第十五章
虚位移原理
（静动法）
§ 15-1 约束、虚位移、虚功
一、约束及其分类
限制质点或质点系运动的条件称为约束，限制条件的数学方
程称为约束方程。
1、几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为 几何约束 。
限制质点系运动情况的运动学条件称 运动约束 。
2,定常约束和非定常约束
约束条件随时间变化的称 非定常约束,否则称 定常约束 。
3,其余分类
约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分或有限形
式 的约束称 非完整约束,否则为 完整约束 。
约束方程是等式的，称 双侧约束 （或称 固执约束 ）,约束方程
为不等式的，称 单侧约束 （或称 非固执单侧约束 ）。本章只讨
论定常的双侧、完整、几何约束。
二、虚位移
在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无
限小的位移称为 虚位移 。
虚位移的表示方法：
????,,xr
一般表示法 线位移 角位移
三、虚功
力在虚位移中作的功称虚功。即：
rFW ?? ??
??? s inxFW ? ? ? ??? FMW z?
或
四、理想约束
如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等
于零，称这种约束为 理想约束 。
? ? ???? 0iNiNiN rFWW ???
§ 15-2 虚位移原理
一质点系在力的作用下处于平衡状态
某质点受力如图示，且：
0?? Nii FF
NiF
iF
0????? iNiiii rFrFW ???
为该质点设定虚位移 且
ir?
ir?
?? ???? 0iNiii rFrF ??且
0?? ? iW?
虚功方程
虚位移原理
所表达出的原理
虚位移原理（虚功原理）,对于具有理想约束的质点系，其平
衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位
移中所作的虚功之和等于零。
? ?? ??? 0iziiyiixi zFyFxF ???
投影后的解析式为：
例 1,图中所示结构，各杆自重不计，在 Ｇ 点作用一铅
直向上的力 Ｆ,
求：支座 Ｂ 的水平约束力。
lGEDGCBCDCEAC ??????
解,解除 B端水平约束,以力
代替,如图 (b) Bx
F
0??? GBBxF yFxFw ???
? ? ?????
??
c os3,s in2
s in3,c os2
lylx
lylx
GB
GB
???
??
由虚位移原理得：
各虚位移关系为：
带入虚功方程得,? ? 0c o s3s in2 ???? ? ??? ?? lFlF
Bx
?c o tFF Bx 23?
如图在 CG间加一弹簧，刚度 K，
且已有伸长量,仍求 。
BxF0?
解法二：
在弹簧处也代之 以力，
如图（ b)，其中
0
0
0
????????
?
??
GGGCCBBx
F
GC
yFyFyFxF
W
kFF
????
?
?
? ? ??? ? ??? ? ?? c o s3,c o s,s i n2 lylylx GCB ????
??? s i n3,s i n,c o s2 lylylx GCB ???
0co s3
co s3co ss i n2( 00
??
???
???
??????????
lF
lklklF Bx
代入虚功方程得：
??? c o tc o t23 0kFF Bx ??
解得：
例 2,图所示椭圆规机构中，连杆 AB长为 L，滑块 Ａ，Ｂ 与
杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。
求：主动力 与 之间的关系。BFAF
? ?? 0ii rF ?
,,BA rr ??
解,为 A,B两处添加虚位移
0?? BBAA rFrF ??
由虚位移原理得：
???? s inc o s AB rr ?且
0c os ??? BBBA rFrF ???
?t a nBA FF ??
例 3,如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，求机构
在图示位置平衡时，主动力偶矩 Ｍ 与主动力 Ｆ 之间的关系 。
解,为 B,C两处添加虚位移
cr???,
由虚位移原理得：
? ??? 0cF rFMw ????
由图中关系有
?
??
s in
e
a
rr ?
?
??????
???? 2s i n,s i n
hrrhOBr
aCe ????
?2s in
FhM ?
例 4,求图所示无重组合梁支座 Ａ 的约束力。
解,解除 A处约束，代之,给虚位移，如图（ b）
AF
02211 ????? sFMsFsFW AAF ??????
由虚位移原理得：
AMA
A sssss ???????????
8
1111,
8
33,
1 ????? 8
各虚位移间关系为：
AAM ssss ???? 14
11
2 ???? 8
11
7
4
7
4
MFFF A
8
1
14
11
8
3
21 ???
代入虚功方程得：
虚位移原理
（静动法）
§ 15-1 约束、虚位移、虚功
一、约束及其分类
限制质点或质点系运动的条件称为约束，限制条件的数学方
程称为约束方程。
1、几何约束和运动约束
限制质点或质点系在空间的几何位置的条件称为 几何约束 。
限制质点系运动情况的运动学条件称 运动约束 。
2,定常约束和非定常约束
约束条件随时间变化的称 非定常约束,否则称 定常约束 。
3,其余分类
约束方程中包含坐标对时间的导数，且不可能积分或有限形
式 的约束称 非完整约束,否则为 完整约束 。
约束方程是等式的，称 双侧约束 （或称 固执约束 ）,约束方程
为不等式的，称 单侧约束 （或称 非固执单侧约束 ）。本章只讨
论定常的双侧、完整、几何约束。
二、虚位移
在某瞬时，质点系在约束允许的条件下，可能实现的任何无
限小的位移称为 虚位移 。
虚位移的表示方法：
????,,xr
一般表示法 线位移 角位移
三、虚功
力在虚位移中作的功称虚功。即：
rFW ?? ??
??? s inxFW ? ? ? ??? FMW z?
或
四、理想约束
如果在质点系的任何虚位移中，所有约束力所作虚功的和等
于零，称这种约束为 理想约束 。
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§ 15-2 虚位移原理
一质点系在力的作用下处于平衡状态
某质点受力如图示，且：
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为该质点设定虚位移 且
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虚功方程
虚位移原理
所表达出的原理
虚位移原理（虚功原理）,对于具有理想约束的质点系，其平
衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位
移中所作的虚功之和等于零。
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投影后的解析式为：
例 1,图中所示结构，各杆自重不计，在 Ｇ 点作用一铅
直向上的力 Ｆ,
求：支座 Ｂ 的水平约束力。
lGEDGCBCDCEAC ??????
解,解除 B端水平约束,以力
代替,如图 (b) Bx
F
0??? GBBxF yFxFw ???
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由虚位移原理得：
各虚位移关系为：
带入虚功方程得,? ? 0c o s3s in2 ???? ? ??? ?? lFlF
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?c o tFF Bx 23?
如图在 CG间加一弹簧，刚度 K，
且已有伸长量,仍求 。
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解法二：
在弹簧处也代之 以力，
如图（ b)，其中
0
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F
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代入虚功方程得：
??? c o tc o t23 0kFF Bx ??
解得：
例 2,图所示椭圆规机构中，连杆 AB长为 L，滑块 Ａ，Ｂ 与
杆重均不计，忽略各处摩擦，机构在图示位置平衡。
求：主动力 与 之间的关系。BFAF
? ?? 0ii rF ?
,,BA rr ??
解,为 A,B两处添加虚位移
0?? BBAA rFrF ??
由虚位移原理得：
???? s inc o s AB rr ?且
0c os ??? BBBA rFrF ???
?t a nBA FF ??
例 3,如图所示机构，不计各构件自重与各处摩擦，求机构
在图示位置平衡时，主动力偶矩 Ｍ 与主动力 Ｆ 之间的关系 。
解,为 B,C两处添加虚位移
cr???,
由虚位移原理得：
? ??? 0cF rFMw ????
由图中关系有
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???? 2s i n,s i n
hrrhOBr
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例 4,求图所示无重组合梁支座 Ａ 的约束力。
解,解除 A处约束，代之,给虚位移，如图（ b）
AF
02211 ????? sFMsFsFW AAF ??????
由虚位移原理得：
AMA
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8
1111,
8
33,
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各虚位移间关系为：
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代入虚功方程得：
