第三讲、静电场（Ⅰ） §1.1电场强度§1.2电位§1.3导体和电介质§1.4高斯通量定理 一、 电场强度 1、库仑定律：真空中点电荷之间存在一种特殊的力的作用，称为库 仑力，若有两个点电荷，电量分别为q1、q2，距离为r，力与距离平方 成反比，与电量之积成正比 2 21 04 1 r qqF pe= （3.1） 0e = 910 36 1 ?× p （F/m） ① 力的坐标系下向量表示, q1受到的q2的 力的作用 12 12 0 21 2 21 0 21 44 1 rr rrqqr r qqF ? ?== ? ???? pepe （3.2a） ② 同样，q2受到的q1的力的作用 21 21 0 21 2 21 0 1221 44 1 rr rrqqr r qqFF ? ?==?= ? ????? pepe （3.2b） ③、多电荷系统中（具有n个电荷），某电荷qm受力为其他电荷对它 的作用力，须逐个求‘合’ ∑ ≠= ? ?== n mkk km kmkm m rr rrqqF ,1 04 ?? ??? pe （3.3） 注意：1）电场力方向q1q2>0,同号相斥，q1q2<0,异号相吸。 2）个电荷无限靠近，力无限大，如何理解？规律皆有线度，点 电荷本身就是一种数学抽象；电磁规律是宏观规律，电磁规律 又称为宏观电磁规律。 3）库仑力是如何作用（传递）的？ 2r ? 0 1r ? 12 rr ?? ?q1 q2 图3.1 2、电场概念的引入：思维方式分为逻辑思维和形象思维，科学是一 种逻辑思维，力的传递无外乎直接与间接，既然电荷之间是空间，由 此可以推断电荷周围一定存在一种特殊的媒介物质，起到传递电场力 的作用。这种特殊物质称为电场。 注意：引入电场之后，电荷间的作用力称作为电场力。 问题？以上给出了电场的概念，电场是一种抽象物质，如何描述？ 3、电场描述物理量之一：电场强度。电场是描述电场力的属性的物 理量，在电场中某处，电场强度的大小数值上等于将微量检验点电荷 置于该处时检验电荷所受电场力与它的电量之比。电场强度的方向沿 着检验电荷受力的方向。 tq zyxFzyxE ),,(),,( ?? = （3.4） 注意：1）电场强度是描述电场的物理量，与检验电荷的大小、存在 与否无关。 2）电场强度能够描述电场的能的属性，因为 EqF ?? = 3）注意体会提法含义：“电荷受到的电场力”及“电场中某处的电场 强度” 问题：点电荷在空间产生的电场强度如何计算？ q2 q1 图3.2 电荷激发电场 ① 如图3.3所示，点电荷q在空间任意点产生的 电场强度为 3 0 2 0 2 0 44 14 1 ),,( rrqrrqq rrqq q FzyxE t t t qt ????? pepe pe ==== （3.5a） 如图3.4在坐标系下，还可以写成 3 04 ))()(,,( rr rrqrEzyxE ′? ′?= ?? ????? pe或写成 （3.5b） 由叠加原理， n个点电荷在空间位置为r1 、r2…rn 在空间r处所产生的‘合’场强为 ∑ = ? ?= n k k kk rr rrqzyxE 1 3 04 ),,( ?? ??? pe （3.5c） 问题：连续分布电荷系统在空间在空间产生的电场强度如何表达？ 思路是将空间连续分布电荷体进行空间剖分，剖分成空间元，元内的 电荷为dq，只要空间元非常小，可以近视认为集中于一点上，这样将 连续分布情况转化为点电荷分布情况，设空间元的电荷分布分别为 体、面、线分布，则 ?? ??? ′ ′= 时空间电荷分布为线分布 时空间电荷分布为面分布 时空间电荷分布为体分布 ld sd dv dq t s r ' 利用（3.5c） 3 0 3 0 1 3 00 ' 4 1 4 4 lim),,( rr rr ld sd dv rr rrdq rr rrdqzyxE n k k k dq ′? ′?? ?? ??? ′ ′= ′? ′?= ′? ′?= ∫ ∑ =→ ?? ?? ?? ?? ?? ??? t s r pepe pe （3.5d） P(x,y,z) r? 0 r ′? rr ′? ??q 图3.4a P(x,y,z) r? q 图3.3 O r￠ r 该向量为r - r￠ 图3.4b 连续分布的离散化 Z dq=tdl z￠ r dz￠ P(x,y,z) Y x y z 图3.5 建立求解坐标系 X a ② 算例:例题3-1、电荷均匀分布于空间一根长直线， 线密度为τ， 求空间电场强度分布 解：解题思路，这是一个典型的已知‘源’求‘场’的积分问题。一 般情况下，解题分三大步骤 A、根据实际问题，建立坐标系。对本问题，以长直线为 Z 轴，建立 坐标系；在图中标出相关量，形成解题草图，以便于思维，如图3.5 所示 B、在坐标系下表达出元分布所产生的 电场强度 3 0 3 0 44 rr rrdl rr rrdqEd ′? ′?= ′? ′?= ?? ?? ?? ??? pe t pe C、统一变量，代入积分上下限， 定量得出结果 ∫ ∞+∞? ′?+′?+′? ′?+′?+′?′= 2 3 2220 ])()()[( )()()( 4),,( zzyyxx kzzjyyixxzdzyxE ???? pe t a a a a yx jyix zzyx zz yx jyix zd zzyx jyix ???? ?? ?? 0 2 0 22 0 2 1 222 22 0 2 3 2220 222 ])([4 ])([4 pe t pe t pe t pe t pe t ==++= ∞? ∞+ ′?++ ?′ + += ′ ′?++ += ∫ ∞+ ∞? （3.6） 注意：1）积分是对源点坐标积分， 场点坐标当作常量；2）作业或考试时，教科书上一些计算结果，一 般不做特殊说明，可以当作公式使用。 不定积分数学知识 2 1 22 2 2 3 22 )( 1 )( ax x aax dx + = + ∫ 例题3-2（课本习题1-6）真空中有一半径为R的无限长中空半圆柱 面，均匀地带有面电荷密度为s0的电荷。求（1）半轴线上的电场强 度。（2）应用（1）的结果，求体密度为r0的带电半圆柱轴线上的电 场强度。 解：1) 解题分析，对于无限长中空半圆柱面，可以看做由许多线条 构成，若线条无穷细，就可以看做一条条线，对于单根线在空间产生 的场强已经由上例（3.6）式给出；无数条线的叠加即得到半柱面的 场强 根据以上解题思路，要利用（3.6）式解题，求解的关键在于找出电 荷分布的线密度。在q处，先假设线条的长度为 l 所对应的线条对应 的面积为dS=lRdq，那么该线条所对应的线密度为 iiEEddEE R RddEdERd l lRd l dq y ??? 0 0 0 02 0 0 0 0 0 0 sin sin22 pe s pe sq p qs qpe qsqsqst p ==?===? ==?=== ∫∫ （3.7） 2)、半圆柱体分布情形，可以看成是由一层层薄面构成，单层面的结 果如上，则求解的关键在于找出薄面的面密度 iRidrEdrdEdrlr drlr R ??? 0 0 0 0 0 0 0 0 0 pe r pe r pe rr p prs ∫ ==?=?= ? ??= （3.8） 问题：一般意义下，线密度与面密度以及面密度与体密度的关系如 何？意义何在？ q q 图3.6 面积分的线积分处理 线条对应的狐角dq X 问题：1）场强只能够描述场的力的属性，不够完备；由于电场是保 守场，还应该引入描述场的能的属性，事实上能量是一个非常普遍的 物理量。2）学习引力场时，有重力势能；学习弹力时有弹性势能等 等，电场又有什么量来描述场的能的特性？ 二、 电位 1、电位概念的引入 考察某电荷在电场中移动，电场力做 功的情况 ∫∫ ?==??=?= BABA ldEqdAAldEqldfdA ?????? 积分结果与路径无关，这一积分结果 称为电场中A、B两点的电位差，又称为 该两点的电压 ∫∫ ?=== BABAAB ldEdAqAU ?? (3.9) ①、电压与路径积分无关，能够反映出场的属性，（ 3.9）式能够引入 电压，其实（1.23）式所表达的物理本质完全相同，反映出电场的基 本拓扑特征。 0 0 =×? =?∫ E ldE ? ?? （3.10） ②、电位，空间任意两点的电压又称为电位差。 ∫ ?=? BA ldEBA ??)()( jj （3.11） 若选择空间某点为零点位参考点，例如Q点，则任意点（P点）电位 为 ∫ ?= QA ldEP ??)(j （3.12a） 一般，将无限远处规定为零电位参考点，则电位写为 某一路径起点A 某一路径端点B 图3.7 电场做功路径图 ∫∞ ?= P ldEP ??)(j （3.12b） 2、电位的计算 ①、 点电荷电位的计算，取无穷远为零电位参考点 则空间任意点距点电荷为r处电位的计算公式为 r qdr r qldEr PP 1 4 1 4)( 020 pepej ∫∫ ∞∞ =?=?=?? (3.13a) 在坐标系下，设点电荷处于r￠ 处，它在空间所r处所产生的电位为 rr qr ?? ′?= 1 4)( 0pej (3.13b) ②、 n 个点电荷在空间位置为r1 、r2…rn，在空间r处所产生的‘和’ 电位为 ∑ = ? = n k k k rr qr 1 0 1 4)( ?? ? pej (3.14) 问题：连续分布电荷系统在空间在空间产生的电场强度如何表达？ 思路是将空间连续分布电荷体进行空间剖分，剖分成空间元，元内的 电荷为dq，只要空间元非常小，可以近视认为集中于一点上，这样将 连续分布情况转化为点电荷分布情况， 利用（3.14）式 rrld sd dv rr dq rr dqzyx n k kdq ′??? ? ??? ′ ′=′?= ′?= ∫ ∑ =→ ???? ?? 1' 4 11 4 1 4 lim),,( 00 1 00 t s r pepe pej （3.15） 问题：引入电位，能够描述电场的能的特性，如何理解？ 对于某种电荷分布，若空间电位分布已知，那么将点电荷q从无限远 移到场中r处，外力做功为 P(x,y,z) r q 图3.8 )(rqW ?j= （3.16） （3.16）式也可以理解为在电场中，将一个外来电荷从r处移到无穷 远处时，电场力所做的功。同样，场中两点A、B的电位差为UAB，电 场力将一电荷q从A移到B时，电场力做的功为 ABqUW = （3.17） 评注：电 路分析中，通电电流为I，则t时间通过电量为q=It, W= ItU= IUt 问题：既然电场强度与电位都是描述电场的物理量，它们的关系如 何？ 3、电场强度与电位的关系 在第二讲例2-1中，我们通过给出点电荷所产生的电场与电位梯度相 比较说明了电场与电位的负梯度关系，这里给出严格的证明，由 （3.15）式 ∫∫ ′??=??′?= rrdvzyxrrdvzyx ???? 14 '),,(14 '),,( 00 pe rj pe rj 对于 2 3 222 2 3 222 2 1 222 ])()()[( )(2 ])()()[( 1) 2 1(1 ])()()[( 11 zzyyxx xxi xx zzyyxx irrxi zzyyxxrr ′?+′?+′? ′??= ′?? ′?+′?+′? ??=′???? ′?+′?+′? =′? ? ? ?? ? ?? 2 3 222 ])()()[( )()()(1)(1 zzyyxx kzzjyyixx rrzkyjxirr ′?+′?+′? ′?+′?+′??= ′?? ?+ ? ?+ ? ?= ′?? ??? ?? ??? ?? 3 2 3 222 ])()()[( )()()( 1)(1 rr rr zzyyxx kzzjyyixx rrzkyjxirr ′? ′??= ′?+′?+′? ′?+′?+′??= ′?? ?+ ? ?+ ? ?= ′?? ?? ????? ?? ??? ?? 比较（3.5d）， 故 得 jperj ??=?=′ ? ′??=? ∫ EorE rr rrdvzyx ?? ?? ?? 3 04 '),,( （3.18） 评注：1）电位是标量，便于计算，在电磁场问题中，通常是以电位 为计算目标，知道电位，电场强度的计算迎刃而解。 2）电位参考点的选取与E无关。 （j+C）= j =E 3）电场强度的方向是电位下降最大的方向（增加最大的反方向） 问题：在电场中，场强为零的地方，电位是否为零？ 问题：真空中，那些方程是基本的基本方程？（2.14b ）与（3.10） 分别写成以下的（1）和（2）的积分和微分形式 问题：既然电磁场的问题是否到此就了结？ ) 2 ( 0 ) 1 ( ) 2 ( 0 ) 1 ( 0 0 0 ′ = × ? ′ = ? ? = ? ? = ? = = ? ? = ? ∫ ∫ ∫ ∫ E D E l d E dV q dV E S d E V V S ? ? ? ? ? ? ? ? r e e r e 三、导体和电介质 1、物体的电分类 2、导体的静电平衡特征 在外场中，导体内部的自由电子将逆 电力线运动，形成附加电场，此时导 体内部的总电场为外电场与附加电场 的合，当导体最后达到了静电平衡以后 ，总电场一定为零 0=+= 附加外 EEE ??? （3.19） 处于静电平衡状态的导体具有如下电特征 注意：1、导体是等位体，导体内部电位处处相等；2、静电平衡时， 什么只有法向分量？3、静电平衡时，导体表面有电荷面密度，导体 内部体密度？4、导体面密度与该处电场法成正比关系，比例系数为 真空中的介电常数 导体: 导体内部存在大量可以移动的自由电子 电介质：自由电子受到原子核的束缚，不能自由移动 0: =∈ ）（ rEVr ??? nErESr n ?: =∈ ）（ ??? CrSVr =∈ ）（ ?? j:or 0: =∈ ）（ rVr ?? r 0,: 0 ==∈ tn EErSr es ）（ ?? （3.20） 红线表示附加电场 外电场，蓝线表示 图3.9 导体中的电场 评注：静电平衡是理解静电屏蔽的物理基础 3、电介质的极化 A、电介质极化机理：电介子内部原子核对核外电子具有强大的束缚 力，核外电子不能够自由移动；电子虽不能够自由移动，但是多少能 够在逆外场方向有移动 B、电偶极矩（电矩）： p = qd 例题3-3, 求如图3.10所示,在Z轴上的电偶极子的电场 21 12 0210 4 )11(4 rr rrqrrq ?=?= pepej 当P点距离电偶极子很远时，r1、r、r2近乎平行 )21.3(414 cos cos, 2 0 2 0 12 2 12 r rp r qd drrrrr ??? ==? ???? pepe qj q d - + +q r r2 d - q 图3.10 电偶极子的电场 P r1 θ r d -q +q 图3.11 偶极子电场的计算 P r1 r2 )22.3(sincos24 ]sin11)2([4cos )sin11( 3 0 23 0 ）（ 利用 qqqpe qa pe q jaqaqqj ?+?= ??+???=? ? ?+ ? ?+ ? ??=??= ?? ??? ???? rrqd rrrr qdE rrrrE 问题：极化电荷不可测量，那么无数微观偶极子产生的电场构成了一 个宏观的附加电场，极化与电场强度有什么关系？如何描述？ 等位线族 电力线 3.12、偶极子场线图 C、极化强度：极化强度是一个宏观量，它能够描述介质的极化强弱 程度 V pLimP V ?= ∑ →? ?? 0 （3.23） 极化形成以后，介质中某点的极化强度数值上等于在该点单位体积的 电偶极矩。一般，对各相同性的线性介质，极化强度与电场强度成正 比 EP ?? 0ce= （3.24） c称为介质的极化率 问题：如何通过极化强度计算极化电场？ D、极化电场、极化电荷体密度与面密度 电荷激发电场，通过电荷的体密度、面密度，可以求得电荷激发的电 场 VdrrrPrrrrrrr rr rr rr rr VdrPr V V ′′??′′=?′???=′??′=′ ? ′? ′? ′? ′? ′′= ∫ ∫ ′ ? ?′ ?? ?? ?????? ?? ? ?? ?? ?? ?? 1)( 4 1)(11 )( 4 1)( 0 3 2 0 pej pej 根据向量恒等式 ∫∫ ∫ ′ ? ′ ? ′ ? ?? ′′? ′??′′? ′?= ′ ? ? ? ? ? ? ′? ′??′?′??=? ???=? VV V Vdrr rPVdrr rP VdrPrrrPrrr FFF ?? ? ?? ? ? ?? ? ??? ???? )( 4 1))(( 4 1 )(1)](1[4 1)( )( 00 0 pepe pej jjj ∫∫ ∫∫ ′ ? ? ?? ′′? ′??′? ′=? ′?= VS VS Vdrr rPSdrr rPr VdFSdF ?? ?? ?? ?? ???? )( 4 1)( 4 1)( 00 pepe j ? ? ? ??= =? ? ? P nP ??? r s 名词解释：何谓击穿场强？材料在电场中极化。但是当外场大到一定 程度时，原子外层的电荷挣脱束缚，电介质失去它的绝缘性能，被击 穿。例如空气的击穿场强为300万v/m。 问题？对于线性电介质，在外场中如何计算场强分布？ 四、 高斯通量定理 1、高斯通量定理的推导 00 321 00 P , 321 321 ee sr ee ∫∫ ∫ ?? ==? ∫∫ += +==? ??? ??+ ?= s s p p s Sdqq SdE q qqqq qqqSdE dSSSSSdVp VVVV p ?? ?? ?? 总 )36.3( )35.3( )( 0 000 0 qSdD EE EEPED qSdPE s r s =? == +=+= =?+ ∫ ∫ ?? ?? ???? ?? eee ceee e ∫?= ∫?=∫ ??? ?????? ? ?? 321 321321 SSSS VVVVVVVV SdP PdVdV p ?? r 积分闭合面S 红箭头表示单连 通域外法向S- 评注：1）er=1,真空，一般情况，er >1。 2)对静电场的规律给出了一个严格的、普遍的表述。 3）对称分布电荷，利用高斯定律能够给解题带来方便。 第三讲课后作业： P83页：①、1-3 ②、1-7 P84页：③、1-15