第一节 刚体平面运动的运动方程
第二节 求平面图形内各点速度的基点法
第三节 速度投影定理
第四节 速度瞬心法
第五节 平面图形内各点的加速度
在运动过程中，刚体内任一点始终保持在与某一固定
平面平行的平面内运动，该种运动称为刚体的平面平行运
动。简称为平面运动。
第一节：刚体平面运动的运动方程
一、平面运动的特征
1
A
2
A
I
II
AM
A点在 II平面
内运动。 A1A2作平
动,A1,A2,A各点
运动轨迹相同。
二、平面运动刚体的运动方程
? ?
? ?
? ?
1
2
3
( 7 1
o
o
x f t
y f t
ft?
?
?
? ?
?
? ?
?
? ?
—）
1、基本概念
?基点,O'（与 x'o'y'固结）
?角坐标,?
2、运动方程
? ? (7
()
oor r t
t??
??? ???
? ??
—2 ）
或
特例,1、若 φ= 常数,AB 的方位不变，刚体作 平动,
2、若 xA= 常数,yA= 常数，则刚体作 定轴转动
举
例
圆轮 A，半径为 R，沿直线向右作纯滚动，轮心 A
的速度,v0 = 常数。试求圆轮的平面运动方程。
tvx A 0?
常数?? Ry A
R
tv
R
x A 0???
—— 圆轮的平面运动方程
三、平面运动的分解 —— 平移和转动
举例
分解方式, ?先由 A1B1平移 到 A2B'1位移为 ?r，再绕 A2转到
A2B2，转角 ??。
?先 绕 A1转到 A1B'2，转角 ??，再 由 A1B'2平移
到 A2B2位移为 ?r。
一般刚体平面运动的分解：
?以 A为原点建立动坐标系 x'Ay',A为 基点。 AB先随动系平
移到 A'B1,再绕基点 A'转 ??1。
?以 B为原点建立平
移动系 Bx''y'',B为
基点。 AB先随动系
平移到 B'A1，再绕
基点 B'转 ??2。
如图，平面 S在定系中的运动可由其中的直线 AB来代替，
而 AB的又可看成平动和转动的合成，或者说刚体的平面运动
可分解成平动和转动，具体方法有如下两种：
11// //AB A B A B??
12
0 0 0
(7
l i m l i m l i m
t t t
d
t t t dt
? ? ? ???
? ? ? ? ? ?
? ? ?? ? ? ? ?
? ? ?
—3)
则,AB转动的角速度为：
平面图形的角速度和角加速度
12? ? ?? ? ? ? ? ?
则,AB转动的角加速度为：
7d dt????? 　（ —4 ）
结论：
（ 1）刚体平面运动可分解为基点（动系原点）的平移运动
（牵连运动）和绕该基点的转动（相对运动）。
（ 2）将刚体平面运动分解平移和转动时，基点选择不同，
基点的平动轨迹不同，但转动规律与基点选择无关。
（ 3）平面图形相对于任选基点所建立的平移动系的角速度
就是它的绝对角速度。
x
y y?
x?
?
o
o?
ox ?
oy ?
s
M
or?
x
y
o
??
x ?
y ?
x ??
y ??
s
A
B
1
A
1
B
1
??
2
??
B ?
A ?
a
b
第二节：求平面图形内各点速度的基点法
1、矢量表达式
如图,已知某一瞬时
平面图形 S内某一点的速
度 vA和图形的角速度 w,求
平面图形上任一点 B的速
度 vB。
(7
B e r
e A B A A B
r A B B
v v v
vr ?
???
?
? ? ? ??
?
?? ? ? ?
　—5 )
v v v
vv
v
2、定义
平面图形上任一点的速度等于基点的速度与该点绕基
点转动速度的矢量和 —— 基点法或称为速度合成法。
3、举例
曲柄 OA绕 O轴转
动，滑块 B 沿水平方向
运动，连杆 AB作平面
运动，因此选 AB杆作
为研究对象。
1、分析运动，选取
研究对象
例 1、发动机的曲柄连杆机构如下图所示，曲柄 OA
长为 r30cm,以等角速度 w=2rad/s绕 o点转动，连杆 AB
长为 l=40cm，试求：当 ?OAB=900时，滑块 B的速度
和连杆 AB的角速度。
2、选基点
由于连杆 AB上 A
点的速度已知，故选 A
点为基点。
3、根据速度合成法（基点法）求未知量
B A A B??v v v
如图所示，作出速度平行四边形。最后由几何关系得：
56 0 7 5 /
c o s 4
A
B
vv c m s
?? ? ? ?
3t a n 6 0 4 5 /
4B A Av v c m s?? ? ? ?
45 1, 1 3 /
40
BAv r a d s
l? ? ? ?
瞬时针方向
水平方向
例 2,图示椭圆规。已知, AB =l=20㎝, vA=20㎝ /s,φ=30°,
C为杆 AB的中点。试求, vB, ωAB, vC 。
解：
（ 1）分析各刚体的
运动，选取研究对象
选取 AB作为研究对
象
（ 2）分析与 AB连接点的运
动，选取运动已知的点
为基点
选 A点 —— 基点（ A点
运动已知）
vB= vA+ vBA
（ 3）由基点法的速度合
成定理确定其余量
大小,？ ?？
方向,? ? ?
（ 4）由三角关系求出所求量。
0c o t 2 0 c o t 3 0 3 4, 6 ( / )BAv v c m s?? ? ? ? ?
0/ s in 2 0 / s in 3 0 4 0 /B A Av v c m s?? ? ?
/ 4 0 / 2 0 2 ( / )A B B Av l r a d s? ? ? ?（顺时针）
22
22
2 c o s
( / 2 ) 2 ( / 2 ) c o s
2 0 ( / )
C A CA A CA
A A B A A B
v v v v v
v l v l
c m s
?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ? ? ?
?
　 （ β=60° ）
（ 1）分析各刚体的运动，取研究对象；
（ 2）分析与平面运动刚体连接点的运动，选取运动已知
的点为基点；
vB= vA+ vBA
（ 3）由基点法的速度 合成定理确定其余量；
方向,? ? ?
（ 4）由三角关系求出所求量。
大小,？ ?？
基点法解题步骤
090
Av
?
Av
Bv
BAv
?
r l
o
A
B
Av
Bv
BAv?
?
CAv
cv
Av
Av
AB?
A
CB
?
0
x
y
x '
y'
v
e
= v
A
v
B
S
A
B
r'
B
?
v
A
v
r
= v
BA
第三节 速度投影定理
将矢量式
B A B A??v v v
向 AB连线上投影可得：
平面图形上任意两点的速度在该两点连线上的投影相
等 。 —— 速度投影定理
1、定义
2、定理证明
( ) ( ) ( )B A B A A B B A A B??v v v
因为 vBA?AB，所以（ vBA ） AB=0
从而可得,( ) ( )
B A B A A B?vv ( 7 6 )—
3、例题
例 1、发动机的曲柄连杆机构如下图所示，曲柄 OA
长为 r30cm,以等角速度 w=2rad/s绕 o点转动，连杆 AB
长为 l=40cm，试求：当 ?OAB=900时，用速度投影法
求滑块 B的速度。
解
因为 A点的速度大小、方向已知,B点速度的方向已
知，根据速度投影定理，将 vA,vB向 AB杆轴线上投影，得
( ) ( )B A B A A B?vv
即 vv 0c o s c o s 0
BAα=
将 4
5
6 0 /Av c m s
? ?
?
?
? ??
c o s α 代入上式
7 5 /Bv c m s?得
例 2：椭圆规尺的 A端以速度 vA沿 X轴负向运动,AB=L，
?已知,试求 B端的速度及 AB的角速度。
解 （ 1）求 B的速度 vB
因为 A点的速度大小、方
向已知,B点速度的方向已知，
根据速度投影定理，将 vA,vB
向 AB杆轴线上投影，得
( ) ( )B A B A A B?vv
? ?0c o s 9 0 c o sBAvv ????即
sin
A
BA
B A A B
v
v
v A B
?
?
?
??
?
? ??
?
（ 2）求 AB的角速度 ?AB
?? s inL
v
L
v ABA
AB ???
?c t gvv AB ??
1、问题的提出
第四节 速度瞬心法
利用基点法求平面图形上点的速度，如若基点的速
度为零的话，问题的求解将变的极为简单。速度瞬心
法就是建立在这样一个思想基础上的。
2、引例
右图所示为一沿直线轨道滚
动而不滑动的车轮，所以车轮与
地面接触点 C具有与地面相同的
速度；由于地面上的点总是不动
的，其速度为零，故车轮上与地
面接触点 C的速度也必为零，即
vc=0
3、速度瞬心
平面图形上 某瞬时速度等于零的点称为瞬时速度
中心，简称速度瞬心。
上例中，因基点 C的瞬时速度为零，故平面图形上
任一点的速度就等于该点绕瞬心转动的速度。图中 A、
B两点的速度应分别为：
,
,
,
A A C A
B B C B
o O C o
v v C A v C A
v v C B v C B
v v C O v C O
?
?
?
? ? ? ? ?
??
? ? ? ??
?
? ? ? ??
?
　
　
　
结论
（ 1）平面运动刚体上各点速度的大小与该点到瞬心的
距离成正比，速度的方向垂直于该点到瞬心的连线，
指向图形转动的一方。
（ 2）平面图形的运动可看成绕瞬心的瞬时转动，此时
瞬心又称为转动瞬轴。
（ 3）已知平面图形在某瞬时的瞬心位置和转动角速度，
则可以求出平面图形上任一点的速度。
（ 4）速度瞬心的位置随时间不断变化，在不同瞬时平
面图形上有不同的速度瞬心。 。
4、速度瞬心法
利用速度瞬心求解平面图形上各点速度的方法称为
速度瞬心法。
5、速度瞬心位置的确定方法
（ 1）当平面图形沿一固定平面作无滑动的滚动时，图
形与固定平面的接触点即为平面图形的速度瞬心。
只滚不滑
（ 5）同一瞬时，速度瞬心的速度为零，但加速度不为零。
（ 2 ）如果已知平面图形上两点速
度的方向，则分别通过这两点作速
度的垂线，垂线的交点即为平面图
形的瞬心。
（ 3）如果已知平面图形上 A,B两点速度的方向互相平
行，且垂直于两点的连线 AB，则此平面图形的速度瞬
心必在 AB线上或其延长线上，具体见下图所示。
C*
（ 4）如果平面图形上两点的速度平行且相等，则速度瞬
心在无远处。故图形的角速度 ?=0，该时刻图形上各点速
度相等，平面图形做瞬时平动。
6、例题
例 1：椭圆规尺的 A端以速度 vA沿 X轴负向运动,AB=L
?已知,试求 B端和中点 C的速度及 AB的角速度。
AB作平面运动，由于 A,B两点速度方向已知，
故确定速度瞬心 C*
??? s i n2s i n2
* AA
ABD
v
L
vLDCv ?????
（ 1）求 AB的角速度 ?AB
?? s in* L
v
AC
v AA
AB ??
?
?
c t gvv
AC
BC
BCv
AA
ABB
??
??
*
*
*
（ 2）求 B的速度 vB
解
（ 3）求 C的速度 vC
o
A
B
C
B
v
C
v
A
v
?
o
A
B
C
Bv
Cv
Av
?
第五节 平面图形内各点的加速度
—— 基点法
1、加速度合成定理
平面图形的运动可分解为两部分,（ 1）随基点 A的平移（牵连运动）
（ 2）绕基点 A的转动（相对运动 )
由加速度合成定理：
a a a
a a a a a?
??
? ? ? ? ?　
B e r
n
A B A A B A B A
()
?? ? ? ?
?
?
? ? ? ? ???
B A A B
n
B A A B
ar
ar
平面图形内任一点的加速度等于基点的加速度与该点
绕基点转动的切向加速度和法向加速度的矢量和。
（ 7— 7）
—— 求平面图形内点加速度的基点法
上式中的 a?BA,anBA分别为
2、例题
例 1、下图为一曲柄连杆机构，曲柄 OA长 r，连杆 AB长 l，
曲柄以匀角速度 ?转动，当 OA与水平线夹角 ?=450时,OA
正好与 AB垂直。试求 连杆 AB的角加速度和滑块 B的加速度。
解
（ 1）分析运动，确定基
点。
AB杆做平面运动，
A点速度可求，选其作为
基点。
（ 2）求 A点加速度
A ??OAar
2ω
（ 3）求 B点加速度
a a a a?? ? ? nB A B A B A
由求平面图形中点的加速度的基点法知：
()
?? ? ? ??
?
? ? ? ? ???
B A A B A B
n
B A A B A B A B
ar
将上式向 x轴上投影，并考
虑下列两式
即可解出：
2
2 ()? ? ? ?AB
r lr
l
（顺时针）
再将上式向 AB方向 投影，可求得：
co s ? ? ? nB B Aaa ? 22 ( )? ? ? ?
2
B
ra
l
例 2：外啮合行星齿轮。系杆 O1O=L
以匀角速度 ?1绕 O1转动。齿轮 I半径
为 r,沿固定齿轮 II滚而不滑。求齿轮
I上两点 A,B的加速度。（ A位于 O1O
的沿长线上,B位于垂直于 O1O的半径
上）
(2)基点 O的速度、加速度、轮 I角速度
21 o 1? ? ?，ov L a L??
1?? r
L
r
v o ??
解
(1)分析运动，确定基点。轮 I做平面
运动,O点加速度可求，选其作为
基点。
(3)求 B点的加速度
? ?
2
22
1 1o
??? ? ? ? ? ?
????
n
B B O
La a a L
r
2
22
1
0? ?
?
?
???
?
n
Bo
a
L
ar
r
τ
Bo
??
a a a a? ? ? nB o B oτBo
v0
(4)求 A点的加速度
a a a a?? ? ? nA o A o A o
由于轮 I的 ?为常量，故
2
22
1
0? ?
?
?
???
?
τ
Ao
n
Ao
a
L
ar
r
??
?
?
??
?
? ??????
r
LL
r
LLaaa n
AooA 1
2
1
2
1
2
2
1 ???
从而得，
（ 1）分析运动：杆 BC —— 平面运动
例 3、如图四连杆机构。已知 AB 杆以匀角速度 ω=1（ 1/s）转
动，试求（ 1） vC, ωCD 。 （ 2） aC, ?CD
解
（ 2）求速度
由速度投影定理，得
c o s 4 5 ?Bcvv
c o s 4 5
2
1 0 0 1 7 0,7 ( m m /s )
2
?
? ? ? ?　
cBvv
从而，得
方向如图
5 0 2 0, 2 5 ( r a d /s )
2 1 0 0 2
? ? ?
??
c
CD
v
CD
?
（ 3）求加速度
以 B为基点，则有
nCBCBBnCC aaaaa ???? ??
2
2
2
? ??
??
???
?
????
B
n
CB B C
n
C CD
a A B
a B C
a CD
?
?
?
将上式向 ?方向投影，并
考虑下列代数式
得 n
CBBC aaa ????? 045c o s0
??
n
CBBC aaa ???
?45c o s?
22
2
2
1 0 0 1 1 0 0 2 ( 0,5 )
2
7 5 2 ( m m /s )
? ? ? ? ?
??
即，
22 0 0 2 ( 0, 2 5 ) 2 5 2 / 2? ? ?n
Ca
2 2 2( ) ( ) 1 0 7, 5 3 ( m m / s )
C
?? ? ? ?n
CCa a a
27 5 2 0, 3 7 5 ( 1 / s )
2 0 0 2
?
? ? ? ?CCD a
CD
（逆时针）
总结
（ 1）当基点 A与所求点 B的运动轨迹为已知曲线，则加速
度合成关系为：
a a a a a aτ n τ n τ nB B A A B A B A+ = + + +
（ 2）求加速度,没有投影法。
（ 3）有加速度瞬心法，但不常用；加速度 瞬心与速度瞬
心不是同一点。
100
BC?
045
100
?
CD?
045
A
B
C
D
P
Ba
?
?
Ba
n
ca
?
ca
?
cBa
n
cBa
CD?
C*o1
o
A
?1
a0II
I
?
anAoa
0