第十讲、恒定磁场（Ⅲ） §3.6、向量磁位 §3.8、电感 一、向量磁位 1、向量磁位的引入 ABB ??? ×?=?=?? 0 0 )( )( 2 =?? =????? =×?×??=×? A AA AH cc ? ??? ???? 取规范： dm dd ①、对于全空间区域求解，边界在无穷远，设边界处的向量磁位为零， 媒质的磁导率为μ，上式的解为 )1.10( 2 2 2 2 ?? ??? ?=? ?=? ?=? ??=? zz yy xx A A A A md md md dm ?? )2.10( '4 '4 '4 ' ' ' ? ? ? ? ?? ? ? ? = = = ? ∫ ∫ ∫ v z z v y y v x x dvrA dvrA dvrA d p m d p m d p m )3.10(' ' 44 '' ' ∫ ∫ ∫ ∫ ?? ?? ? ==? v l s v r Id dsrk dvr r vdqA ? ? ? ?? d p m p m ②、对于空间存在不同媒质，应该分域解关于向量磁位的泊松方程， 在分界面上利用向量位的边界条件进行连接，向量位的边界条件为 ?? ??? =×??×? = KAA AA tt ??? ?? )(1)(1 2 2 1 1 21 mm (10.4) 对于平行平面场 ?? ?? ? =????? = KnAnA AA ? ? ? ? ? ?? 2 2 1 1 21 11 mm (10.5) 问题：如何从（10.4）导出（10.5）？ 注意：（ 1 ）、规范的物理含义在于标量磁位的不确定性 AAA ′×?=?+×?=×? ??? )( f 0=?? A?令： 这种‘截取’称为库仑规范。截取并非惟一，在近代物理学中，为满 足相对论条件，取lorrentz gauge；规范的更深刻的含义在于矛盾的 普遍性寓于矛盾的特殊性之中，例如，时间的长河无边无际，要度量 时间，必须截断；惯性系里认识速度，必须选一个参考系，诸如此类。 在这种截断下所得的向量磁位的计算公式，可以验证能够满足库仑规 范条件 0 4 2 =?? ′=? ?=? ∫A vdrA A ? ???? d p mdm 这一分析方法，在当代数学、物理中得到广泛的运用 （2）、利用向量磁位的计算确实比直接求解毕—沙定律简单 （3）、向量磁位只是一个辅助函数，并无物理意义 （4）、在边界条件：为什么在边界上向量磁位连续？ 若不连续，由于B = ·A,故B将是无限大，不合理；另外磁感应强度 的法向连续，也要求 n ?[ ·(A1-A2)]=0,在边界上任意点都相同，要 求A1=A2 2、磁通的向量磁位计算 ∫∫∫ ?=?×?=?= l ss ldAsdAsdB ??????f （10.6） 3、向量磁位的算例 例10-1、空气中有一长度为L、截面为S、位于Z轴的短铜线，若电 流密度为大小δ，方向沿轴向上，设电流密度均匀分布，求距铜线较 远处（r>>L）处的磁感强度 解；分析，求B，可先求A AB vdrA ?? ?? ×?= ′= ∫dpm4 krdlIrk dldsrkvdrA L L L L ?? ??? p m p m dpmdpm 4 IL 4 44 2 2 2 2 == ??=′= ∫ ∫∫ ? ? a q r I P 图10.1 电流元的磁场 Z X Y 例 10-2 试分别利用安培环路定律和向量磁位的方法计算空气中细长 载流导线的磁场（设导线电流大小为I，沿Z轴放置，沿Z轴方向流 向） 解： 注意：1）A为无穷大，并不影响磁感强度；2）上式推导也可直接得出 aqpm p m p m p m ? ???? ?????? 2 333 sin 4 IL 4 IL)( 4 IL )(4IL r r jxiyi r yj r x r k zkyjxiAB = +?= ?? ? ?? ? ?+??= ×??+??+??=×?= Z X z R L L Y r 线元大小为dz P(x,y,0) 图10.2 长直导线电流的磁场 ]ln)[ln(2 ])([ln4 )]ln()[ln(4 44 220 2 222 0 22220 22 00 RLLRIk R LLRIk LLRLLRIk k zR dzIk r dzIkAA L L L Lz ?++= ++= ?+?++= + === ∫∫ ?? p m p m p m p m p m ? ? ? ???? apma ???? RIRAAB z 2 0=???=×?= 该变换利用了如下的不定积分 ∫ ++=+ )1ln(1 22 xxx dx 柱坐标的旋度公式 ])([1)()1( aaa aa ?????+?????+?????=×? rzrz ArArrkrAzAzAArrF ???? ∫ ′?′×= sdRkIA 140 ?? pm ∫∫ ′′′′?′×=′′′ s sdzyxnldzyx ),,(),,( ff ?? P459之（49）式 Y R r I P 线元为Idl X Z 图10.3 环电流的远区磁场 例10-3、应用向量磁位分析真空中磁 偶极子的磁场 解：分析，求B，可先求A 利用 在遥远处： AB R ldIA ?? ?? ×?= ′= ∫ p m 4 0 )7.10(4sin4 IS 4 I 4 I 3 0 2 0 2 0 3 0 r rm r sdrkrsdrrkA ??? ????? ×== ′×=′×= ∫∫ p maq p m p m p m )8.10()sincos2(4 m )(1)sin( sin 1 4 IS 0 0 qqqpm qq qqpm aa ?? ???? += ?? ? ?? ? ? ?? ? ?=×?= r r rA r A rrAB ])([1])(sin1[1 ])()sin([sin1 qaaqq aq q q qa qa ? ?? ? ?+ ? ?? ? ?+ ? ?? ? ?=×? rr A r rA rr rAA r AA rrF ?? ??? 注意：（1）、磁偶极子、向量磁位以及磁场之关系与电偶极子、电位 以及电场强度关系类比 （2）、磁化强度与磁化电流体密度、面密度的关系 考虑空间一磁化媒质，若磁化强度M已知，则空间r处的向量磁位 ?? ??? =× =×?? )10.10( )9.10( m m KnM M ? ?? ?? d )sincos2(m4 )sincos2(p41 qqqpm qqqpe ??? ??? += += rB rE 3 3 4 4 1 r rmA r rp ??? ?? ×= ?= p m pej ∫∫ ∫ ∫∫ ′′×′? ′+′′? ′×?′= ′′? ′×?′?′×?′′?= ′′??′×′=′ ′? ′?×′= S sdnrr rMvdrr rM vdrr rMrMrr vdrrrMvd rr rrrMrA ??? ???? ?? ?? ???? ?? ??? ? ?? ?????? )( 4 )( 4 )])(()(1[4 1)( 4 )()( 4)( 00 0 0 3 0 p m p m p m p m p m 这两步变换利用了以下向量恒等式457页之（35）和458 页之（47） ∫∫ ×?=×? ?×?×?=×? SV SdAdVA hAAhAh ??? ??? )()( 二、电感 1、磁链：磁感应线呈环状，又称之为磁链。通过环面的链与电流成 正比，比值称为电感 2、电感分类 电感 注意：① M12=M21=M，推导可见P158页聂以曼公式 ②L、M、只和线圈的尺寸、匝数等有关，M还与线圈的相对位置有关 IL LI L L Ψ= =Ψ 图10.4 磁链 自感： ILLI ii Ψ=?=Ψ 互感： 2 12 1221212 1 21 2112121 IMIM IMIM Ψ=?=Ψ Ψ=?=Ψ MMM == 2112 3、自感分类 A、内磁链、内自感 例10.4、设半径为R的长直导线带有均匀的电流，电流强度为I，电 流方向向上，求1 )导体内部的磁通和磁链 2 )求出长直导线的内自 感。 解： 1）磁通 2）磁链、内自感 kRI ?? 2pd = rRIrRIr rrIrB 2 02 2 0 200 22 22 p mp pp m pdpmpm == =′= p m p m p m p m 42 22 0 0 2 0 0 2 0 2 0 LIdrr R LId drrRLILdrrRId RR ==Φ=Φ ==Φ ∫∫ )11.10(8 82 2 0 0 0 2 0 2 2 2 0 2 2 p m p m p m p p p m p p LL IL LIdrr R LI R rd drrRLIRrdIId i i i R ii ii =?Ψ= =?=Ψ=Ψ ?=Φ′=Ψ ∫∫ r R L kRI ?? 2pd = 距轴心为 r 处的 条形面积元宽度 为dr 图10.5 内磁链、内自感 Z轴 注意：①、正确理解磁链、交链、磁通三者之间的联系与区别 ：磁力线形象称为磁链，因为它呈环状；交链是指磁链与电流环‘相 交’的那一部分；磁通纯粹是指通过空间某一面上的磁感应强度通量 而已。从物理本质上讲，对于计算电感来说，有用的是交链。 对于线电流：dψ=1·dφ （10.12） ②、一般来说，只有电流是线分布的情形，磁链才等于磁通；参考《电 磁学教学札记》张之翔、高等教育出版社、1987、北京，P159页 ∫∫ Φ′=Ψ=Ψ= iiii dIIIdIIL 11 B、外磁链、外自感 例 10-5、试求二传输线的电感,已知传输线半径为 R，两轴线间距离 为D，传输线长度为L 解： 若D>>R，外自感为 若总自感为 )(22 xD I x IH x ?+= pp R RDL IL R RDIL dxxDxILLdxBdd Le e xLe RD R RD R RD R ?=Ψ=? ?= ?+==Φ=Φ=Ψ ∫∫∫∫ ??? ln ln22 ))( 11(2 0 0 0 p m p m p m R DLL e ln 0 p m≈ R DLL R DLLLLL ei ln4ln82 0000 p m p m p m p m +=+×=+= dx D x I I 图10.6 外磁链、外自感 C：互感 例10-6、试求如图所示二对传输线间长为L的互感，设导线半径均为 R 解：分析：可以看作两‘闭合回路’之间的互感 注意：上式推导过程要利用到 AC AD MAMA D DIL ln 2 0 p m=Φ=Ψ BDAC BCAD BDAC BCAD MAMAM DD DDLM DD DDIL ln2 ln2 0 0 p m p m =? = Ψ+Ψ=Ψ BD BC MBMB D DIL ln 2 0 p m=Φ=Ψ ∫ =? 0sdB ?? DAC DBC A DAD C D DBD I B I 图10.7 双线间的互感1 图10.8 双线间的互感2 第十讲课后作业： 加分题：（ 6 分）①、P186 3-17，第三问要求两种方法，第一，按照 定义式，第二，解方程。 （10分）②、P186 3-19之（1）之（i）， 直 接 计算。 要求掌握例139页例3-7和140页例3-8 P188 3-24 P188 3-25