+ ? ?+ ? ???? ???= →? )]([ 1lim 0 ])2),,(()2),,(( )2),,([(1limF 000000 0000 yxyFzzyxFxzyFyzyxF zyxFxzyxFzyxdiv y z y y x xV ?????++?????+ + ?? ? ?? ? ??+ ???= →? ? 11 例2-3、空间r’处有一点电荷q，它在空间产生场强为任意点P(r)所产生的 电场强度可以写为 3 04 rr rrqE ′? ′?= ?? ??? pe ，求1）、取 空间任意闭合曲面，求穿出该闭 合曲面的电场强度通量，P点不在闭合曲面之内；2）、取空间任意闭合曲面， 但是，P点在闭合曲面之内，重复步骤1） 解：1）由闭合通量的定义 Sdrr rrqSdE SS ? ?? ???? ?′? ′?=?=Φ ∫∫ 3 04pe 进行计算时，由于曲 面的任意性，在具体对曲面剖分时，没有办法利用数学手段表达出面元，可见 直接计算行不通。怎么办？只有考虑别的方法，利用高斯定律求解，利用高斯 定律的关键是找出闭合曲面内任意点的电场强度的散度 ∫ ∫∫∫ ′?+′?+′? ??+?= ′ ′???= ′? ′???=??=? V VVS dV zzyyxx kzzjyyixxk ziyix q dV rr rrqdV rr rrqdVESdE } ])()()[( )()()({)( 4 44 2 3 2220 3 0 3 0 ? ????? ?? ?? ?? ????? pe pepe 具体进行散度第一项 x?? 运算时， 2 5 222 222 2 5 222 2 3 222222 ])()()[( )(2)()( )}(2])()()[(23){( ])()()[( 1] )()()( )([ zzyyxx xxzzyy xxzzyyxxxx zzyyxxzzyyxx xx x ′?+′?+′? ′??′?+′?= ′??′?+′?+′??′?+ ′?+′?+′? = ′?+′?+′? ′? ? ? ? 由于x、y、z函数结构的对称性，整个散度运算结果 0 ])()()[( ])(2)(2)(2[])()()[(2 2 5 222 222222 = ′?+′?+′? ′??+′??′??′?+′?+′?=?? zzyyxx zzyyxxzzyyxxE? 12 穿出该闭合曲面的电场强度通量为零。 2）P 点在闭合曲面之内，按照上述步骤求解散度时，我们会发现在闭合曲面 内的P点，散度会出现奇异，高斯定律的成立条件是单连通区域内处处散度存 在，所以直接利用高斯定律没有办法求解。为此，考虑将闭合曲面内的区域通 过挖掉奇异点P，做一个单连通区域，如图 ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫∫ ?=?? ??=?? =?+?= ?+?+?+?=? 指向球面外内球面，外曲面 指向球面内内球面，外曲面 指向球面内内球面，外曲面 指向球面内内球面，下缝上缝外曲面 nSS nSS nSS nSSSSS SdESdE SdESdE SdESdE SdESdESdESdESdE ? ? ? ? ???? ???? ???? ?????????? 0 该点为奇异点P 以域中奇异点为心，做一小的球面，球面与 外曲面之间通过小的连通缝相连，如此在挖 掉了奇异点的单连通区域，高斯定律适用 只要域内场量的一阶导数存 在，无论单连通区域形状如何， 高斯定律均适用 图2.8（a）单连通示意图 （b）域内具有奇异点时的单连通处理 13 如此，通过一个高斯定律的处理，我们将原来不能够直接求出的电场强度的 面积分，转变为计算以P点为心的一个对称球面的电场强度的面积分 0 2 00 2 0 1 4sin epeqjq pp q r qrddrSdE S ==? ∫∫∫ 外曲面 ?? （2.14a） 把上式写成电位移向量的形式 rr e =????=???=? =??=? ∫∫∫ ∫∫ DdVdVDSdD qSdDqSdE VSVS SS ???? ???? 所包围的体积）（外曲面 外曲面外曲面 0 （2.14b ） 评注：（ 2.14b）式就是《电磁学》里描述电场基本特性的真空中的高斯定律。 14 六、向量场的旋度 1、环量概念的引入：在空间某一路径上的任意点上（例如点 P(x,y,z)），向量 场 ),,( zyxF ? 与该点的线元的标积为该路径上向量场在该点的环量微量，用 d Г表示 ldFdΓ ???= （2.15） 对于（2.15）中的向量场 F 在直角坐标系下可以写成直角分量的形式： kzyxFjzyxFizyxFF zyx ???? ),,(),,(),,( ++= 那么整闭合路径的积分成为向 量场的环量可表示为 )( dzFdyFdxFldFldFΓ ll zyx l ∫∫∫ ++=?=?= ???? （2.16） 问题：环量具有什么样的物理意义？ 在第一讲里我们曾举例说明了在空间任意两点之间通过任意路径的电场 强度的路径积分都相同（也即电场强度的空间路径积分与路径无关，只合空间 积分的起点、末点有关，据此才引入的电位概念；正是电场强度的空间路径积 分与路径无关，通过数学表述，得出电场强度的任意路径环量为零，可见，某 场 F(x,y,z)若具备任意环量为零的特性，就可以引入一种标量位函数来描述它。 问题：能够引入标量位函数来描述场又能够说明什么问题？ 由于空间位函数的变化等于力场(电力线可以看作是力场)在线元上移动 时所做的功。这里位函数的物理本质就是一种能量守恒的特性。由此得出结论 电场是保守场（电场的环量为零），它不会耗散能量。 问题：闭合环量积分能够体现场的什么样的拓扑特征？ 15 对于图2.9（a）所示的场结构，场是向四面扩散的，在进行闭合环量积分时， 环量微元F(x,y,z) ?dl有正有负，总量抵消，故环量为零；对于图2.9（b）所 示的场结构，场的方向与闭合路径上线元方向大体上一致，即夹角处处均为锐 角，故总量不会抵消，闭合环量不为零。 上述结论也可以从场的几何形状上来看，图2.9、（ a ）对 应 的场“不打转”，故 称为无旋，图2.9、（ b ）对应的场呈“转状”，故称为有旋场。 2、向量场的旋度： 考察某一特定空间内某点（P（x,y,z））上有无旋点，可以 此点为心，做一闭合曲线，以此闭合曲线为积分路径，这一闭合曲线非常小， 则该闭合曲线的环量与闭合曲线所包围面积（DS）之比，该比值是一个宏观 量 s ldzyxF S ? ?∫ →? t ?? ),,( 0 lim （2.17） 图2.9、（ a ） 图2.9、（ b ） 此路径下闭合环量不为零 此路径下闭合环量为零 16 （2.17）式能够客观描述 P 点通过该闭合环环量情况。但是（2.17）取不同 的闭合环，结果是不一样的，进一步考察（2.17）式，我们发现： nzyxFS SzyxFS ldzyxF S ???? ?? ?×?=? ??×?=? ?∫ →? ),,( ),,(),,( 0 lim t (2.18a) 上式中，n? 表示闭合环内面元所对应的法向，它与环积分方向成右手螺旋关 系。 ),,( zyxF?×? 称为向量场在P点的旋度。由（2.18）不难看出旋度的含义在 于：对于空间某点，取不同的闭合路径求单位面积环量，只有与旋度方向成右 手螺旋关系的闭合路径对应的单位面积环量最大，大小为旋度的模；若所选取 的闭合路径对应的面法向与梯度方向有夹角，则对应的单位面积环量为旋度大 小与夹角的余弦值。旋度还通常还可以写成如下的形式 kyF xxF yjxF zzF xzF yyF z F zF yF x zyx i kji FF zyxzyx ??? ??? ? )()()( )()(rot ,,,, ? ?? ? ?+ ? ?? ? ?+ ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? = =×?= (2.18b) 3、旋度公式的证明。以上给出了向量场的旋度的计算公式，为简明起见，我 们先考虑XY平面上的旋度计算，设P(x0,y0,0)为向量场F中的一点，我们要 确定在该点场的旋度值。为简单起见，围绕P点，取一小的正方形积分四路， 如图26所示，则 ∫∫∫∫∫ ?+?+?+?=? 144321 32 ldFldFldFldFldFl ?????????? x0 2 3 4 1 y0 图2.10 向量场的旋度证明 17 )(),2()()2,( ),2()2,( 0000 0000 jyyxxFixyyxF jyyxxFixyyxFldF l ???? ?????? ?????+????+ +???++????=?∫ => k xy xyxy yx yxl SdkyFxF xyyFxFxyyFyxxF yyxxFxyyxF yyxxFxyyxFldF ?? ?? ??????= ???????=?????????= ????????+? +???++????=?∫ )( )( ),2()2,( ),2()2,( 0000 0000 当三维空间的直角坐标下,不难推出（2.18）式 注意：旋度的物理意义在于向量场在围绕此点周围的场线形状大体上是否成旋 状，若是，则场在此点有旋，为一“涡旋源头”，否则，则无旋。例如，假设 有一股旋风，若考察旋风所在区域的各点风速，则构成了一个风速场，对此风 速场处处求旋度，则在旋风中心所在的点有旋度，即旋度不为零，其余各点均 无旋度。 4、斯特克斯公式，对向量场F(x,y,z)中取任意闭合路径求环量，环量大小为闭 合路径所包围的面积的向量场 ·F(x,y,z)的通量 sdzyxFldzyx S ???? ?? ∫∫ ×?=∫ ),,(τ ),,(F （2.19） 评注：斯特克斯公式在电磁场中具有重要的应用意义。（ 2.19）式理解起来并 不难，因为根据场点旋度的定义，就是在此点单位面积的环量，旋度的面积分 18 就是通过整个面的环量。 例2-4、已知置于Z轴的一根长直导线，通有电流I，沿轴向流动，那么它在 周围所产生的磁感应强度为 rrB ? ? 1 2 0 p m= ，，其中 r 为空间任意点到Z轴的距离， 在X-Y平面上，求1）圆心在坐标原点，半径为r的圆路径上的环路积分；2） 包围电流线的任意闭合路径环路积分。（第一讲习题 2 ） 解、 1 ）由于积分路径与磁感应强度是同方向， 均沿圆路径的切向，故 ∫∫ =?=? p mqpm20 002 IrdrIldBr圆周 ?? 2)对于任意路径，虽然不能直接积分，但可以 利用例（2.3）的解题思想，在任意闭合曲面内， 以长直导线为所在的位置为圆心，再做一个闭 合圆，根据分析，结论与1）同 圆心位置通有电流I 在此区域磁场无旋度，以图示闭合边界所做环量 一定为零，虚线积分相互抵消，相同积分方向下， 外闭合曲线环量与内闭合曲线积分环量相同 19 第二讲课后作业： ①、从直角坐标系出发，推出球坐标下的梯度算子表达式 ②、证明无电流源区，磁感应强度的旋度为零 ③、证明算子恒等式 AAA ??? ?? ???=? jjj )( p457(34) ∫∫×?=×? ≡?× ? VS SdAdVA A )47(:458P )40(:457P0 )39(:457P0)( ??? ? j