第五讲、静电场（Ⅲ） §1.7静象法§1.6电阻法 一、镜向法 例5-1真空中置一个点电荷q，大地为导体，求空间任意点处 1）电 位分布； 2）电场分布；3）大地表面感应电荷分布；4）q受力 解：物理过程分析：导体在外场的作用下达到静电平衡，空间各处电 场与电位是点电荷与感应电荷共同贡献的结果 关键：直接求解的关键在于找出感应电荷面密度。行不通！ 思路：间接求解的思路在于“方程+边界” 问题：区域在哪里？边界在哪里？ ● q ● 图5.1感应电荷的电场 上半平面任意点P（x,y,z） 图5.2上半空间边界 R=￥ Z=0 Z 2j=0 q点除外 j|z=0,r=￥=0 根据惟一性定理，等效方法：方程+边界 ● -q ● q 图5.3 静象法（等效法） P0(x0,y0,z0) ● P(x,y,z) P￠0(x0,y0,-z0 1）、建立坐标系，水平向上为Z轴，大地平面为Z=0面。设电电荷q 所在点的坐标为P0（x0,y0,z0），则根据镜向原理，镜向电荷电量为-q， 所在点的位置为（x0,y0,-z0） 如此，上半空间任意点P（x,y,z）的电位为： 2）、同理，P点的电场强度为： 3）、计算大地的感应电荷，大地表面的感应电荷面密度： 大地表面的总感应电荷为： ?? ??? ?? ??? ++?+? ? ?+?+? = 2 1 2 0 2 0 2 0 2 1 2 0 2 0 2 0 0 ])()()[( 1 ])()()[( 1 4),,( zzyyxxzzyyxx qzyx pej ?? ??? ?? ??? ++?+? ++?+?? ?+?+? ?+?+?= 2 3 2 0 2 0 2 0 000 2 3 2 0 2 0 2 0 000 0 ])()()[( )()()( ])()()[( )()()( 4),,( zzyyxx kzzjyyixx zzyyxx kzzjyyixxqzyxE ??????? pe ) ])()[(2 ),( 2 3 2 0 2 0 2 0 0 0000 zyyxx zqkEnEEDyx znn +?+? ===== ?=? peees ???? q zr zqrdr zr zqdxdyyxq ?=∞ + ?= + ==′ ∫∫ ∞ 0 )( 2 )(2 ),( 2 1 2 0 2 0 0 2 3 2 0 2 0 p ps 4）、点电荷q受力为 问题：大地受到的点电荷q的吸引力为多少？ 2 00 2 2 3 2 00 2 00 2 00 000000 0 16])()()[( )()()( 4 z kq zzyyxx kzzjyyixxqqEqF ?????? pepe ?=++?+? ++?+??== 二、电轴法 ①问题的提出：平行双线系统是电力传输的重要途径 空气中平行地放置两根长导线，半径分别为 a2=10cm、a1=6cm，两轴 线间距为20cm。若导线间加压为1000伏，求：1）空间电位分布；2） 两导线间单位长度的电容；3）空间电场分布；4）导线面密度最大值； 5）两根长导线单位长度的最大值； 解： 思考模式： “方程+边界” 2j=0 j(r=3)- j(r=5)=1000 U=1000v a1 a2 d ? -t t ? ? X r2 r1 P(x,y,z) （-b,0） （b,0） 例5-2：求空间线密度分别为t、-t的两根长直线电荷分布在空间所产 生的电位分布和电场分布 解：分析：什么是平行平面场？是二维场，如图实质上，在 z 方向上， 相同（x、y）坐标处电场和电位完全一样 )??(2 ?2 ?2 2 2 1 1 2 2 1 1 0 0 0 r r r rE rrE rrE +? ? = = = pe t pe t pe t t t ? ? ? 1 2ln 2 0 r rcldEQ P pe tj +== ∫ ? ?? 以原点为“零”电位点 （5.2） 空间等位线轨道方程为： 2 1 22 22 1 2 )( )(ln 2 ln2 0 0 ?? ? ?? ? +? ++= == ∫ ? ybx ybx r rldE P pe t pe tj ??原点 krr = 1 2 222 bah += 令圆轨道 半径为a 2)()( 1 2 1 1 )( )( 2 2 2 2 2 2 22 22 1 2 b K Kyb K Kx kybx ybxrr ?=+? +? =+? ++= 令轨道圆心 坐标为h （5.3）表明空间等电位点所组 成的轨迹是圆轨导，当轨道上点 到两轴点比值为 K 时，该轨道 对应的圆心坐标值， 圆半径分 别为箭头所指项 （5.3） ? -t t ? X r2 r1 P(x,y,z) (-b,0) (b,0) ? 图5.4 等效电轴 ? ? ? ? ? ? 2 1 22 22 1 2 )88.5( )88.5(ln 2ln2 00 ?? ? ?? ? +? ++== yx yx r r pe t pe tj 例5-3：空气中平行地放置两根长导线，半径分别为 a 2 =10cm、a1=6cm， 两轴线间距为20cm。若导线间加压为1000伏，求：1）空间电位分布； 2）两导线间单位长度的电容；3）空间电场分布；4）导线面密度最 大值；5）两根长导线单位长度的相互作用力； 解： 解：1）求解电轴电位分布的关键在于定电轴 88.564.8 4.8 6.112 202.3 20 22 1 2 12 1222 122 2222 21212 12 ≈?=? ?? ? ? ? = =+=? + ?=?? ??? ? += += =+ b h h hh aahh bah bah hh 电位分布：以r1、r2表示空间任意点到小、大导体柱等效电轴的距离， 则该点电位为 设空间任意点距大柱中心距离为r2，小柱中心距离为r1，以轴心点为 零电位参考点，则该两导体柱电位差为 U=1000v a1 a2 d b b 11 11 )()(2 2 2 1 1 0max ahx ahxn irrrr nED ?= ?= ???= ?== ??? ?? p t es ?? ? ?? ? ?+ ?+ ?+ ?+=? ? 22 22 11 11ln 1000 2 0 ahb hab hba abhpe t ?? ? ?? ? ?+ ?+ ?+ ?+=== ? 22 22 11 11ln 2 1000 0 ahb hab hba abhUC pett 2)、单位长度电容为 3)、电场分布为 )( ln 1000)( 2 22 2 2 1 1 11 112 2 1 1 0 r r r r ahb bahr r r rE ????? ? +? +?=?= pe t 4)、电荷密度最大值一定位于小柱的内侧 )11(2 11 bahahb +? ++?= pt ?? ? ?? ? ??? ????? ?? ??? ==? ?+ )]([ )()(ln )( )()(ln 2 1000 22 22 11 11 0 ahb bah ahb bah pe t jj 5)、两根长导线单位长度的相互作用力 b ahb hab hba abhbqEF 02 22 22 11 110 ] ln 1000[ 2 1 21 pe pe tt ?? ? ?? ? ?+ ?+ ?+ ?+=???== ? 第五讲课后作业： P83页：①、1-25 P86页：②、1-26 P86页：③、1-29