第十一章
动 量 定 理
§ 11－ 1 动量与冲量
一,动量
1、质点的动量,vmP ? 大小为 ；
方向由 确定；
单位为：
smkg /?
v
mv
质点系总质量为：
?? imM
??? iic rmrM
2、质点系的动量：
?? ii vmP
?
??
i
ii
c m
rm
r?
cvMP ??
即：质点系的质量与其质心速度的乘积等于质点系
的动量。
求导后得：
?? iic vmvM
计算方法：投影法 ccxX xmmvP ???
ccyy ymmvP ???
cczz zmmvP ???
二、冲量
tFI ?
1、常力的冲量：
2、变力的冲量
tFI dd ?
元冲量：变力在微时间段内的冲量；即：
则力在时间段 内的冲量为：? ?
21 tt ?
?? 2
1
t
t
tFI d
单位为,N·s
§ 11－ 2 动量定理
一、质点的动量定理
牛顿第二定律,amF ?
dt
vda ?质点运动微分方程：
? ? ? ?
? ? dtFPd
dtFvmdvm
dt
d
F
dt
vd
mamF
?
?????
???
（ m为常量，）
－－动量定理微分式
即：质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
21 tt ? 21
vv ?时间段,速度变化
? ? dtFvmd ??对该式积分,
IdtFvmvm t
t
???? ? 2
1
12
－－动量定理的积分式
即：在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于
质点的力在此段时间内的冲量。
二、质点系动量定理
1、外力：所研究得质点系之外的物体作用在质点系
中各质点上的力；用 表示。? ?e
iF
2、内力：所研究得质点系内部的各质点之间的相互
作用力；用 表示。? ?i
iF
? ? ? ? 0?? ? i
i
i FR
质点系内力系的主矩、主矢为：
? ? ? ?? ? 0?? ?
i
io
i
o FmM
质点系内力：
? ? ? ??? i
i
i FR
质点系外力：
? ? ? ??? e
i
e FR
? ? tFtFvm i
i
e
iii ddd ??
)()(
对于单个质点的动量定理为：
? ? ? ? tFtFvm i
i
e
iii ddd ????? )(
质点系动量定理为：
? ? ? ?
? ?
?
?
?
?
?
?
????
e
ee
i
R
dt
Pd
dtRtFPd d质点系动量定理微分式
或
即：质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外
力的矢量和。
对上式积分得：
IdtFvmvm t
t
???? ? 2
1
12
－－质点系动量定理积分式
即：在某时间间隔内，质点系动量的改变量等于在该
时间段内作用于质点系上的外力冲量的矢量和。
? ?e
x
x F
t
p ??
d
d
)( e
y
y F
t
p ??
d
d )( e
z
z F
t
p ??
d
d
积分式投影：
应用时应使用投影形式
微分式投影：
)(12 exxx Ipp ??? )(
12
e
yyy Ipp ???
)(12 ezzz Ipp ???
三、质点系动量守恒定理
若 ；则
0)( ?? eiF CvmP ii ?? ?
（常矢量）。
§ 11－ 3 质心运动定理
1、质心,质点系的质量中心
质点系的运动不仅与各质点质量有关，而且与质
量的分布情况有关。
2、质心的确定
M
xmx ii
C
??
M
ymy ii
C
??
M
zmz ii
C
??
直角坐标下的质心计算公式：
用矢径描述的矢量表示法
质点系有 n个质点组成，各质点的质量为,且其
在固定直角坐标中的位置矢径为,im
?? iic vmvM
求导后得：
??? iic rmrM
? ? ???? iici rmrm???
i
ii
c m
rmr
kzjyixr cccc ??? ?
??
i
ii
c m
rmr或
3、质心运动定理
故动量定理微分式可写为：
?? ??? )()()( eiceic FtvMFtvM dddd
由运动微分方程：
c
c a
t
v ?
d
d
)( e
ic FaM ??
－－质心运动定理
即：质点系的质量与质心加速度的乘积等于质点系
的外力的矢量和。
质点系质心的运动，是否可以看成为一个质点的
运动，同时假想地把整个质点系的质量集中于这一点，
作用于质点系的全部外力也都集中于这一点？
讨论？？
结论：
质点系质心的运动，是可以看成为一个质点的运
动，同时假想地把整个质点系的质量集中于这一点，
作用于质点系的全部外力也都集中于这一点。
同时：质点系的内力不影响质心的运动，只有外
力才能改变质心的运动。
例 1、锤重 Q=300N，从高度 H=1.5m处自由落到锻
件上，如图所示，锻件发生变形，历时 t=0.01s.
求锤对锻件的平均压力。
解：取锤为研究对象。作用在锤
上的力有重力 Q锤与锻件接触后
锻件的反力。但锻件的反力是变
力。设平均反力为 N.
锤下落高度 H所需时间 T为：
h
g
HT 2?
取铅垂轴 y向上为正，根据动量定理有：
pmvmv ?? 12
由题意知，,经过（ T+t）秒后,。则有0
1 ?v
0?p
0)( ???? tTQNtp
由此得 ??
?
?
???
? ???? 121)1(
g
H
tQt
TQN
KNN 9.161
8.9
5.12
01.0
13 0 0 ?
???
?
???
?
???
例 2：椭圆规如图所示，已知曲柄 OC的质量为 m，
规尺 AB的质量为 2m,滑块 A与 B的质量均
为,OC=CA=CB= 。
求在图示位置曲柄以角速度转动时椭圆规的动量。
m?
l
C
A
B
O
?
P
Av
Bv
Cv
解：取整个刚体系
统为研究对象。
整个系统的动量为
? ? ? ?
? ? tlmm
vmtmvtmvp Bx
??
??
s i n45
2
1
90c os290c os 21
????
??????? ??
? ? ?lmmppp yx ????? 452122
? ? ? ?
? ? tlmm
vmtmvtmvp Ay
??
??
c o s45
2
1
90s i n290s i n 21
???
?????? ??
t
p
p
x
y ?? c o tt a n ??
例 3：曲柄连杆滑块机构，如图所示，设曲柄 OA与
连杆 AB的质量均为,长度均为 2,滑块 B的质
量为,在其上作用有水平向左的常力 P，各处摩
擦不计，曲柄在力偶 M作用下以角速度 做匀速转
动。
求在曲柄轴处沿水平
方向的约束反力。
2m
1m
?
l
解：取整体为研究对
象，其受力如图所示，
系统质心的位置：
? ?
? ?
tl
mm
mm
tlmtlmtlm
mmmm
xm
x
i
Cii
C
?
???
c o s
2
4
c o s4c o s3c o s
1
21
21
211
321
?
?
?
??
??
??
?
?
将上式对时间求二阶导数，有
? ? tl
mm
mmx
C ?? co s2
4 2
21
21
?
?????
根据质心运动定理，有
? ? PFtlmm ox ???? ?? co s4 221
? ? tlmmPF ox ?? c o s4 221 ???
动 量 定 理
§ 11－ 1 动量与冲量
一,动量
1、质点的动量,vmP ? 大小为 ；
方向由 确定；
单位为：
smkg /?
v
mv
质点系总质量为：
?? imM
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2、质点系的动量：
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即：质点系的质量与其质心速度的乘积等于质点系
的动量。
求导后得：
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计算方法：投影法 ccxX xmmvP ???
ccyy ymmvP ???
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二、冲量
tFI ?
1、常力的冲量：
2、变力的冲量
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元冲量：变力在微时间段内的冲量；即：
则力在时间段 内的冲量为：? ?
21 tt ?
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tFI d
单位为,N·s
§ 11－ 2 动量定理
一、质点的动量定理
牛顿第二定律,amF ?
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vda ?质点运动微分方程：
? ? ? ?
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dtFvmdvm
dt
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（ m为常量，）
－－动量定理微分式
即：质点动量的增量等于作用于质点上的力的元冲量。
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? ? dtFvmd ??对该式积分,
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12
－－动量定理的积分式
即：在某一时间间隔内，质点动量的变化等于作用于
质点的力在此段时间内的冲量。
二、质点系动量定理
1、外力：所研究得质点系之外的物体作用在质点系
中各质点上的力；用 表示。? ?e
iF
2、内力：所研究得质点系内部的各质点之间的相互
作用力；用 表示。? ?i
iF
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质点系内力系的主矩、主矢为：
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质点系外力：
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对于单个质点的动量定理为：
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或
即：质点系的动量对时间的导数等于作用于质点系的外
力的矢量和。
对上式积分得：
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－－质点系动量定理积分式
即：在某时间间隔内，质点系动量的改变量等于在该
时间段内作用于质点系上的外力冲量的矢量和。
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积分式投影：
应用时应使用投影形式
微分式投影：
)(12 exxx Ipp ??? )(
12
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)(12 ezzz Ipp ???
三、质点系动量守恒定理
若 ；则
0)( ?? eiF CvmP ii ?? ?
（常矢量）。
§ 11－ 3 质心运动定理
1、质心,质点系的质量中心
质点系的运动不仅与各质点质量有关，而且与质
量的分布情况有关。
2、质心的确定
M
xmx ii
C
??
M
ymy ii
C
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M
zmz ii
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直角坐标下的质心计算公式：
用矢径描述的矢量表示法
质点系有 n个质点组成，各质点的质量为,且其
在固定直角坐标中的位置矢径为,im
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求导后得：
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3、质心运动定理
故动量定理微分式可写为：
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由运动微分方程：
c
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－－质心运动定理
即：质点系的质量与质心加速度的乘积等于质点系
的外力的矢量和。
质点系质心的运动，是否可以看成为一个质点的
运动，同时假想地把整个质点系的质量集中于这一点，
作用于质点系的全部外力也都集中于这一点？
讨论？？
结论：
质点系质心的运动，是可以看成为一个质点的运
动，同时假想地把整个质点系的质量集中于这一点，
作用于质点系的全部外力也都集中于这一点。
同时：质点系的内力不影响质心的运动，只有外
力才能改变质心的运动。
例 1、锤重 Q=300N，从高度 H=1.5m处自由落到锻
件上，如图所示，锻件发生变形，历时 t=0.01s.
求锤对锻件的平均压力。
解：取锤为研究对象。作用在锤
上的力有重力 Q锤与锻件接触后
锻件的反力。但锻件的反力是变
力。设平均反力为 N.
锤下落高度 H所需时间 T为：
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取铅垂轴 y向上为正，根据动量定理有：
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由题意知，,经过（ T+t）秒后,。则有0
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由此得 ??
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例 2：椭圆规如图所示，已知曲柄 OC的质量为 m，
规尺 AB的质量为 2m,滑块 A与 B的质量均
为,OC=CA=CB= 。
求在图示位置曲柄以角速度转动时椭圆规的动量。
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解：取整个刚体系
统为研究对象。
整个系统的动量为
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例 3：曲柄连杆滑块机构，如图所示，设曲柄 OA与
连杆 AB的质量均为,长度均为 2,滑块 B的质
量为,在其上作用有水平向左的常力 P，各处摩
擦不计，曲柄在力偶 M作用下以角速度 做匀速转
动。
求在曲柄轴处沿水平
方向的约束反力。
2m
1m
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解：取整体为研究对
象，其受力如图所示，
系统质心的位置：
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