《电磁场》pdf讲义：1

1、标量：只有大小，没有方向的物理量。例如温度、能量等 2、向量：有大小又有方向的物理量。例如速度、力等。 3、张量：有大小又有多种复杂方向取向的物理量。例如张力 第一讲：向量分析与场论（I） 《向量分析与场论基础》就是关于场的数学刻画、描述以及场特征的一般分析。 一、 物理量的分类 1、物理量 2、什么是场？：具有空间函数关系的物理量就构成了该物理量的场。例如： 考虑某一空间的温度时，若空间任意点温度T和该点坐标p(x,y,z)具有函数 关系：T=T( x, y, z )，这就构成了一种标量场，这个标量场为温度场；若在 某一空间存在流水，当考虑空间处处的流速时，若空间任意点流速V和该点坐 标P(x,y,z)具有函数关系： kjiVV ????? z)y,(x,Vz)y,(x,Vz)y,(x,Vz)y,(x, zyx ++== 其中 Vx(x,y,z)、Vy(x,y,z)以及Vz(x,y,z)分别为向量 V(x,y,z)在 x 轴、y 轴以及z轴的分量， i 、 j 以及k分别为x轴、y轴以及z轴三个方向的单 位向量（通常又称为方向向量）,流速V构成了一种向量场（或称为场向量）， 这个向量场为流速场。 本概要只考虑标量场与向量场，张量场不做讨论；本概要的出发点是为后续《电磁 场》课程教学服务，侧重阐述基本概念和基本规律，故不追求数学上的严格性。 二、几个有用的场向量、向量“+”与“-”运算 1、 位移向量：确定空间一点位置可以通过原点到该点的一条有向线段来描 述。该位移向量的模为线段的长度，位移向量的方向由原点指向该点，从原点 到空间该点的位移向量又称为该点的矢径，如图一所示。矢径和它的模分别表 示为： kjir ???? zyx ++= （1.1） 222 zyx ++== rr? （1.2） 对于向量的叠加，满足平行四边形法则 如图2所示 kjir ???? 1111 zyx ++= kjir ???? 2222 zyx ++= kjirrr ?????? )zz()yy()xx( 21212121 +++++=+= （1.3） 对二向量的叠加，在图象上还可以形象地看成三角法则。如图 3 所示，可 先画出处第一个向量，以这个向量的末点做为第二个向量的起点，画出第二个 向量，则从第一个向量的起点到第二个向量的末点所引的有向线段即为二个向 量r1与r2的叠加结果。 X Y x y r O z Z 图1、矢径的图形表示 Z轴 r2 r1 Y轴 x y r O z X轴 图2、向量叠加的平行四边形法则 问题：判断下述对不对？二个向量进行叠加，合成所得合向量的模一定大 于这两个向量模中的任意一个模。 同理，向量 ‘-’运算为‘+’运算的逆运算，例如空间两个点P1(x1,y1,z1) 与P2(x2,y2,z2)之间的位移向量为从点1到点2所引的一条有向线段，大小与 方向如图4所示，定量计算该两点之间的位移向量时，由三角形法则，可以确 定为两矢径r2 与r1之差 kjirrr ?????? )zz()yy()xx( 1212121212 ?+?+?=?= （1.4） 2 12 2 12 2 1212 )zz()yy()xx( ?+?+?=r ? X r1 r12 Y x y r2 O z Z 图4、向量”-”的三角形表示 该向量为 r2与 r1之差，也即 r1加上该向量等于r2 X r1 r2 Y x y r O z Z 图3、向量”+”的三角形表示 r1与r2之合，记为r 例1-1、空间x轴上取任意两点P1与P2，其 距离为d，由这两点向空间任意点p点引出两 个位移向量分别为r1与r2，求r1与r2的向量 差。 解法1：根据三角形合成法则，由图5容易看 出，P1到P2所引向量为di,P2到P点所引向量 r2 , P1到P点所引向量 r1 ，根据以上所述， => idrr ??? += 21 idrr ??? =? 21 解法2：设空间任意点p点坐标为（x、y、z）、 P 1 点、P2点坐标坐标为分别为 （x1、0、0）、（ x 2 、 0 、 0 ），由题设条件则有 x2 - x1=d 由（1.4）式： kzjyixxr ???? )0()0()( 11 ?+?+?= kzjyixxr ???? )0()0()( 22 ?+?+?= => X-axis P1 P P2 ? r1 r2 ? ? 该常向量为r1与r2之差 图5、向量差实例 idixx kzzjyyixxxxrr ?? ????? =?= ?+?+???= )( )()()]()[(- 12 2121 2、 单位向量：空间任一向量与该向量的模之比，称为该向量的单位向量。 单位向量的含义在于：单位向量的模为1，方向与该向量的指向一致。例如： 位移向量的单位向量为： 由单位向量的概念，矢径向量又可表示为： 上述的i、j、k就是沿X、Y、Z轴的单位向量。 根据单位向量的定义，任意向量都可以写成它的单位向量与该向量模的积 (1.5) 问题：单位向量是否为常向量？ 2 1 222 )( zyx kzjyix r r r rr ++ ++=== ??????? rrr ?? = ),,(),,(),,( zyxFzyxFzyxF ?? = 例题 1-2：空间一点P（1，2，3）， 由 该点到y轴引垂线，求1）垂足到P点 的位移；2）该位移的方向向量。 解：分析本题的解题关键在于找出垂足点的坐标。既然是点P（1，2，3）到Y 轴做垂线，该位移一定垂直于 Y 轴，也就意味着位移处于过垂足点且平行于 X-Z平面的平面上，如此，根据坐标的定义，可以判定，垂足点的y坐标值一 定与P点的y值相等，由于在Y轴上，垂足点的x、z坐标值均为0，设垂足 点为P1，则P1点的坐标为P1（0，2，0）。关于位移的图形表示如图6所示 该位移向量的单位向量为 10 3 10)03()22()01( )03()22()01( 222 PP PP PP 1 1 1 kikji rr rrr ????? ?? ??? += ?+?+? ?+?+?= ? ?= 问题？对X、Z轴作垂线的向量又如何表示？ 此点为P点，坐标P（1，2，3） Y轴 1 2 O 3 X轴 Z轴 图6、位移向量的图形表示 此点为垂足，坐标 P1（0，2，0） kjirrr ?????? )03()22()01( 11 PPPP ?+?+?=?= 3、 线元向量：在空间任意一路径的某一点上，任取一长度微元，线元的大 小为微元长度，方向为路径在这点的切向方向，用dl表示，如图7所示。 假设起点坐标、末点坐标分别为（x,y,z）、（ x+dx,y+dy,z+dz），则该线元坐 向量可以表示为 （1.6） 其中dx、dy以及dz分别表示线元dl末点与线元起点的坐标差。 对于一个积分路径，可以看成由无数线元构成，如图8所示 dl P2 P1 图7、线元的图示 线元dl起点 线元dl末点 P2 P1 图8、路径的线元构成 路径起点 路径末点 kdzjdyidxld ???? ++= o α dα Y轴 X轴 图10、线元示意图 该方向单位向 量为α0 例1-3、 如图9，试表示出在半径为R的圆轨道上任意一点处的线元 解 分析，在实际问题的计算时，对线元的表示应根据实际问题采取有利于计 算的表达方式，在本例，我们采用2种表达方法，1）直角坐标下的表达； 2）极坐标下的表达 第一种方法：在X-Y平面，dz = 0由定义有 jdyidxld ??? += 上式中dx和dy分别表示在圆上任意一点，其 所对应的弧角为θ+ dθ处以及弧角为θ处 两点的x坐标差和y坐标差。 由于在圆上，圆路径可用以弧度角参数方程表 示 )cossin(cossin sincos jiRdlddRdyRy dRdxRx ??? aaaaaa aaa +?=? ?? ? =?= ?=?= （1.7） 第二种方法：对于一些计算，为方便起见把圆上任意一点处的切向方向的方向 向量写成α0，如图9，在弧角为α处点的线 元又可写为 aaa ??? Rddlld == 上式，dl为弧元dα所对应的弧长 o α dα Y轴 X轴 图9、线元示意图 注意： 1) 以上给出了圆弧路径的线元表示，试问 对于过原点向外引出的任意一条射线， 线元如何表示？ )sin(cossinsin coscos jidrlddrdyRy drdxRx ??? aaaa aa +=? ?? ? =?= =?= (1.8a) 2) 路径单位向量的理解：一般而言，线元向量可以表示为： )coscos(cos)( kjidlkdldzjdldyidldxdlkdzjdyidxld ?????????? gba ++=++=++= 其中， )coscos(cos kji ??? gba ++ 为线元的单位在三个坐标方向的投影分量表述 比较（1.7）式与（1.8）式，切向线元与径向线元的单位向量是不相同的， 切 向比径向多“转”90度，故 jir ji ??? ??? aa papaa sincos )2sin(2cos += +++= 径向单位向量 切向单位向量 ）（ （1.8b） o α Y轴 X轴 图11、径向线元示意图 该方向单位向 量为r0 例 1-4、 空间一个质点，以角速度为ω匀速旋转，在空间的运动轨迹为一椭 圆。设初始时刻质点在X轴上，且椭圆的长、短半轴分别为a、b，试求质点 在任意时刻的位移、路径线元、运动速度 解：由题意：椭圆的轨迹方程为 tby tax w w sin cos = = t时刻的位移为： jtbitajyixr ????? ww sincos +=+= t时刻质点运动轨迹上，在dt微时间段上的线元向量为： dtjtbita jtbitadjdyidxrd )cossin( ]sincos[ ?? ????? ww ww +?= +=+= t时刻运动速度为： jtbitardtrdv ???? ?? ww cossin +?=== 4、面元向量: 在空间任意曲面的某一点上，任取一 面积微元，面元的大小为面积微元的面积，方向为 该面积微元在这点的法向方向，如图12所示。 ndssd ?? = （1.9） 式中，n?表示曲面在该点的法向的单位向量，面元向量还可以表示为： kdxdyjdxdzidydz kdsjdsids kdsnjdsnidsnndssd zyx ??? ??? ????? ++= ++= ++== gba coscoscos （1.8） 式中， n0x 、n0y以及n0z为法向单位向量的三个坐标投影分量。上式 dydz、dxdz 以及dxdy分别表示面元在yoz、xoz以及xoy平面的投影 注意：对曲面上的一点，法向是指过该点且垂直于该点所做的微分平面，若不 加以说明，满足这一条件的方向就有两个，如图12所示，其n0的反方向也垂 直于该点所做的微分平面，一般对于闭合曲面而言，法向一般是指外法向，即 指向曲面外部；对于非闭合曲面，则可根据实际计算情况加以定义。 n? 图12、面元的表示 sd? 例1-5、 试表示出无限大平面上任意一点的面元 解 要定量地表示出面元，要建立坐标系，如图设无限大平面上为z = 0,确 定面元有两个因素，其一为面元的大小，其二为面元的方向。对于本问题，假 设垂直于平面指向上面的方向为法向，故平面上任意一点的法向都相同， 是向上为 k 方向；面元大小，可以以直角坐标系统表示，也可以是柱坐标 系统表示，具体需要根据实际的计算确定，在本例中，分别给出面元大小 的直角坐标表示以及柱坐标表示 1）、面元的直角坐标表示, 在坐标 （x,y）点处的面元如图12所示 kdxdyndssd ??? == （1.10） 2) 面元的柱坐标表示，在坐标（r ,θ） 处面元表示如图12所示，面元表示为 kdrrdndssd ??? q== （1.11） Y n?dx 图13、面元的直角坐标图示 O X Z dy Y dθ n? O X Z dr 图14、平面面元向量的极坐标图示 θ 例1-6、试确定半径为r球面上任意一点的面元 解、如图15所示， qjq rddrds ?= sin （1.12） 其中rsinθdφ代表面元的横向弧长，rdθ代表面元的纵向弧长。由定义得 在点P（r,φ,θ）处所对应的球面面元为: nrddrsd ?? qjq ?= sin （1.13） 上式中，法向n0的方向为沿径向指向球面外部，如图13所示利用球坐标可表 示为 r rrn ??? == （1.14） n? 此弧边极其对 应右弧边弧长 为rdθ 此弧边极其对应下弧边弧长 为rsinθdφ 此处球冠半径为rsinθ θ dφ dθ Y Z o X φ 图15、球面面元向量的球坐标图示 三、向量的两种‘积’运算 1、 向量的标积：向量的标积又称为向量的点积，用符号“?”表示。空间 任意两个向量F1、F2，它们的标积定义为该两个向量大小以及它们夹角的余弦 这三者相乘的积。注意，二个向量的标积为一标 量。如图16所示，积的表示为： qcos2121 FFFF ?=? ?? （1.15） 由点积的定义可知，同方向单位向量的点积为1， 相互垂直的单位向量的点积为0，在直角坐标系下，可以写为 0 0 0 1 =?=? =?=? =?=? =?=?=? jkkj ikki ijji kkjjii ???? ???? ???? ?????? 在直角坐标系下，两个向量的点积还可以写成 zzyyxx zyxzyx kjikjiFF 212121 22211121 FFFFFF )FFF()FFF( ++= ++?++=? ???????? （1.16） 其中F1x 、F1y 、F1z分别表示向量F1的三个 坐标分量，对F2同理。 标积的物理意义理解：如图17所示, 用力F把物体沿x轴方向推动，若推动距 离（位移大小）为Dl，则力对物体做了功， 由于力的方向与物体位移方向不一致，只 Dl 图17、力做功示意图 F F X q Fx Fy q 1F ? 图16、向量的标积图示 2F ? 有沿x轴的分量Fx对物体做了功；沿y轴的分量Fy对物体没有做功，因为在y 轴的方向上，物体没有位移。根据力的分解原理Fx大小为Fx = Fcosq lFlW x ?? ??=??=? F （1.17） 上式中，Dl 为物体在力的作用下移动的位移线元，在这里方向为水平向右。 注意：1）q = 0，力与位移同方向，ΔW = FDl，此时做功最大；q = 900，力 与位移方向垂直，cosq = 0，ΔW = 0，此时虽有力，有位移，但是力 并不做功；q> 900，W<0，此时说明力沿位移的投影是在位移的反方向， 或者说位移沿力的方向投影在力的反方向；q=1800，ΔW = -FDl，这说 明方向积分与正向积分相差一个负号。从物理意义上讲，做功为负，说 明此时力是对物体位置的移动起阻碍作用，做负功，也许同学会问，力 对物体的移动起反作用，物体怎么会移动？有两种可能，其一、此时物 体有沿位移移动的速度，其二、有其他力支持物体的向右移动。 2）在对以上向量点积进行分析时，我们是把力 F 投影到位移方向进行 计算的，即力投影大小为 Fcosq，与位移大小Dl 相乘；（ 1.17）式也可 以理解为线元Dl 沿力方向的投影，为Dl cosq，与力的大小F 相乘，结 果均为FcosqDl。 例1-7、某一向量场，其空间函数关系为: 2 3 2220 )zy(x kzjyix 4 1z)y,(x,E ++ ++= ???? pe ，试求该向量场的路径积分，选取路径： 1）沿X轴方向，起点、末点坐标分别为（0，0，0）、（ 1 ， 0 ， 0 ）； 2 ）沿空间 任一路径由P1( x1, y1, z1 )点到P2( x2, y2, z2 )点场的路径积分 解、分析：什么是路径积分微元？什么是路径积分？ 路径积分微元就是指在给定的路径上任意点处的线元与该点的场向量的点积。 在本例中，在如图路径上为，在P( x, y, z )处路径积分微元表示为 （1.18） 路径积分是指从路径起点到末点，把路径剖分为无数个线元，这样就构成 了无数个路径积分微元，把这无数个路径积分微元相加，所得结果即为整个路 径上的路径积分，表示为 （1.19） r1 ? 积分起点P1 路径上任意 点 P( x, y, z )处线元dl o z x y 图18、场的路径积分 ? 积分末点P2 r2 P(1,0,0) P(2,0,0) ldE ?? ? ∫ ? ldE ?? 1）代入具体表达结果 2）对于任意路径 212 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1111 222212 3 222 2 1 2 3 222 2222 1 2 3 2 22 2 1 2 3 222 2 1 2 3 222 2 1 11 )( 1 )( 1 ),,( ),,()( 123 1 2 1 )( )( 2 1 )( )( )()( rrzyxzyx zyxP zyxPzyx zyx zyxd zyx zdzydyxdx kdzjdyidx zyx kzjyixld zyx kzjyixldE P P P P P P P P P P ?= ++ ? ++ = ++ +? = ++ ++= ++ ++= ++? ++ ++=? ++ ++=? +? ∫∫ ∫∫∫ ??? ????????? （1.20） 讨论：1）由（1.20）式可见，E(x, y, z)场的路径积分和路径无关，只和起点和 末点到坐标原点的位移大小有关。也即假设由P1( x1, y1, z1 )点到P2( x2, y2, z2 )点引两条不同的路径，在路径积分过程中，虽处处场和线元不同，但 是整体积分结果完全相同，也即积分只和起始点P1和末点P2位置有关， 是位置的函数。E(x, y, z)是是描述电场的电场强度，则路径积分可以看作 单位电荷在电场力的作用下移动时电场力所做的功，不同路径积分结果相 同，便是“异曲同工”。在《电路分析》实验课里，同学们都知道：对两 2 1 2 1 1 1 1 21 )( )( 2 1 2 3 222 002 )001 )0,0,2( )0,0,1( =?=?= ++ = ++= ∫ ∫∫ ? xdxzyx x dzEdyEdxEldE zy),,( ,,( x ?? 点或两导线之间的电压进行测量时，由电压表所引出的两根接线分别接入 两待测量点，测量时我们从不关心这两根接线在空间的形态，为什么？根 据电磁场原理，在电场中空间两点电压就是电场强度沿这两点间任意路径 的路径积分。这一积分和路径无关，所以随意挪动两根接线在空间的路径 以改变其路径形态，电压表的读数一定不会发生变化；若发生变化，电压 表就不会存在，因为电压的概念不会存在，今天的所有与电有关的一切统 统不会存在。 2）上述积分是在直角坐标系下进行的，同样对该积分问题可以在球坐标 系下进行，且运算过程更为简便: 在进行路径积分E(x, y, z) ? dl运算时，可以看成线元沿场方向进行投影。 由场强的表达式可以看出，空间任意点处的场方向与该点矢径同方向影，路径 上任意点r处线元沿矢径方向线元投影为 drrlrlrrlE 222 1cos11 =?=??=?? q???? （1.21） （1.21）式具有普遍含义，如图 19 所示，在 r 初邻近 rx处，其路径上 rx 处沿矢径方向线元投影为 drx，虽然 r 、rx 方向不一致，但是路径积分微 元半径大小有关，故可以直接进行积分 3 2 3 222 )( )( rr zyx kzjyixrE ?????? = ++ ++= 2112 2 11)11(11)( 2 1 2 1 2 1 rrrrr ddrrldrE r r r r P P ?=??=?==? ∫∫∫ ??? Y q dr r2 r r1 rx 图19、位移沿场方向投影示意 Z X o dr x 蓝色实线标识的向量 表示是红色标识的线 元在径向方向的投影 3）路径积分的不同表述：由P1点到P2点的两条路径假设分别为τ1、τ2， 则不同路径环量积分相同可表示为 ldEldE ???? ?=? ∫∫ 21 tt （1.22） 若把路径τ2 积分方向反转（以–τ2表示积分路径反转以后的积分路径）， 即由 P2 点到 P1 点沿路径τ2 进行环量积分，由于路径上处处场量不变，但是每一处线元 方向与原线元方向相反，故每一处线元与场量夹角较之于原夹角q为π– q，由三角 函数公式cos（π– q）= –cos q，积分路径反转以后较之原来路径积分元，点积时处 处相差一个符号，故整体积分较之于原路径相差一个符号 ldEldEldEldE ???????? ??=????=? ∫∫∫∫ ?? 2122 tttt 移项得 0021 =??=?+? ∫∫∫ ? ldEldEldE ?????? ttt （1.23） （1.23）式表明，这里所讨论的场E(x, y, z)具有任意环路积分一定为零， 在电磁场中，电场强度就满足这种特征。 路径–τ2 P1 ? ? ? ? 图20、（ a）两点之间的两条路径 （b）、环路积分 路径τ1 路径τ2 P2 2F ? q F? 图21、向量的叉积图示 21 FFF ??? ×= 此方向为 1F ? 与 2F ? 叉积方向 2、 向量的叉积：向量的叉积又称为向量的矢积，用符号“·”表示， 两向量 F1与 F2的叉积，满足右手螺旋法则，如图 21 所示，伸出右手，使四 指与大拇指垂直，先四指指向 F1的方向，再四指由 F1转向 F2，此时大拇指 的指向即为F1与F2的叉积方向，用F表示，叉积向量的大小为该两向量的模 与该两向量夹角的正弦积。如图 21 所示，大小为 qsinFFF 21==F? （1.24） 注意：F1与 F2叉积所得的向量 F， 既垂直于F1又垂直于F2，当然就垂 直于F1与F2所决定的平面。在直角 坐标系i、j、k单位向量之间的叉 积关系为： 由此，F1与F2的叉积可表示为： kji ijikjk kjikjiFFF ??? ?????? ????????? )FFFF()FFFF()FFFF( FFFFFFFFFFFF )FFF()FFF( 2X1y2y1X2z1X2X1z2y1z2z1y 2y1z2X1z2z1y2X1y2z1X2y1X 2z2y2X1z1y1X21 ?+?+?= ?++??= ++×++=×= 注意：在上式推导中，根据叉积定义，依次例推。上述两向量叉积所得的向 ijkkj jikki kijji kkjjii ????? ????? ????? ?????? =×?=× ?=×?=× =×?=× =×=×=× 0 X Z Y 量还可以表达成更为简洁的形式： （1.25） 例1-8、如图 22，一刚体可以绕转动轴旋转，有一力F作用于其边缘，且从转 动轴o到F的位移为r，求力产生的力矩 解：设用M表示力矩，由定义得 FrM ??? ×= M的方向为如图22向上，即为：四指由r 方向转向F时，大拇指的指向， M的大小为rFsinq 评注：圆弧的切向可以用叉积表示如下，试比较（1.26与） jijkikjikrk ???????????? aaaaaaa cossinsincos)sin(cos +?=×+×=+×=×= (1.26) 图23、以叉积表述的切向 Y O X Z 切向a? 径向r? k? 图22、力矩示意图 q F?r? k? FFF FFF 222 21 111 zyx zyx kji FFF ??? ??? =×= 四、标量场的梯度 1、问题的提出：若考查空间某一区域各处的温度，以 T（x,y,z）或者以 T（P） 表示域中某点P处的温度，那么我们就说，在域中构成了一个温度场T。对于 温度场而言，我们关心两个问题，第一、域中处处的温度大小；第二、对于域 中某点P，我们关心在这点温度变化在哪个方向上最大？对于所提出的问题， 最原始的方法是，用温度计进行逐点测量，能够确定域中处处的温度；对于第 二个问题，采取的方法是以 P 点为球心，以一小长度Dl（设Dl=10-1cm）为半 径做一球面，测量出球面各点温度， 假设其中变化幅度最大值就在上述所列 之中，那么各点温度及其变化DTi = T（Pi）- T（P）分别为-0.002 0C、-0. 004… 如下表所示： T（P） T（P1） T（P2） T（P3、） T（P4） T（P5） 10 （0C） 9.998 9.996 9.994 10.05 10. 007 温差：DTi（0C） -0.002 -0. 004 -0.006 0. 005 0. 007 变化率：DTi/Dl（0C/m） -2 -4 -6 5 7 由此得出结论，温度沿P5方向变化最大,如图24。由此，我们将引出梯度的概 念。 2、梯度概念的引入：梯度是描述标量场的一 个向量，对于某一标量场而言，在场中某点的 梯度，其大小为标量场在这点的最大变化率， 方向指向场量变化最快的方向。 例如在上述温度场中，P点的梯度大小为7， 方向为由P点指向P5点。 P3 P2 P1 P(x,y,z) ? P4 P5 图24、梯度概念示意图 ? ? ? ? ? 3、标量函数场的梯度公式：若某一标量场的函数关系已经确定，为 T=T(x,y,z)， 那么如何确定标量场在域中任意点的梯度？（假设该点坐标为P(x, y,z)） 第一讲课后作业： ①、试证明向量公式： )()()( ABCCABCBA ????????? ×??=×??=×? ②、已知置于Z轴的一根长直导线，通有电流I，沿轴向流动，那么它在周围 所产生的磁感应强度为 rrB ? ? 1 2 0 p m= ，，其中r为空间任意点到Z轴的距离，在 X-Y 平面上，求1）圆心在坐标原点，半径为r的圆路径上的环路积分；2） 包围 电流线的任意闭合路径环路积分。