第十四讲、时变场之二 §5-4、玻印亭向量与玻印亭定理(Ⅱ) §5-6、动态位 §5-7、达朗贝尔方程的解 §5-8、电磁辐射 一、玻印亭定理与玻印亭向量（Ⅱ） 1、玻印亭向量： 玻印亭定理: 讨论：若场能不随时间变化，且区域内无电源 这表明外部流进的能量全部用于导电媒质的热耗。 若无耗， 则表示流进=流出。 HES ??? ×= t WdVdVSdHE V c ceVs E ? ???=?× ∫∫∫ ? g dd 2???? ? 该项为沿任意 闭合曲面单位 时间穿出的能 量 该项为闭合 曲内所有外 源单位时间 提供的能量 该项为闭合 曲内单位时 间导体内部 的热耗 该项为闭合 曲内电磁场 能量的增加 dVSdHE V c s ∫∫ =?×? g d 2??? 0=?×? ∫ s SdHE ??? 2、算例 例 14.1、设同轴电缆的内外导体均为完纯导体（内外半径分别为 R1、R2）， 1）、若中间的介质也无损（g=0），始端接有电压为U的电 源，终端接有负载 R，设外导体面、内导体各处均匀流动，且电流 强度为 I，试计算流入图示闭合面的功率；2）、若内导体不是完纯 导体（g≠∞）， 情况如何？ 解： 分析：找出电场强度（E）、磁场强度（H）的大小及方向，进而找 出玻印亭向量S 闭合曲面功率计算：图示闭合曲面包括三个部分，截面 ab、截面 cd、侧面 ? ? ? ? ? ? ? = =×=? = ap p?? ???? ?? r IH ir R R UHES rr R R UE 1 2 1 ln2 1 ln 2 1 21 2 )( ∫∫∫∫ ?+?+??=?? ScdSSab SdSSdSSdSSdS ???????? 侧 U b c d a R X 电介质内部距轴心r处的高斯面，高斯面上 电场强度大小相等，方向沿径向向外 ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? =?? ?=?=?? =?=?? ∫ ∫∫ ∫∫ 0 21 ln2 21 ln2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 侧S R RScd R RSab SdS UIrdrr R R UISdS UIrdrr R R UISdS ?? ?? ?? p p p p 2）若导体非完纯导体，电场就会有一个切向分量，玻印亭向量就 有一个指向径向的分量。根据S=EχH=I/(gπr2)·I/(2πr),所以闭 合曲面电流密度积分等于侧面积分为2πrLS=1/g·L/πr2· I2=R I2 问题：如何求解麦克思韦方程组（Maxwell Equations）？ U d a R X 电场强度方向沿电流方向，磁感应强度方向为角向 二、动态位 1、动态位 （3）、（ 2 ） 式可以进一步写成 取规范： （洛仑兹条件） 右式称为非齐次的波动方程或称为动态位的达朗贝尔方程 )2.14( )1.14( j? ?? ?? ??=??+ ×?= t AE AB t t A A t DH t AD t AE t AE t BE ABB ? ?????? ?=×?×????+=×? =????????=?? ??=??+?=??+×?????=×? ×?=?=?? )( )()2( )()3( 0)()1( 0)4( je dmd e rjr j ? ????? ?? ?????? ??? )2()( )3( 2 2 2 2 ′???????=????? ′?=????+? jmemedm e rj tt AAA At ???? ? 0=??+?? tA jme? )3.14(2 2 2 ct AA dmme ??? ?= ? ??? )4.14(2 2 2 e rjmej ?= ? ??? t ct A cA dm ??? ?= ? ??? 2 2 2 2 1 e rjj ?= ? ??? 2 2 2 2 1 tc 其中c称为真空中的电磁波传播速度（光速） 8 9700 103 10361104 11 ×= ×× == ?? pp emc 2、无限域的电磁场方程组的解（达朗贝尔方程的解） 在全空间达朗贝尔方程的解： 注意：1）、波动方程解的时间宗量为：（ t - r/v）是标志波动性的重 要特征；波动的本质在于该时间宗量，（ 14.5）、（ 14.6）又分别称为 向量和标量推迟位，c为传播速度；2）、t ± r/v分别表示电磁波的传 播方向为由激励源向外扩散波或由其他处源传播的行波。 )5.14( ),,,( 4),,( ∫ ′ ′ ?′′′ = V c Vd r c rtzyx zyxA d p m ? ? )6.14( ),,,( 4 1),,( ∫ ′ ′ ?′′′ = V c Vdr c rtzyx zyx r pej ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ′ ?′′′ =??=???? + + ? =? ++?=???=??? ? ?= ? ?= ? ? ? ??= ? ??? ′′′′=??=? ∫ ∫ ′ ′ V c V c Vdr c rtzyx zyxtc r c rtF r c rtF c rtF c rtFr t r cr r tcr r rrrrrtc Vdr zyxzyx ),,,( 4 1),,(1 ,, )()( )()()(1)( 1)(1)(101 ),,( 4 1),,( 2 2 2 2 21 212 2 22 2 2 2 22 2 2 22 2 2 2 2 r peje rjj j jjj jjjjj r peje rj 只保留第一项对于源激发场 2）时域与频域 时域：是指对所空间电流源或电荷源随时间的变化是任意形式的 频域：是指对所空间电流源或电荷源随时间的变化是是正弦或余弦形 式。我们知道，电磁波是由源产生的，故空间电场或磁场随时间的变 化关系也是正弦或余弦形式的，而发射源通常是以一定频率激发电磁 场的，故称为频域，参考（14.5）及（14.6）式任何一个场量（向量 或标量）， 在频域都可以表达成如下形式： 上式中，F或f分别表示空间任意向量或标量 3）物理量的向量表示 )7.14( )sin( )sin( )sin( )sin( )sin( )sin( )sin( )( )( )( )( )( )( )( ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? = ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? +?= +?= +?= +?= +?= +?= +?= ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? E B A I rj m rj m rj m rj m rj m rj m rj m Em Bm Am m Im m m eE eB eA e eI e e E B A I rtEE rtBB rtAA rt rtIi rt rt fb fb fb fb fb fb fb j d r j d r j d r j d r fbw fbw fbw fbwjj fbw fbwdd fbwrr ? ? ? ? ? ?? ?? ?? ?? ? ?? ? ?? ?? ?? ?? ?? )9.14()Im( )8.14( tjeFF FjtF w w ? ?? = =?? )sin(),,(])(sin[),,(),,,( )sin(),,(),,,( )sin(),,(])(sin[),,(),,,( )sin(),,(),,,( jbwjw jw jbwjw jw +?=+?=? += +?=+?=? += rtzyxfcrtzyxfcrtzyxf tzyxftzyxf rtzyxFcrtzyxFcrtzyxF tzyxFtzyxF ??? ?? 4）、 波动特性的相关表征参数 在（14.11）式中，β称为波数，它与电磁波的波长之积为2π 5）电尺寸。在真空中，V=3*108m/s， 对于工频，几十公里范围内的电压或电流信号以及空间电磁波，都可 以看作处处相等的场量都可以看成由静电场和恒定磁场的规律来进 行处理。电压或电流量可以以电路分析中集中参数的方式处理；高频 情况则完全不同。 ))(( )10.14(0 )()(; Ajj AE j A tA AjtAEAB ??? ? ?? ???????? ? ????? ? ???????? wwme wmej jme wjj +????=? ??=?= ? ?+?? +??=??+??=×?= l pb b p b p b p b w b wl b w b wwfbw 2 )11.14(222 )()( = ======= =??=+? or TffTTTfvTv vrtjrtj 工频：f=50，λ=3*108/50=6000km 射频频：f=100MHz，λ=3*108/（100*106）=3m 微波：f=1GHz，λ=3*108/（1000*106）=0.3m 工频下，一个周期T，所对 应的波长6000km 几十km范围，对应的场量 则完全看成不变的 三、算例 例14.1已知自由空间中电 磁波的两个分量为 式中f=20兆赫，β=ω(εμ)1/2 = 0.42弧度/米 1） 写出玻印亭向量的时间函数 2） 计算出玻印亭向量的平均值 3） 计算流入图示平行六面体（长1米、横截面积为0.25m2）体积中 的净功率流 解：由玻印亭向量的定义得 1） 2）利用平均值的定义 3）由净功率流的定义 iztH kztE ?? ?? )cos(65.2 )cos(1000 bw bw ?= ?= jztHES ???? )(cos2650 2 bw ?=×= 1325 )1)(2(cos212650 )(cos2650 0 0 2 = +??? = ? == ∫ ∫∫ T jdtzt T jdtzt T dtS S T T T ? ??? bw bw )2sin(17.270))2 222sin(42.0sin2(82650 ))25.0(2cos2(cos2142650 )(cos2650)(cos2650 22 bwbww ww bww ??=?+?= ???= ????= +?= +++++?=? ∫∫ ∫∫ ∫∫∫∫∫∫∫ ttt tt kdsktkdskt sdSsdS sdSsdSsdSsdSsdSsdSsdS 前前 后前 后前外里下上 ）（ ）（ ???? ???? ?????????????? X Z Y 例 14.2 设由完纯导体组成的同轴电缆，其内径为 R1=1mm，外径为 R2=4mm，内外导体间介质的物理参数为μr=1、εr=2.25，设已知内外 导体间的电场强度为 其中z为电缆的轴向长度，问 （1） 场强的表达式是否具有波动性？说明理由 （2） 决定b （3） 写出磁场强度的表达式 （4） 写出内导体表面的面电流密度 （5） 计算0≤z≤1米中的位移电流 解：1）具有波动性，因为：电场表达式的宗量为： 具备波动方程的形式 2）b为 3）磁场强度的表达式为 问题：为什么不采用定积分？因为定积分更合理！ aabwmeabwmwb abwmabwm bwam ? )210sin( 398.0?)sin(100?)sin(100 ?)sin(1001?)sin(1001 )sin(100? 8 r zt ztrztr dtr ztzdtr ztzH r rzt zEt H ? =?=?= ?? ? ?? ? ? ? ??=?× ? ??=? ?× ? ?=×?= ? ?? ∫∫? ??? rztrE ?? )10sin(100 8 b?= )( b wwbw ztzt ?=?? 2 1 103 25.2110 36 10104 1 8 8 9 7 00 =×?=???= ==? ==? ? ? ppemw eemmwmewb meb w rr rr v 4)、内导体表面的面电流密度为： 5)、由电场强度沿径向，可知，位移电流 沿径向由内导体向外部扩散 [] )25.010cos(237.1 )25.010cos(25.0sin1800 )10sin()5.010sin(10900 )5.010cos(1025.21002 )2( )10sin(100 8 8 0 888 0 1 0 88 0 1 0 8 ??= ??= ???= ?????= ?? ?? ? ?? ? ?? =? ?=???= ∫ ∫ ∫ t t tt dzzt rzrdrt ztr I sdItD D DDD pe pe ep p be dd ?? ???? 侧面 内导体表面法向方向n 外表面处磁场强度方向α kztK ztrK KHn c rc c ?)5.010sin(398 ?10 )5.010sin(398.0? ? 8 3 8 10 3 ?=? ?×= ?=× ?= ? ? ? ??? a Z 三、电磁辐射 1、 电流元的辐射公式 ①什么是电磁辐射？当电荷、电流随时间变化时，在其周围激发电磁 波，在电磁波向外传播的过程中，会有部分电磁能量输送出去，这种 现象称为电磁辐射。用于辐射的导体装置称为辐射器。各种形式的天 线都是辐射器。 ②电偶极子的辐射机理 设辐射子为一既细又短的导线，其中的电流做 余弦变化，为了简明，设i =Imcos(ωt)= Imsin(ωt+900)，要计 算空间的电场、磁场分布，先计算动态的向量 磁位 向量磁位球坐标系下的分量可以写为 0,),,(4 ),,( 4 ),,( 4),,( 2 0 2 0 2 0 ==?′′′==? ?′′′=′′′= ? ? ′ ? ∫ yx jrj z jrj V jrj AAlr eezyxIjAA klr eezyxIjldr eezyxIzyxA ????? ?????? p b p b p b p m p m p m i(t) Δl 电偶极子辐射元 0 sin4 cos4cos 20 20 =?= ??=?= ?==?= ? ? f qpmq qpmq f p b q p b ???? ????? ?????? AA leeIrjAA leeIrjArAA jrj jrj zr ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?=×?= =×?= =×?= ?×?= ])([1)(1 0)(1 0)(1 00 0 0 0 r rr AArrrAH AH AH AH ????? ??? ??? ???? qmm m m m qaa qq )12.14(sin))( 1(4 2 2 rje rr jlIjH b a qbbp b ?+?== ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ×?= ? ?=×?= ? ?=×?= ×?= aa aqq a we qqwewe qqqwewe we )(1 )]sin([sin11)(1 )]sin(sin1[1)(1 0 00 2 00 0 HjE HrrrjHjE HrrjHjE j HE rr ??? ??? ??? ???? )13.14( 0 sin])()( 1[4 cos])( 1)([42 32 0 3 32 0 3 ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? = ?+?= +?= ? ? a b q b qbbbpweb qbbpweb E erjrrjlIjE errjlIE rj rj r ? ?? ?? 注意：由（14.12）以及（14.13）两式可以看出，空间某点场量总体 上与场点到波源的电尺寸成反比 问题：（ 14.12）、（ 14.13）所得到的电流元所产生的电场、磁场分布， 如何理解其物理意义？ 2、 近场（似稳场）与远场（辐射场） ①近场：(14.12)与（14.13）式可以看到，场量大小与场量到电流源 的‘电尺寸（βr）’有关， 当βr <<1，也即r<<λ/2π时，(14.12)与（14.13）分别保留其分母 最高次项，得 )15.14( 0 sin14sin)( 14 cos12cos)( 142 3 0 0 3 0 3 3 0 0 3 0 3 ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? = ?=?= ?=?= ?? ?? a bb q bb qempbqbpweb qempbqbpweb E erlIerlIE erlIerlIE rjrj rjrj r ? ??? ??? )16.14(sin4sin)( 14 22 2 rjrj e r lIje r lIjH bb a qpqbp b ?? ?=?= ??? 关于近场要注意的几个问题 1）波阻抗 p be m a q 120 ,11 0 0 <<? == Z rjH EZ 这说明在近场，呈现低阻， 分析场大小时，以磁场为主 )14.14(2 rr lpb = 高H 低E 2）近场的波印亭向量为 rerlIjerlIj rSSHES rjrj r ?sin16?sincos8 ? 22 32 22 2 0 0 32 22 bb q qbpqqqembp q ?? ?+?? =+=×= ?? ???? 由(14.15)、(14.16) 式可见，在近场，电场与磁场的相位角相差900， 故虽然瞬态波印亭向量不为零，但是，一个周期内的平均功率为零。 也就是说主要电磁能量呈震荡，即电、磁能量相互交换（‘吞吐’）， 故 近 场 又成为感应场 3）、（ 14.15）、（ 14.16）式的瞬时表示式。 则在两端积累的电荷 ∫ +== ktIidttq m ww sin)( 不考虑与时间无关的常数(k=0)，利用电偶极子的电矩 ltqltIltqp mm ???? ?=?=?= www sinsin)( 可以将（14.15）、（ 14.16）式表达成 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= =?= =?= qp qpeqpe qpeqpe a q sin4 sin14sin14 cos214cos214 2 3 0 3 0 3 0 3 0 r liH r p r lqE r p r lqE r 比较第一章静电场P20（1-32）式以及第三章恒定磁场P117（3-7）式， 不难发现近场与静电场、恒定磁场表现形式雷同，故近场又称为‘似 稳场’。 -q(t) +q(t) i(t) i(t) Δl Δl ②远场：当βr>>1，也即 r>>λ/2π时，(14.12)与（14.13）分别保 留其分母最低次项，得 ? ? ? ??? ? ??=?= ??=??= ?? ?? )18.14(sin14sin14 )17.14(sin14sin14 2 0 0 0 3 rjrj rjrj erlIerlIH erlIerlIE bb a bb q qpbqbpb qempbqbpweb ??? ??? 关于远场要注意的几个问题 1）波阻抗 )(377120 0 0 ?≈=== p e m a q H EZ 这说明在远场，呈现高阻，分析场 大小时，以电场为主 2）远场的波印亭向量以及场能量关系 rcrvrtr lI rvrtr lIrSHES v rt r lIH v rt r lIE m m r ememe m m m e ??)(sinsin)4(1 ?)(sinsin)4(? 2 )](sinsin)4[(2121 )](sinsin)4([2121 222 0 0 00 0 222 0 0 2 0 2 0 2 0 0 0 2 0 wwqpbemmee wqpbem wwwwww wqpbmmw wqpbemeew ′=??= ??==×= ′=′+′=′′′=′? ??==′ ??==′ ??? 由(14.19)、(14.19) 式可见，在远场，电场与磁场的相位一致，一 个周期内的平均功率不为零。也就是说电磁能量以球面波的形式沿径 向向远方传播，故远区场又称为‘辐射场’。 低H 高E 3）辐射功率 )19.4(sin)(81sin21)4( )(sinsin)4( 22 0 022 0 0 0 222 0 0 qlemqpbem wqpbem r lI r lI T dtvrtr lI T dtS S mm T m T r ?=?= ?? == ∫∫ 3、辐射的方向性（天线的极化）与辐射功率 ①电流元的辐射方向图 θ=900，场量最大 θ=00或1800，场量为零 问题：一般线天线并非电流元， 方向图如何？ ②线天线的辐射方向图 问题？有一半波振子向外辐射，这两个人各执一付接收天线检测信 号，问哪一位能够接收到信号？ 电流元的辐射方向图 θ L=0.5λ，半波振子的辐射 θ L=λ L=2λ 问题？有一半波振子向外辐射，这两个人各执一付接收天线检测信 号，问哪一位能够接收到信号？ 抛物面天线的方向图如何？军用与民用天线的用途分类？ ③天线的辐射功率 称为电流元的辐射电阻2 2222 2 0 2 0 22 0 0 0 0 0 )(80 )20.4()(803422)(12081 sinsin)(81 2,120 l lplp jqqqlem pem p p r lR IlIl drrdr lIsdSP IIZ e m S m ?= ?=????= ??== === ∫∫∫ ? ? 辐射电阻的大小可以反映出一个辐射系统的辐射能力的强弱 讨论： 1）频率高，波长短，可以使用短天线发射 2）频率低，波长长，必须使用长天线发射 第十四讲作业 P320页 5-11 5-13