第十五讲、平面电磁波之一 §6-1、理想介质中的均匀平面波 §6-2、波的极化 §6-3、导电媒质中的均匀平面波 一、理想介质中的均匀平面 1、理想介质中的场方程以及方程的解 对于上述方程，通过代入，可以得到如下直接关于电场强度或磁场强 度的方程 2、平面波的场方程 由（15.1）、（ 15.2）式可见，电场、磁场均满足波动方程。对于距离 波源较远处，空间电磁波的传播方向可以看成是沿同一方向传播的； 由辐射场的原理，我们知道，空间电场与磁场方向相互垂直,且电场 与磁场的叉积方向为能量传播的方向，故此可以断定空间电场方向为 一确定方向，磁场也为一确定方向，两者相互垂直。假设电场为Y方 向，磁场设为Z方向，那么，可以将电场与磁场写成为 00 00 =???=?? =???=?? ? ?=×?? ? ?=×? ? ??=×?? ? ??=×? ED HB t EH t DH t HE t BE ?? ?? ???? ???? e m velocitynoipropagatwavecalledisvhere t H vHort HH t E vEort EE t HHH t HE tH t EEE t EH tE ,1, )2.15(010 )1.15(010 )()( )()( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 me me me memee memem = =????=???? =????=???? ? ??=?????? ? ??=×? ? ?=×?×? ? ??=?????? ? ??=×? ? ??=×?×? ???? ???? ?????? ?????? 这样以来，那么波的传播方向一定沿X方向，这也就意味着H、E各 自满足一维波动方程，其通解为 上式中，E+(t-x/v)、E- (t+x/v)分别表示沿X方向的或沿-X方向传播 的行波，分别称之为入射波和反射波。 在实际求解过程中，对于（15.5）、（ 15.6）只要知道其一，便可通过 场方程求得另外一个，例如若为入射波，则 同理，若为反射波，则 )4.15(? )3.15(? kHH jEE z y = = ? ? )6.15()()(),(1 )5.15()()(),(1 2 2 22 2 2 2 22 2 v xtE v xtHtxH t H vx H v xtE v xtEtxE t E vx E zzz zz yyy yy ++?=???=?? ++?=???=?? ?+ ?+ )7.15(:, 11 0 0 e m m e m e m e emm ===? ′=′????=???=?? + +++ ++ +++ ZhereZEHorEH EHxExEtH y zyz yz yyz 0Z EEH y yz ? ?? ′?=′?=′ m e Z X Y 3、平面波的能量与能流 不论对于入射波或反射平面波，由第5章关于远场的波印亭向量以及 场能量关系，容易得到 ? ? ? ? ? ? ? ′?===×= ′===×= ==′+′=′? ′===′ ? ????? + +++++ ++ ++ ivZ txEitxHtxEktxHjtxES ivZ txEitxHtxEktxHjtxES txHtxE txHtxE y zyzy y zyzy zyme mzye ?),(?),(),(?),(?),( ?),(?),(),(?),(?),( ),(),( ),(21),(21 0 2 0 2 22 22 w w mewww wmew ? ? 由上式可以看出，入射波的能流与入射波的传播方向也相同，反射波 的能流与反射波的传播方向也相同，但入射波传播方向与反射波传播 方向相反 4、频域条件下理想介质的场方程 工程常见的是场量随时间做正弦变化的情况，也即场源是以一定频率 随时间做正弦变化 ?? ??? ?= += ? ??? ??? ? Γ=?? Γ=?? ? ==Γ ??? ??? ? =??=?? =??=?? ? ?? ? ? ?? ? ? ? =?? =?? =×? ?=×? +??+ +??+ )(1 )()( )()( 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xj z xj zz xj y xj yy z z y y z zz y yy eHeHZH eEeEE HxH ExE jjdefine HjtHvjxH EjtEvjxE H E EjH HjE bb bb mewb meww mewwwe wm ??? ??? ?? ?? ?? ?? ???? ???? 算例：设有一频率为300MHz、电场强度最大值为0.1v/m的均匀平面 波在水中传播，已知水的相对磁导率为1，相对介电常数为78，且设 水为理想介质。设水面的电场强度初始值为零，且水在x方向可看作 伸展到无限远。写出水中电场强度和磁场强度的瞬时表达式。 解： 根据以上相关参数，以及平面波的特性，得到水中电场和磁场的瞬时 表达式 )(7.42781120 )/(5.552 )(113.010300 1034.0 )/(1034.0781 103 0 0 0 6 8 8 8 ?==== == =××=== ×=××== pememem l pb l em r r rr Z mrad mfvTv smcv o V 图15.1瞬态电磁波的传播以及空间场分布 y z x )5.55106sin(1034.2),(),( )5.55106sin(1.0),( 83 0 8 xtZ txEtxH xttxE y z y ?××== ?×= ? p p 二、波的极化 1、什么是波的极化？若干个同频率、同方向传播的电磁波在空间叠 加，在垂直传播方向上所得总的电场强度，其端点将构成不同的轨迹。 这种特性称为极化。根据分类，可以将波的极化分为三种情况 2、极化的数学描述。从物理本质上说，在垂直传播方向上的平面里 若干同频电磁波叠加的总电场强度场还是一个向量。该电场强度在平 面上分解为相互垂直的两个分量。 ①、直线极化。一般来说这两个分量振幅不等的，假设相位相同 在X=0处，该向量为 如图所示，电场强度随 时间变化的轨迹为一直 线。 ①、直线：在垂直传播方向上的平面里向量轨迹为一直线。 ②、椭圆：在垂直传播方向上的平面里向量轨迹为一椭圆。 ③、圆：在垂直传播方向上的平面里向量轨迹为一圆。 y mE1 mE2 m? z 2 11 m m E Etg?=Ψ o 图15.2直线极化 )sin(),( )sin(),( 2 1 xtEtxE xtEtxE mz my bw bw ?= ?= ?? ??? += +=? ?? ? = = mtEE ktEjtEE tEtE tEtE mm mm mz my ?)sin( ?)sin(?)sin( )sin(),0( )sin(),0( 2212 21 2 1 w ww w w ? ②、假设电场强度的两个分量相位不相同，假设相差900 在X=0处，该向量为 如图所示，电场强度这一向量末端 随时间变化的轨迹为一直线。这种 成为椭圆极化波。 特例：若E1m=E2m，椭圆极化就 变成了圆极化，如图15.4所示 名词解释：左旋极化与右旋极化。 对于上述的圆极化而言： 若t=0瞬间，Ey=0，E=E1mk 当t=T/4时，Ez=0，E=E2mk，如图15.5、15.6所示，这种波称为左 极化波，以X轴表示波的传播方向，则电场强度向量末点随时间在轨 迹上沿左手法则运动；反之亦然。 波的极化在天线工程中有着广泛的应用 ?? ??? =+ += ? ?? ? = = 1 ?)cos(?)sin( )cos(),0( )sin(),0( 22 2 12 2 21 2 1 m z m y mm mz my E E E E ktEjtEE tEtE tEtE ww w w ? )cos()90sin(),( )sin(),( 2 0 2 1 xtExtEtxE xtEtxE mmz my bwbw bw ?=+?= ?= Z mE1 mE2 Y o 图15.3椭圆极化 Z mE1 mE2 Y o 图15.4圆极化 Z mE Y 图15.5左旋极化波 mE Y 图15.6左旋极化波 Z 三、导电媒质中的均匀平面波 1、导电媒质中的场方程以及方程 对于上述方程，之所以有电荷体密度，是因为电流密度（δ=γE）存 在。但是由于导电媒质的时间常数τ=ε/γ远小于1，故导电媒质中 的自由电荷衰减得非常快，通常认为自由电荷密度为零。 由此， 便得到导电媒质 中 场方程为 根据以上同样的道理，可得关于导电媒质中的电磁场基本方程为 )9.15(0 )8.15(0 )( )( 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 =??????? =??????? ? ?? ? ??=???×? ? ?+×?=×?×? ? ?? ? ??=???×? ? ??=×?×? t H t HH t E t EE t H t HHE tEH t E t EEH tE ??? ??? ?????? ????? emgm memg emgmeg memgm e rr egg m =???=?? =???=?? ? ?+=×?? ? ?+=×? ? ??=×?? ? ??=×? ED HB t EEH t DEH t HE t BE ?? ?? ?????? ???? 00 te g r rregreeg rgrd tt c ee ttE tEt ?? ==? =??+?=??+??? =??+???=??+?? 00)( 0)(0 ? ?? 0 0 =?? =?? ? ?+=×?? ? ?+=×? ? ??=×?? ? ??=×? E H t EEH t DEH t HE t BE ? ? ?????? ???? egg m 2、频域条件下导电媒质的场方程 上式中ε′称为导电媒质中的等效介电常数, ε′中的由于虚部的 存在，就会产生热耗。定义一个量称为损耗角以描述媒质的热耗程度 we gq g =tg 如此有衰减的的波动方程的向量表示为 对于平面电磁波为一维问题，假设电场为Y方向，磁场设为Z方向， 那么，可以将电场与磁场写成为 ? ? ? ? ? ? ? ?=′ ′=+=×? ?=×? ? ?? ? ? ?? ? ? ? =?? =?? +=×? ?=×? )1( )( 0 0 we gee ewweg wm weg wm jdefine EjEjH HjE H E EjEH HjE ?????? ???? ?? ?? ?????? ???? ?? ??? ′=? ′=? HjH EjE ???? ???? 22 22 )( )( emw emw ?? ??? ?= += ? ??? ??? ? Γ′=?? Γ′=?? ? ′=′=Γ′ ??? ??? ? ′=?? ′==?? ′+?′?+ ′+?′?+ )(1 )( )( 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xj z xj zz xj y xj yy z z y y z z y y eHeHZH eEeEE HxH ExE jjdefine HjxH EjxE bb bb emwb emw emw ??? ??? ?? ?? 这样以来，那么波的传播方向一定沿X方向，这也就意味着H、E各 自满足一维波动方程，其通解为 上式中，E+(t-x/v)、E- (t+x/v)分别表示沿X方向的或沿-X方向传播 的行波，分别称之为入射波和反射波。 )4.15(? )3.15(? kHH jEE z y = = ? ? )6.15()()(),(1 )5.15()()(),(1 2 2 22 2 2 2 22 2 v xtE v xtHtxH t H vx H v xtE v xtEtxE t E vx E zzz zz yyy yy ++?=???=?? ++?=???=?? ?+ ?+ 在实际求解过程中，对于（15.5）、（ 15.6）只要知道其一，便可通过 场方程求得另外一个，例如若为入射波则 同理，若为反射波，则 )7.15( 11 0 e m m e m e m e emm ==?=? ′=′????=???=?? + + ++ ++ +++ y z yz yz yyz E HZEH EHxExEtH ???? ?=?′?=′ yzyz EHEH m e m e 2、平面波的能量与能流 不论对于入射波或反射平面波，由第5章关于远场的波印亭向量以及 场能量关系，容易得到 ? ? ? ? ? ? ? ′?===×= ′===×= ==′+′=′? ′===′ ? ????? + +++++ ++ ++ ivZ txEitxHtxEktxHjtxES ivZ txEitxHtxEktxHjtxES txHtxE txHtxE y zyzy y zyzy zyme mzye ?),(?),(),(?),(?),( ?),(?),(),(?),(?),( ),(),( ),(21),(21 0 2 0 2 22 22 w w mewww wmew ? ? 由上式可以看出，入射波的能流与入射波的传播方向也相同，反射波 的能流与反射波的传播方向也相同，但入射波传播方向与反射波传播 方向相反 三、电磁辐射 1、 电流元的辐射公式 ①什么是电磁辐射？当电荷、电流随时间变化时，在其周围激发电磁 波，在电磁波向外传播的过程中，会有部分电磁能量输送出去，这种 现象称为电磁辐射。用于辐射的导体装置称为辐射器。各种形式的天 线都是辐射器。 ②电偶极子的辐射机理 设辐射子为一既细又短的导线，其中的电流做 余弦变化，为了简明，设i =Imcos(ωt)= Imsin(ωt+900)，要计 算空间的电场、磁场分布，先计算动态的向量 磁位 向量磁位球坐标系下的分量可以写为 0,),,(4 ),,( 4 ),,( 4),,( 2 0 2 0 2 0 ==?′′′==? ?′′′=′′′= ? ? ′ ? ∫ yx jrj z jrj V jrj AAlr eezyxIjAA klr eezyxIjldr eezyxIzyxA ????? ?????? p b p b p b p m p m p m i(t) Δl 电偶极子辐射元 sin cos4cos 20 20 ??=?= ?==?= ? ? qmq qpmq p b p b ????? ?????? leeIjAA leeIrjArAA jrj jrj zr ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?=×?= =×?= =×?= ?×?= ])([1)(1 0)(1 0)(1 00 0 0 0 r rr AArrrAH AH AH AH ????? ??? ??? ???? qmm m m m qaa qq )12.14(sin))( 1(4 2 2 rje rr jlIjH b a qbbp b ?+?== ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ×?= ? ?=×?= ? ?=×?= ×?= aa aqq a we qqwewe qqqwewe we )(1 )]sin([sin11)(1 )]sin(sin1[1)(1 0 00 2 00 0 HjE HrrrjHjE HrrjHjE j HE rr ??? ??? ??? ???? )13.14( 0 sin])()( 1[4 cos])( 1)([42 32 0 3 32 0 3 ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? = ?+?= +?= ? ? a b q b qbbbpweb qbbpweb E erjrrjlIjE errjlIE rj rj r ? ?? ?? 注意：由（14.12）以及（14.13）两式可以看出，空间某点场量总体 上与场点到波源的电尺寸成反比 问题：（14.12）、（ 14.13）所得到的电流元所产生的电场、磁场分布， 如何理解其物理意义？ 2、 近场（似稳场）与远场（辐射场） ①近场：(14.12)与（14.13）式可以看到，场量大小与场量到电流源 的‘电尺寸（βr）’有关， 当βr <<1，也即r<<λ/2π时，(14.12)与（14.13）分别保留其分母 最高次项，得 )15.14( 0 sin14sin)( 14 cos12cos)( 142 3 0 0 3 0 3 3 0 0 3 0 3 ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? = ?=?= ?=?= ?? ?? a bb q bb qempbqbpweb qempbqbpweb E erlIerlIE erlIerlIE rjrj rjrj r ? ??? ??? )16.14(sin4sin)( 14 22 2 rjrj e r lIje r lIjH bb a qpqbp b ?? ?=?= ??? 关于近场要注意的几个问题 1）波阻抗 )14.14(2 rr lpb = 低E p be m a q 120 ,11 0 0 <<? == Z rjH EZ 这说明在近场，呈现低阻， 分析场大小时，以磁场为主 2）近场的波印亭向量为 rerlIjerlIj rSSHES rjrj r ?sin16?sincos8 ? 22 32 22 2 0 0 32 22 bb q qbpqqqembp q ?? ?+?? =+=×= ?? ???? 由(14.15)、(14.16) 式可见，在近场，电场与磁场的相位角相差900， 故虽然瞬态波印亭向量不为零，但是，一个周期内的平均功率为零。 也就是说主要电磁能量呈震荡，即电、磁能量相互交换（‘吞吐’）， 故近场又成为感应场 3）、（ 14.15）、（ 14.16）式的瞬时表示式。 则在两端积累的电荷 ∫ +== ktIidttq m ww sin)( 不考虑与时间无关的常数(k=0)，利用电偶极子的电矩 ltqltIltqp mm ???? ?=?=?= www sinsin)( 可以将（14.15）、（ 14.16）式表达成 -q(t) +q(t) i(t) i(t) Δl Δl ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?= =?= =?= qp qpeqpe qpeqpe a q sin4 sin14sin14 cos214cos214 2 3 0 3 0 3 0 3 0 r liH r p r lqE r p r lqE r 比较第一章静电场P20（1-32）式以及第三章恒定磁场P117（3-7）式， 不难发现近场与静电场、恒定磁场表现形式雷同，故近场又称为‘似 稳场’。 ②远场：当βr>>1，也即 r>>λ/2π时，(14.12)与（14.13）分别保 留其分母最低次项，得 ? ? ? ??? ? ??=?= ??=??= ?? ?? )18.14(sin14sin14 )17.14(sin14sin14 2 0 0 0 3 rjrj rjrj erlIerlIH erlIerlIE bb a bb q qpbqbpb qempbqbpweb ??? ??? 关于远场要注意的几个问题 1）波阻抗 )(377120 0 0 ?≈=== p e m a q H EZ 这说明在远场，呈现高阻，分析场 大小时，以电场为主 2 3）辐射功率 低H 高E )19.4(sin)(81sin21)4( )(sinsin)4( 22 0 022 0 0 0 222 0 0 qlemqpbem wqpbem r lI r lI T dtvrtr lI T dtS S mm T m T r ?=?= ?? == ∫∫ 3、辐射的方向性（天线的极化）与辐射功率 ①电流元的辐射方向图 θ=900，场量最大 θ=00或1800，场量为零 问题：一般线天线并非电流元， 方向图如何？ ②线天线的辐射方向图 ③天线的极化 问题？有一半波振子向外辐射，这两个人各执一付接收天线检测信 号，问哪一位能够接收到信号？ 电流元的辐射方向图 θ L=0.5λ，半波振子的辐射 θ L=λ L=2λ 抛物面天线的方向图如何？军用与民用天线的用途分类？ ④天线的辐射功率 称为电流元的辐射电阻2 2222 2 0 2 0 22 0 0 0 0 0 )(80 )20.4()(803422)(12081 sinsin)(81 2,120 l lplp jqqqlem pem p p r lR IlIl drrdr lIsdSP IIZ e m S m ?= ?=????= ??== === ∫∫∫ ? ? 辐射电阻的大小可以反映出一个辐射系统的辐射能力的强弱 讨论： ③ 2、天线的辐射功率、辐射电阻、天线的极化 1）频率高，波长短，可以使用短天线发射 2）频率低，波长长，必须使用长天线发射