第十一讲、恒定磁场（Ⅳ） §1.10、电场能量与力 §3.9、磁场能量与力（上） 一、静电场能量带电导体系统之间的相互作用力 1、为什么要引入电场能量？任何一门自然科学，其物理量最终都要 与能量相联系，能量的本质在于规律不随时间变化而变化。 2、静电能量：在空间形成电场的电荷构成一定的分布时，该电场就 具有能量。这种由电荷相对位置引起的静电能量数值上等于形成该分 布时，外力所做的功。 3、静电能量的计算 A、假如某种电荷分布已经存在，则空间就具有了电场，此时再把一 个检验小电荷dq从无穷远移到电场中某点（P）时，外力做功为： (11.1) 外力做功，变成了静电场的能量，静电场能量增量等于检验电荷的电 量与P点电位的乘积。 可以想象，本来电荷天各一方，散布在无穷远处，自然静电场能量为 零。这些电荷能够形成一种分布，是由于外力做功的缘故。外力做的 功哪里去了？变成了静电场能量。 B、若某种电荷分布已经形成，它的电位分布也就能够确定，假设为 j(r)，则该电荷分布系统具有的能量为： (11.2) ∫∫∫ +== dSdVdqWe sjrjj 2 1 2 1 2 1 ∫∫ ∞∞ =?=??= PP dqldEdqldEdqW j????)( 问题：上式中有一个1/2因子，如何理解？ ①、简单说明如下：若空间只有两个电荷， 假设电荷q1不动，q2从遥远处移来 该系统的能量为 ②、若空间只有两个电荷，该系统的能量 为 step1:从遥远处移来q2,系统能量如上 1122 210 2 1 120 1 2 120 1 23 1 1 0 1 2 22 2 1 2 1 1 42 11 42 1 1 44 )(W 2 jj pepe pepe qq rr qq rr qq rr qqld rr rrqq ldEqldEq P P r += ?+?= ?=?? ?= ?=??= ∫ ∫∫ ∞ ∞ ∞ ???? ?? ? ?? ?? ????? q2 q1 2r ? 1r ? o 12 rr ?? ? 图11.1、两电荷系统电场的能量 120 21 step1 1 4E rr qq ?? ?= pe 12 rr ?? ? 3r ? q3 23 rr ?? ?q2 q1 2r ? 1r ? o 该向量为 13 rr ?? ? 图8.2 三电荷系统的电场能量 step2:从从遥远处移移来q3，在移动过程中，它将同时受到的q1和 q2 阻碍 在移动过程中，总能量为： ③、对于连续分布电荷，静电场能量可以表示为 (11.3a) 讨论：1）若带电系统既有体电荷分布，又有面电荷分布，又有线电 荷分布，则静电场能量可以表示为 ∫∫∫ ++= dSdSdVWe tjsjrj 212121 （11.3b） 230 23 130 13 step2 1 4 1 4E rr qq rr qq ???? ?+?= pepe 332211 230 2 130 1 3 320 3 120 1 2 310 3 210 2 1 230 23 130 13 120 12 step2step1 2 1 2 1 2 1 442 1 442 1 442 1 1 4 1 4 1 4 EEE jjj pepe pepe pepe pepepe qqq rr q rr qq rr q rr qq rr q rr qq rr qq rr qq rr qq ++= ?+?+ ?+?+ ?+?= ?+?+?= += ）（ ）（ ）（ ???? ???? ???? ?????? j∫= dqW 21 2）对于n个导体构成的系统，静电能量为 （11.3C） 问题：电场能量放在那里？能量一定 寓于场中，如何理解？ 4、静电场的能量公式 考虑一局部空间，内部既有电介质 又有一些导体构成，如图8.3所示， 利用高斯通量定理微分形式和导体 边界面电荷密度的计算公式 ∫∫ += ?==?? dSdVW DnD e sjrj sr 2 1 2 1 , ??? ∑ = = n k kke qW 12 1 j )4.8()(2121 2 1)( 2 1 2 1 2 1 2 1)( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21 21 21 21 21 ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ ∫∫ ?+?= ?+?+?= ?+?????= ?+??= ?+??= + ?? + + + S SS SSSV SSVV SS SSe SdDdVED SdDSdDdVED dSDndVDdVD SdDdVD dSDndVDW ???? ?????? ???? ??? ??? j jj jjj jj jj 图8.3、电场的能量 导 体 内 部 导 体 内 部 介 质 内 部 考虑全域空间时，电荷的分布是有限度的，但是电场是分布在整个空 间的，而有电场的地方，就一定有静电场能量，所以计算电场能量时， 应该以整个空间电场为积分对象 能量密度： 空间具有的静电能量为静电场能量密度的整个空间积分 （8.5） ∫∫∫ ?=?+?= ∞∝∝∝∝ dVEDSdDdVEDW rrSrrE Se ?????? ? 2 1)( 2 1 2 1 ,,1,1 22 j j在远区， 这项为零 2 2 1 2 1 EED e ew =?= ?? VdEVdEDdW VVeV ∫∫∫ =?== 22121 ew ?? 二、带电导体系统间电场力计算的虚功原理 1、广义坐标：任何一个能够表征导体系统内各导体之间的相对位置、 形状、方位等一组独立几何量，如面积、距离、体积以及角度等。 2、广义力：与广义坐标相对应的力，它可以是角动量、压强 3、虚功原理 ①、方法原理：如图 ②、虚功原理具体实现：设第P个导体沿广义坐标g发生一个微量移 动dg fdgWddW eg += 由于微量移动 dg，各导体 相连接的电源提供能量增 量：dW=∑φkdqk 由于微量移动 dg，导 致的电场能量的增加 由于微量移动dg动， 电场力对外做的功 2 2 1kxW = kxxWf =??= x dx 图8.4、蹦紧的弹簧的弹力 讨论： 1）、 断开各导体相连接的电源，dqk=0 （8.6） 2）、 各 导体电位保持不变，dφk=0 （8.7） 常量 常量 = = ? ??=?= k k q e q eg g W dg Wdf 常量 常量 = = ? ?== k k q e q eg g W dg Wdf 常量常量 == ?=?+= kk qgqeg WdfdgfdgWd0 常量 常量 = = =+= ∑∑ k k qg q kkkk Wdfdgfdgdqdq ff 2 1 EqF ?? = 常量常量 == ? ??= ? ?= q ee g Wf g Wf f 2 2 00 22 1 2 1 2 1 2 1 d US d UU d S d UCUqEF d UEEEEEE ee ==== ===?+= ? ?+?+ 4、算例 例11-1、试计算无限大平行板电容器单位面积所受的电场力，设板间 距离为d，板间电压为U： 1)直接 利用计算; 2)分别利用如下虚功原理计算 解：1）解题分析，板内电场是正板和负板电荷 共同叠加的结果 注意： q还可以通过下述方法计算 方向向下 o + + + - - - x d 2 2 0 2 d U S Ff e== d USSq d UD n 0 0 eses ==?== 2 2 0 2002 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1]([ 2 1 Ud SdxxWF UxSUUdSCUqUqW dx ej eejj ?==??= =?===?+= =?+ 不变 ） 202 0 2 0 2 2 11 2 1, 2 1 2 1 2 1 2 1 UdSqSdxqxWF qSxCqCqqqUW dx e e e ?=?==???= ==== = 不变 2）（ I ） 关键是在电位不变的情况下，表达出静电能量与位移的关系 负号表示正板受力方向与x轴反向 （2）、（ II）关键是在极板电量不变的情况下，表达出静电能量与位 移的关系 注意： （II）的解法还可以通过（I）的表达做数学变换 dxe x SU d SUW ===? 2 0 2 0 2 1 2 1 ee 2 2 0 2 2 0 2 1 2 1 Ud S x SU x Wf dxdx e U e e ?= ?=??=? ==不变 2 00 0 0 2 1 2 1 2 1 q S dq S dqqUW qSdUdUSq e ee e e =?== ?=?= ? dxe qS xq S dW ===? 2 0 2 0 2 1 2 1 ee 2 2 020 0 2 0 2 1)(1 2 1 1 2 1 Ud SdUSS qSxWf dx q e ee e e ?=?= ?=???=? = 不变 三、闭合载流系统间磁场力计算的虚功原理 1、磁场能量与闭合电流系统之间的相互作用力 A、什么是磁场能量？磁场具有能量。磁场能以储存于空间的方式储 存。磁场能的大小等于在磁场形成过程中电源所做的功。（ 或 等于由 其它形式的能量转变为磁场能量的多少） B、 场能量怎样计算？ step 1: i1=0 ： 0 I1 I2 = 0 di1 di2=0 dψ11=L1di1 dψ21 ε1=-dψ11/dt ε2=-dψ11/dt dw1=-ε1 i1dt dw2=0 w1=∫dw1=∫-ε1 i1dt w2=0（维持无电流） =1/2 L1 I12 I2=0 i 1：0->I1 图8.5、磁场能量的形成1 step 2: I1 保持不变 i2：= 0 I2 i1=I1 dψ21 dψ12=Mdi2 dψ2= L2di2 ε12=-dψ12/dt ε2=-dψ22/dt dw12=-ε12I1dt dw2=-ε2 i2dt w12=∫dw12=∫-ε12 I1dt w2=∫dw2=∫-ε2 i2dt = M I1 I2 = 1/2 L2 I22 一般情况下，若有n个回路，则所具有的能量为 （8.8） 2121 W WWW ++= 2 2121 2 11 I2 1III 2 1 LML ++= 2211 12222111 I21I21 )II(I21)II(I21 Ψ+Ψ= +++= MLML k n kmW I2 1 1k ∑ = Ψ= i2： 0 ->I2 I1 图8.6、磁场能量的形成2 C、磁场能量寓于场中，数学上怎样实现？也即如何表达出磁场能量 与磁场强度与磁感应强度的关系 磁场能量密度 空间具有的静电能量为静电场能量密度的整个空间积分 （8.9） ∑ ∫∑ ∫ ∑ ∫ = Γ= Γ = ?=?=? ? ? ? ??? ? Ψ= ?=Ψ n k n km k n km s k kk k ldAldAW W sdB 1k1k 1k I21I21 I21 ???? ?? ?? ??? ∫∑ ∫ = Γ Vk k k byreplacedis dvbyreplacedisldI 1 d?? ? ? ? ? ? ? ? ?=×? ?= ∫ ×??∫ +?×= ×??+×??=×?? ∫ V dvAHSdAHmW sc V cm AHAHHA H dvAW ????? ?????? ?? ?? 2 1 2 1 )( 2 1 d d ∫ ?=∫ ×??= ∫ =?× ? ? ? ? ? ? ? ? ? VV dvBHdvAHmW SdAH s rS rA rH ???? ??? 2 1 2 1 0 2 2 ~ 1~ 1~ 在远区 mmw 2 2 2 1 2 1 2 1 BHBH m == =? ?? dVBdVHdVdW VVVmVm BH ∫∫∫∫ === =? mmw 2 2 2 1 2 1 2 1 ?? 2、虚位移法 设有一个包含n个载流回路的系统，它们分别与电压为U1、U2，…， Un的外源相联，且分别通有电流 I1、I2，…，In。假设除了第 p 号回 路外，其余都固定不动，设第p号回路沿广义坐标g发生一个微动 讨论： ①、 假定各回路中的电流保持不变，Ik=常量，则 ∑Ikdψk =1/2∑Ikdψk+fdg， 这说明外源提供的能量一半作为磁场能量，另一半用于机械功，可得 1/2∑Ikdψk =dWm=fdg ②、 假定通过各回路中的磁链保持不变，dψk=0 dW=0 0= dWm+ fdg, 由此得到 fdgWddW mg += 由于微量移动dg，各导 体相连接的电源提供 能量增量 dW=∑Ikdψk 由于微量移动 dg，导 致的磁场能量的增加 微量移动 dg 动，磁 场力对外做的机械功 常量 常量 = = ? ?== k k I m I mg g W dg Wdf 注意：为什么磁链保持不变，外源提供能量（dW）就一定为零？这实 质上就是楞次定律的集中表现，例如一阶电路iR+Ldi/dt=0所对应的 物理过程就是如此。尽管电流在不断地减小，但是楞次定律要求反抗 减少，任意瞬态达到的一种平衡就是磁链总是试图保持不变 第十一讲课后作业： 常量 常量 =Ψ =Ψ ? ??=?= k k g W dg Wdf mmg P91页1-45