第二章
平面汇交力系与力偶系
平面汇交力系,
各力的作用线都在同一平面内且
汇交于一点的力系。
引 言
研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
力系分为：平面力系、空间力系
① 平面汇交力系
②平面力偶系
③平面平行力系
④平面一般力系
平面力系 平面特殊力系
平面任意力系
§ 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、合成的几何法
?c o s2 212221 FFFFR ???
)180s i n (s i n 1 ?? ?? R
F
2,任意个共点力的合成
为力多边形
1.两个共点力的合成
合力方向由正弦定理：
由余弦定理：
?? c o s)1 8 0c o s ( ????由力的平行四边形法则作，
也可用力的三角形来作。 F
2 F3
F4F1
R
结论,即：
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用
线通过各力的汇交点。
二、平面汇交力系平衡的几何条件
?? FR4321 FFFFR ????
在上面几何法求力系的合力中，合力为
零意味着力多边形自行封闭。所以平面
汇交力系平衡的必要与充分的几何条件
是：
平面汇交力系平衡的充要条件是,? ?? 0FR
力多边形自行封闭
或
力系中各力的矢量和等于零
F2 F3
F4F1 F
5
R
[例 1]已知,P=10kN,BC=AC=2m,AC与 BC相互垂直。
求：在 P的作用下 AC,BC所受力的大小。
① 选铰链 C为研究对象
② 取分离体画受力图
解：
∵ BC杆与 AC杆是二力杆,这时 FBC与 FAC
和外力 P构成一平衡力系。 由平衡的
几何条件，力多边形封闭，故
)(252 210s kNinPFF BCAC ?????? ?
A
C
P
B
P
FBC
FAC
P
FBC
FAC
?
由作用力和反作用力的关系,AC,BC杆受力等于 。? ?kN25
此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图；
③作力多边形，选择适当的比例尺；
④求出未知数
几何法解题不足,①精度不够，误差大 ②作图要求精度高；
③不能表达各个量之间的函数关系。
下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：
解析法 。
F
F
F
X x???c os
F
F
F
Y y???c o s
22
yx FFF ??
§ 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在坐标轴上的投影
力 投影
X=Fx=Fcos?,
Y=Fy=Fsin?=F cos?
投影 力
二、合力投影定理 由图可看出，各分力在 x轴和在 y
轴投影的和分别为：
????? XXXXR x 421
??????? YYYYYR y 4321
?? YR y?? XR x
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一
轴上投影的代数和。
即：
合力的大小：
方向：
作用点：
2222 ?? ???? YXRRR
yx
x
y
R
R
??tg ???? ?? X
Y
R
R
x
y 11 tgtg?∴
为该力系的汇交点
三、平面汇交力系的平衡方程
从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即：
00 22 ???? yx RRR
?
?
??
??
0
0
YR
XR
y
x
为平衡的充要条件，也叫平衡方程
[例 2]铆接薄板在孔心 A,B和 C处受三力作用，如图所示
F1=100N，沿铅直方向； F3=50N，沿水平方向，并通过点 A；
F2=50N，力的作用线也通过 A，尺寸如图。求此力系的合力。
B
F3CA60㎜
80
㎜
F2F1
F 1 F 2 F 3 Σ
X 0 30 50 80
Y 100 40 0 140
解：如图建立坐标系，则
x
y
所以
? ? ? ? NYXF R 2.1 6 122 ??? ??
4
7??
?
?
X
Y
tg ?
③ 列平衡方程
0??X
0??Y
045c o s45c o s ?????? BCAC FF
045s i n45s i n ???????? BCAC FFP
BCAC FF ?
代入下式解得：
kN 2545s i n2 0 ??? PFF BCAC
A
C
P
B
① 选铰链 C为研究对象
② 取分离体画受力图
④ 解平衡方程
[例 3]已知,P=10kN,BC=AC=2m,AC与 BC相互垂直。
求：在 P的作用下 AC,BC所受力的大小。
P
FBC
FAC
x
y
由上一式得：
0??X
0??Y
045co s ???? PF AC
045s i n ???? PF BC
由下一式解得：
kN 2545s i n ??? PF BC
A
C
P
B
另一种列方程的方法
P
FBC
FAC
x
y
kN 2545c o s ??? PF AC
（坐标轴的方向变化
可以使计算变得简单）
由上一式解得：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
解题技巧及说明：
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中
只有一个未知数。
2、一般对于受多个力作用的物体，无论角度不特殊
或特殊，都用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，
一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压
力。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
① 是代数量。)(FM O
当 F=0或 d=0时,=0。)(FM O
③ 是影响转动的独立因素。)(FM O
⑤ =2⊿ AOB=Fd,2倍 ⊿ 形面积。)(FM O
力对物体可以产生 移动效应 --取决于力的大小、方向
转动效应 --取决于力矩的大小、方向
§ 2-3 平面力对点之矩的概念及计算
dFFM O ???)(一、力对点之矩（力矩） - +
说明：
② F↑,d↑ 转动效应明显。
④ 国际单位 Nm，工程单位 kgfm。
FrFM O ???)(
即
如果以 表示由点 O到点 B的矢量，
由矢量积定义,的大小
就是三角形 OAB的面积的两倍。由此
可见，此矢量积的模 就等于
力 F对点 O的矩的大小，其指向与力
矩的转向符合右手法则。
Fr?
r
Fr?
Fr?
定理,平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所
有各分力对同一点的矩的代数和
即：
二、合力矩定理
[证 ]
?
?
?
n
i
iOO FmRm
1
)()(
O
Ar
F1
F2
Fi
Fn
R
为平面汇交力系的合力，即,
nFFFR ???? ?21R
为矩心 O到汇交点 A的矢径，r
对上式两端作矢积，有r以
nFrFrFrRr ???????? ?21
由于每个力都有与点 O共面，上式各矢
积平行，因此上式矢量和可按代数和
计算。而各矢量积的大小就是力对点 O
之矩，于是证得合力矩定理。
三、力矩与合力矩的解析表达式
? ? ? ? ?? c o ss i n)( yFxFFmFmFm xoyoO ????
如图所示，已知力 F，作用点 A（ x,y）及其夹角 。求力 F
对坐标原点 O之矩，可按合力矩定理，通过其分力 Fx与 Fy对点 O
之矩而得到，即
?
或 yXxYFm
O ??)(
上式为平面内力矩的解析表达式,X,Y
为力 F在 x,y轴的投影（注意正负号）。
对平面汇交力系合力 R对坐标原点之矩
的解析表达式为
?
?
??
n
i
iiiiO XyYxRm
1
)(
[例 4]已知：如图 F,Q,l,求,和
解,①用力对点之矩定义
②应用合力矩定理
)(FmO )(Qmo
? s in)(
lFdFFm
O ????
lQQm o ???)(
?
???
?
s i n
c t gc oss i n
c t g)(
l
FlFlF
lFlFFm yxO
?????
?????
lQQm o ???)(
① 两个同向平行力的合力 大小,R=Q+P
方向：平行于 Q,P且指向一致
作用点,C处
确定 C点，由合力距定理
)()( QmRm BB ? QPR ???又
ABQCBR ????
代入CBACAB ?? QPCBAC ?整理得
一、力偶与力偶矩
力偶,两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。
性质 1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
§ 2-4 平面力偶理论
② 两个反向平行力的合力 大小,R=Q-P
方向：平行于 Q,P且与较大的相同
作用点,C处 （推导同上）
P
Q
CA
CB ?
性质 2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而
与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。
力偶 无合力 R=F'-F=0
1' ?? FFCACB? CACB ??
???? CBdCBCB 必有成立若,
处合力的作用点在无限远????? d
??? 0)( Rm O ????? 0)'()( FmFm OO
为有限量证明 ??? 0)( Rm O
xFdxF
FmFm OO
?????
?
')(
)'()(?
)( RmdF O????
说明：① m是代数量，有 +,-；
② F,d 都不独立，只有力偶矩 是独立 量；
③ m的值 m=± 2⊿ ABC；
④单位,Nm
dFm ???
由于 O点是任取的
dFm ???? +-
d
性质 3：平面力偶等效定理
作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，
转向相同，则该两个力偶彼此等效。
[证 ] 设物体的某一平面
上作用一力偶 (F,F')
现沿力偶臂 AB方向
加一对平衡力 (Q,Q'),
Q',F'合成 R'，
再将 Q,F合成 R，
得到新力偶 (R,R'),
将 R,R'移到 A',B'点，则 (R,R')，取 代了原力偶 (F,F' )
并与原力偶等效。
② 只要保持力偶矩大小和转向
不变，可以任意改变力偶中力
的大小和相应力偶臂的长短，
而不改变它对刚体的作用效应。
由上述证明可得下列 两个推论,
比较 (F,F')和 (R,R')可得
m(F,F')=2△ ABD=m(R,R')
=2 △ ABC
即△ ABD= △ ABC，
且它们转向相同。
① 力偶可以在其作用面内任
意移动，而不影响它对刚体
的作用效应。;111 dFm ??
222 dFm ??
dPm 11 ?又
dPm 22 ???
'21 PPR A ??
2'1 PPR B ??
21'21'21 )( mmdPdPdPPdRM A ????????? 合力矩
平面力偶系,作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系
设有两个力偶
d d
平面力偶系平衡的充要条件是,所有各力偶矩的代数和
等于零。
?
?
????? n
i
in mmmmM
1
21 ?
即 01 ???
n
i
im
结论,
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩
的代数和 。
[例 5] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直
径的孔,每个钻头的力偶矩为
求工件的总切削力偶矩和 A, B端水平反力?
mN154321 ????? mmmm
mN60)15(4
4321
??????
???? mmmmM
02.0 4321 ?????? mmmmN B
N3 0 02.060 ??? BN N 30 0??? BA NN
解, 各力偶的合力偶距为
由力偶只能与力偶平衡的性质，
力 NA与力 NB组成一力偶。
0
1
??
?
n
i
im
例 6
已知：
求：
1.水平拉力 F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 F至少多大？
3.力 F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力 F多大？
P=20kN,R=0.6m,h=0.08m:
解,1.取碾子，画受力图。
用几何法，按比例画封闭力四边形
?30arcco s ???
R
hRθ 按比例量得：
KNFKNF BA 10,4.11 ??
或由图中
FθFF
FθF
BA
B
??
?
co s
s i n
解得
BF
=10kN,
AF
=11.34kN
2.碾子拉过障碍物，
用几何法
0?AF应有
解得 kN55.11t a n ??? θPF
解得 kN10s i nm i n ??? θPF3.
平面汇交力系与力偶系
平面汇交力系,
各力的作用线都在同一平面内且
汇交于一点的力系。
引 言
研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
力系分为：平面力系、空间力系
① 平面汇交力系
②平面力偶系
③平面平行力系
④平面一般力系
平面力系 平面特殊力系
平面任意力系
§ 2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一、合成的几何法
?c o s2 212221 FFFFR ???
)180s i n (s i n 1 ?? ?? R
F
2,任意个共点力的合成
为力多边形
1.两个共点力的合成
合力方向由正弦定理：
由余弦定理：
?? c o s)1 8 0c o s ( ????由力的平行四边形法则作，
也可用力的三角形来作。 F
2 F3
F4F1
R
结论,即：
即：平面汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用
线通过各力的汇交点。
二、平面汇交力系平衡的几何条件
?? FR4321 FFFFR ????
在上面几何法求力系的合力中，合力为
零意味着力多边形自行封闭。所以平面
汇交力系平衡的必要与充分的几何条件
是：
平面汇交力系平衡的充要条件是,? ?? 0FR
力多边形自行封闭
或
力系中各力的矢量和等于零
F2 F3
F4F1 F
5
R
[例 1]已知,P=10kN,BC=AC=2m,AC与 BC相互垂直。
求：在 P的作用下 AC,BC所受力的大小。
① 选铰链 C为研究对象
② 取分离体画受力图
解：
∵ BC杆与 AC杆是二力杆,这时 FBC与 FAC
和外力 P构成一平衡力系。 由平衡的
几何条件，力多边形封闭，故
)(252 210s kNinPFF BCAC ?????? ?
A
C
P
B
P
FBC
FAC
P
FBC
FAC
?
由作用力和反作用力的关系,AC,BC杆受力等于 。? ?kN25
此题也可用力多边形方法用比例尺去量。
几何法解题步骤：①选研究对象；②作出受力图；
③作力多边形，选择适当的比例尺；
④求出未知数
几何法解题不足,①精度不够，误差大 ②作图要求精度高；
③不能表达各个量之间的函数关系。
下面我们研究平面汇交力系合成与平衡的另一种方法：
解析法 。
F
F
F
X x???c os
F
F
F
Y y???c o s
22
yx FFF ??
§ 2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一、力在坐标轴上的投影
力 投影
X=Fx=Fcos?,
Y=Fy=Fsin?=F cos?
投影 力
二、合力投影定理 由图可看出，各分力在 x轴和在 y
轴投影的和分别为：
????? XXXXR x 421
??????? YYYYYR y 4321
?? YR y?? XR x
合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一
轴上投影的代数和。
即：
合力的大小：
方向：
作用点：
2222 ?? ???? YXRRR
yx
x
y
R
R
??tg ???? ?? X
Y
R
R
x
y 11 tgtg?∴
为该力系的汇交点
三、平面汇交力系的平衡方程
从前述可知：平面汇交力系平衡的必要与充分条件是该力系
的合力为零。 即：
00 22 ???? yx RRR
?
?
??
??
0
0
YR
XR
y
x
为平衡的充要条件，也叫平衡方程
[例 2]铆接薄板在孔心 A,B和 C处受三力作用，如图所示
F1=100N，沿铅直方向； F3=50N，沿水平方向，并通过点 A；
F2=50N，力的作用线也通过 A，尺寸如图。求此力系的合力。
B
F3CA60㎜
80
㎜
F2F1
F 1 F 2 F 3 Σ
X 0 30 50 80
Y 100 40 0 140
解：如图建立坐标系，则
x
y
所以
? ? ? ? NYXF R 2.1 6 122 ??? ??
4
7??
?
?
X
Y
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③ 列平衡方程
0??X
0??Y
045c o s45c o s ?????? BCAC FF
045s i n45s i n ???????? BCAC FFP
BCAC FF ?
代入下式解得：
kN 2545s i n2 0 ??? PFF BCAC
A
C
P
B
① 选铰链 C为研究对象
② 取分离体画受力图
④ 解平衡方程
[例 3]已知,P=10kN,BC=AC=2m,AC与 BC相互垂直。
求：在 P的作用下 AC,BC所受力的大小。
P
FBC
FAC
x
y
由上一式得：
0??X
0??Y
045co s ???? PF AC
045s i n ???? PF BC
由下一式解得：
kN 2545s i n ??? PF BC
A
C
P
B
另一种列方程的方法
P
FBC
FAC
x
y
kN 2545c o s ??? PF AC
（坐标轴的方向变化
可以使计算变得简单）
由上一式解得：
1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
解题技巧及说明：
3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中
只有一个未知数。
2、一般对于受多个力作用的物体，无论角度不特殊
或特殊，都用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，
一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压
力。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
① 是代数量。)(FM O
当 F=0或 d=0时,=0。)(FM O
③ 是影响转动的独立因素。)(FM O
⑤ =2⊿ AOB=Fd,2倍 ⊿ 形面积。)(FM O
力对物体可以产生 移动效应 --取决于力的大小、方向
转动效应 --取决于力矩的大小、方向
§ 2-3 平面力对点之矩的概念及计算
dFFM O ???)(一、力对点之矩（力矩） - +
说明：
② F↑,d↑ 转动效应明显。
④ 国际单位 Nm，工程单位 kgfm。
FrFM O ???)(
即
如果以 表示由点 O到点 B的矢量，
由矢量积定义,的大小
就是三角形 OAB的面积的两倍。由此
可见，此矢量积的模 就等于
力 F对点 O的矩的大小，其指向与力
矩的转向符合右手法则。
Fr?
r
Fr?
Fr?
定理,平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所
有各分力对同一点的矩的代数和
即：
二、合力矩定理
[证 ]
?
?
?
n
i
iOO FmRm
1
)()(
O
Ar
F1
F2
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Fn
R
为平面汇交力系的合力，即,
nFFFR ???? ?21R
为矩心 O到汇交点 A的矢径，r
对上式两端作矢积，有r以
nFrFrFrRr ???????? ?21
由于每个力都有与点 O共面，上式各矢
积平行，因此上式矢量和可按代数和
计算。而各矢量积的大小就是力对点 O
之矩，于是证得合力矩定理。
三、力矩与合力矩的解析表达式
? ? ? ? ?? c o ss i n)( yFxFFmFmFm xoyoO ????
如图所示，已知力 F，作用点 A（ x,y）及其夹角 。求力 F
对坐标原点 O之矩，可按合力矩定理，通过其分力 Fx与 Fy对点 O
之矩而得到，即
?
或 yXxYFm
O ??)(
上式为平面内力矩的解析表达式,X,Y
为力 F在 x,y轴的投影（注意正负号）。
对平面汇交力系合力 R对坐标原点之矩
的解析表达式为
?
?
??
n
i
iiiiO XyYxRm
1
)(
[例 4]已知：如图 F,Q,l,求,和
解,①用力对点之矩定义
②应用合力矩定理
)(FmO )(Qmo
? s in)(
lFdFFm
O ????
lQQm o ???)(
?
???
?
s i n
c t gc oss i n
c t g)(
l
FlFlF
lFlFFm yxO
?????
?????
lQQm o ???)(
① 两个同向平行力的合力 大小,R=Q+P
方向：平行于 Q,P且指向一致
作用点,C处
确定 C点，由合力距定理
)()( QmRm BB ? QPR ???又
ABQCBR ????
代入CBACAB ?? QPCBAC ?整理得
一、力偶与力偶矩
力偶,两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。
性质 1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。
§ 2-4 平面力偶理论
② 两个反向平行力的合力 大小,R=Q-P
方向：平行于 Q,P且与较大的相同
作用点,C处 （推导同上）
P
Q
CA
CB ?
性质 2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而
与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。
力偶 无合力 R=F'-F=0
1' ?? FFCACB? CACB ??
???? CBdCBCB 必有成立若,
处合力的作用点在无限远????? d
??? 0)( Rm O ????? 0)'()( FmFm OO
为有限量证明 ??? 0)( Rm O
xFdxF
FmFm OO
?????
?
')(
)'()(?
)( RmdF O????
说明：① m是代数量，有 +,-；
② F,d 都不独立，只有力偶矩 是独立 量；
③ m的值 m=± 2⊿ ABC；
④单位,Nm
dFm ???
由于 O点是任取的
dFm ???? +-
d
性质 3：平面力偶等效定理
作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，
转向相同，则该两个力偶彼此等效。
[证 ] 设物体的某一平面
上作用一力偶 (F,F')
现沿力偶臂 AB方向
加一对平衡力 (Q,Q'),
Q',F'合成 R'，
再将 Q,F合成 R，
得到新力偶 (R,R'),
将 R,R'移到 A',B'点，则 (R,R')，取 代了原力偶 (F,F' )
并与原力偶等效。
② 只要保持力偶矩大小和转向
不变，可以任意改变力偶中力
的大小和相应力偶臂的长短，
而不改变它对刚体的作用效应。
由上述证明可得下列 两个推论,
比较 (F,F')和 (R,R')可得
m(F,F')=2△ ABD=m(R,R')
=2 △ ABC
即△ ABD= △ ABC，
且它们转向相同。
① 力偶可以在其作用面内任
意移动，而不影响它对刚体
的作用效应。;111 dFm ??
222 dFm ??
dPm 11 ?又
dPm 22 ???
'21 PPR A ??
2'1 PPR B ??
21'21'21 )( mmdPdPdPPdRM A ????????? 合力矩
平面力偶系,作用在物体同一平面的许多力偶叫平面力偶系
设有两个力偶
d d
平面力偶系平衡的充要条件是,所有各力偶矩的代数和
等于零。
?
?
????? n
i
in mmmmM
1
21 ?
即 01 ???
n
i
im
结论,
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其力偶矩为各力偶矩
的代数和 。
[例 5] 在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直
径的孔,每个钻头的力偶矩为
求工件的总切削力偶矩和 A, B端水平反力?
mN154321 ????? mmmm
mN60)15(4
4321
??????
???? mmmmM
02.0 4321 ?????? mmmmN B
N3 0 02.060 ??? BN N 30 0??? BA NN
解, 各力偶的合力偶距为
由力偶只能与力偶平衡的性质，
力 NA与力 NB组成一力偶。
0
1
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n
i
im
例 6
已知：
求：
1.水平拉力 F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力 F至少多大？
3.力 F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力 F多大？
P=20kN,R=0.6m,h=0.08m:
解,1.取碾子，画受力图。
用几何法，按比例画封闭力四边形
?30arcco s ???
R
hRθ 按比例量得：
KNFKNF BA 10,4.11 ??
或由图中
FθFF
FθF
BA
B
??
?
co s
s i n
解得
BF
=10kN,
AF
=11.34kN
2.碾子拉过障碍物，
用几何法
0?AF应有
解得 kN55.11t a n ??? θPF
解得 kN10s i nm i n ??? θPF3.
