第四讲、静电场（Ⅱ） §1.4高斯通量定理（下）§1.5静电场的基本方程?边界条件§1.6泊松 方程和拉普拉斯方程 四、 高斯通量定理（下） 2、高斯通量定理的应用 例题4-1，试计算电荷面密度为s的无限大平面产生的电场强度，1）利用 高斯定律。2）直接计算 解：1）、解题分析，在板的两侧电场方，向一定向外，如图4.1所示，且 大小相同 qSdESdESdESdE SSSS =?+?+?=? ∫∫∫∫ 侧下上 ???????? 0000 eeee 侧面法向方向与电场方向垂直，故侧面通量积分为零 0 00 00 2e ssee see =?=+? =?+?? ∫∫ ESESES SSdESdE SS 下上 ???? （4.1a） 图4.1、无限大平面的电场 闭合积分面，上下面为S 闭合面法向 以向上为Z轴，无限大平面为XOY平面，则电场强度可表示为 ? ? ? ??? ? ? = 下半平面 上半平面 ,2 ,2 0 0 k k E ? ? ? e s e s （4.1b） 2）如图4.2 02 1 220 0 2 3 2202 3 22 2 000 22 0 22 0 20)(1 2 3 1 2 1 2 )(2)(4 cos4cos14 cos e s e s e sa pe s qpe asqpe q p =∞ + ? +? ??= + = + = + ?= +=? ==?= ∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∞∞ zr z dr zr zr zr zrddr zr zrddr zr dqE dEEEdEdE zzz q a X 图4.2、平面电场的直接计算 Z轴上任意点坐标（0,0,z） 环带元，其中带宽dr Z Y 环带元对应 的弧角 da， 弧长r da r 例题4-2，半径为R的均匀带电球电荷体密度为r，1）、求场中各处的电场 强度和电位分布，2）、若 在 该 球中挖去一个半径为R1的小球，已知小球的 球心到大球的球心的距离为d，求小球内处处的电场强度。 解：1）分析，电荷的分布具有球对称性，故对于球内外任意一点的场强， 其方向一定是该点的径向向外，在同一球面上，场强大小一定相同 r R r qdr r qrdr r qldE rrRrEErRr R r qE qErSdESdDRr rrr SS 1 3 1 444 334 3 4 4 4 0 3 0 2 0 2 0 2 0 3 2 0 3 2 0 3 2 0 0 2 0 e r pepepej e r e r pe pr pe epe ===== ==?= ? ==? ===≥ ∫∫∫ ∫∫ ∞∞∞ ?? ?? ???? ??? ???? )31(26213)(213 4 3 4 4 3 4 3334 3 4 4 4 22 0 2 0 2 00 3 22 0 2 0 3 2 0 3 000 2 0 3 2 0 0 2 0 rRrRRRrR drr R drr r ldE rrrrEErr r r qE qErSdESdDRr R rRr S ?=?=+??= ? + ? == ==?= ? ==? ===≤ ∫∫∫ ∫∫ ∞∞ ? ?? e r eeee pe pr pe pr j e r e r e r pe pr pe epe ?? ???? ???? r 带电球体 外高斯面 r 带电球 内高斯面 图4.3（a）带电球外的电场 （b）带电球内的电场 2）、分析，球内挖了一个小洞，电荷分布不再对称，故不能直接利用高斯 定律求解。思路：可将空洞用原电荷密度（r）填平，如此大球电荷分布 对称，再反填空洞（-r），如此空洞电荷分布也对称，根据叠加原理，将 两部分电场叠加所得总电场既为原问题的解 idrrEEE rE rE ? ????? ?? ?? 0 21 0 2 0 1 0 33 3 3 e r e r e r e r =?=+=? ? ? ? ??? ? ?= = ）（小球大球 小球 大球 问题：对于电场我们学习了那些基本方程？ r2 r1 r1 大球心 小球心 + X d 图4.4带电球内空洞里的电场 五、静电场基本方程 静电场基本方程：积分形式、微分形式如下： ED DdVSdD EldE vs ?? ??? ??? e rr = =??=? =×?=? ∫∫ ∫ 有源 无旋 , 0,0 评注1）积分方程永远成立，面向过程的电荷激发电场方程通过数学方式 由积分方程得出；2）微分方程成立的条件是介质连续可导； 问题：1）求解电磁场问题，人们思维定势是：微分求解方程+边界条件， 对于分层介质或介质不连续情况，必须分区域处理，在边界利用边界条件 进行连接；2）处理边界问题的基础是静电场基本方程的积分方程 六、分界面上的边值条件 1、 边值条件 )2.4(, )2.4(,0 2211 21 bEEqSdD aEEldE nns tt see =??=? =?=? ∫ ∫ ?? ?? ①、边界条件的推导 （4.2a）的推导 tt tt EE EEilEilE idlEidlEldEldEldE 21 21 0 0 =? =?=?? =?=+=? ???? ????? ∫∫∫∫∫ ???? ?????????? 上下 下上下上 较之上下项，此两项为零 ∫∫∫∫∫ =+++= ????? 左下上右 0ldEldEldEldEldE ?????????? 任取一矩形闭合曲 线，宽为小量DL，矩 形高 h为小小量 e2 e1 E2 E1 a2 a1 图4.5 切向电场边界条件 X （4.2b）的推导 讨论：1）在电介质与电介质的情况下，分界面上不存在自由电荷： 较之上下项，此项为零 ∫∫∫∫∫ =++= ???? dsSdESdESdESdE s下上侧???????? s s =?? ?=??= ??+?=+= ? ????? ∫∫∫ nnEE SSnEE nSEnSESdESdESdE 12 12 ??? ?????????? ）（ ）（下上 下上 2 1 2 1 22211221 221121 coscos sinsin e e a a aeaeee aa =? =?= =?= tg tg EEEE EEEE nn tt a1 a2 任取一薄饼状闭合曲 面，面积为小量DS， 薄饼厚度h为小小量 e2 e1 D2 D1 图4.6 法向电场边界条件 n 2）在导体与电介质的情况下，分界面上存在自由电荷，以1表示导体，2 表示电介质 （4.3） ②、边界条件的电位表示 Ⅰ介质与介质： Ⅱ导体与介质： sje jj ?=?? = n n2 2 21 （3.5） ses == === nn ntt DE DEE 22 121 , 0,0 n + 图 4.7、内为导体，法向方向 是由内指向外部电介子 e sjeje jj ?=????? = nn nn 1 1 2 2 21 e rj j e rr ?=?? ??=?=×? =???=?? 2 ,0 , EE ED ?? ?? Γ=Γ+Γ ==?? =?? = ΓΓ Γ Γ 21 21 其中： 界条件：第三类又称为混合边 ，第三类： 第二类： 第一类边界条件 givengivenn givenn given j j j 七、泊松方程、拉普拉斯方程 1、 方程及其意义 泊松方程： 在无源区，方程称为拉普拉斯方程 02 =? j （4.6） 注意：1）着眼于解标量方程，电场可以通过电位与电场的关系确定。 2）泊松方程或拉普拉斯方程是着眼于有限域问题。 3）微分方程+边值问题是电磁场问题的一般方法。 4）边界处理是解决问题的关键. 2、边界条件分类 Ⅰ、以G表示边界，则 Ⅱ、解的惟一性定理 表述：方程确定和边界（第一、第三类）确定，方程可以惟一确定；方程 确定和边界（第二类）确定，方程可以确定到与真解相差一个常数； 例4-3如图所示：平行板电容器面积为S由两层介质构成，介电常数分别 为e1、e2，两极板电压为U，两层介质的厚度分别为d1、d2，忽略边缘效应， 求出两层介质中的1）电位分布。2）电场分布。3）该电容器的电容。 解：1）在平行板电容器内部无电荷分布， 利用求解电位的拉普拉斯方程+边界条件 求解 + X d2 d1 - U 这样求解有无问题？ ?? ???= +=?=? += = 0 0 21 0 01 2 ddx xU CxC j j jj ? ? ? ? ?? ? ? ? =++?= =???=?? +=+?= =?= ?? ? += +=?=? += == == = 0)(0 0 0211212 1211 2 2 1 1 01101121 001 012 0112 11 11 DddD DCxx DdDCdC UCU DxD CxC ddx dxdx dxdx x j eejeje jj j j jj 2）、 评注：有无更简便的解以比较、理解？ 参见P38页例题 3）、 设正板带电量为q，正板的电荷面密度为s，利用边界条件得 评注：有无更简便的解以比较、理解？ ? ? ? ??? ? +=? ??= +=? ??= ???= idd UxiE idd UxiE E ??? ??? ? 1221 12 2 1221 21 1 ee ej ee ej j 1221 21 11 11 111 dd SC S SC U qC CED nn ee eeee ees +=?= ?==? ?=== ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? + += +?= +?= = ? 1221 211 0 1221 1 1 1221 2 1 0 )( dd ddUD dd UD dd UC UC ee e ee e ee e 第四讲课后作业： P83页：①、1-8 P86页：②、1-19 P86页：③、1-20 P87页：④、1-24